TS EAMCET 2007 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम त्वरण का परिमाण अधिकतम वेग का $\pi$ गुना है:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
दोनों पक्षों को $\omega A$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है:
$\frac{2\pi}{T} = \pi$
$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ s$
अतः,दोलक का आवर्तकाल $2 \ s$ है।

(C) मुक्त इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण धातुएं विद्युत की अच्छी सुचालक होती हैं।
तापमान में वृद्धि के साथ अर्धचालकों की विद्युत चालकता बढ़ती है।
बोरॉन (समूह $13$) के साथ डोप किया गया सिलिकॉन एक $p$-प्रकार का अर्धचालक है।
आर्सेनिक (समूह $15$) के साथ डोप किया गया सिलिकॉन एक $n$-प्रकार का अर्धचालक है।
अतः,विकल्प $C$ सही कथन है।

(A) प्रोड्यूसर गैस $CO$ और $N_2$ का मिश्रण है।
इसका कैलोरी मान कम होने का मुख्य कारण इसमें मौजूद नाइट्रोजन $(N_2)$ गैस का उच्च प्रतिशत है,जो दहनशील नहीं है।

(C) जब सिल्वर ब्रोमाइड $(AgBr)$ में सोडियम थायोसल्फेट का विलयन मिलाया जाता है,तो यह घुलकर सोडियम अर्जेंटोथायोसल्फेट नामक एक घुलनशील संकुल बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$AgBr(s) + 2Na_2S_2O_3(aq) \longrightarrow Na_3[Ag(S_2O_3)_2](aq) + NaBr(aq)$
अतः,बनने वाले उत्पाद का सूत्र $Na_3[Ag(S_2O_3)_2]$ है।

(D) एक पेरोक्सी अम्ल अपनी संरचना में $-O-O-$ लिंकेज रखता है।
$1$. परफॉस्फोरिक अम्ल $(H_3PO_5)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$2$. परनाइट्रिक अम्ल $(HNO_4)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$3$. परडाइसल्फ्यूरिक अम्ल $(H_2S_2O_8)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$4$. परक्लोरिक अम्ल $(HClO_4)$ में पेरोक्सी लिंकेज नहीं होता है; यह क्लोरीन का एक ऑक्सोअम्ल है जिसमें क्लोरीन $+7$ ऑक्सीकरण अवस्था में होता है।

(D) $Krypton$ का उपयोग खनिकों की कैप लैंप में किया जाता है क्योंकि यह भूमिगत खनन स्थितियों के लिए उपयुक्त उच्च-तीव्रता वाला प्रकाश स्रोत प्रदान करता है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2} = 275$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$n(n-3) = 550$ प्राप्त होता है।
$n^2 - 3n - 550 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 25n + 22n - 550 = 0$।
$n(n - 25) + 22(n - 25) = 0$।
$(n - 25)(n + 22) = 0$।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 25$ (क्योंकि $n = -22$ संभव नहीं है)।

(A) चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $c - b = b - a$।
दिया गया है कि $b-a, c-b, a$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग अंतिम पदों के गुणनफल के बराबर होगा: $(c-b)^2 = (b-a)a$।
$c-b = b-a$ को समीकरण में रखने पर,हमें $(b-a)^2 = (b-a)a$ प्राप्त होता है।
यदि $b \neq a$ है,तो $(b-a)$ से विभाजित करने पर $b-a = a$ मिलता है,जो $b = 2a$ में सरल हो जाता है।
$b = 2a$ को $2b = a + c$ में रखने पर,$2(2a) = a + c$ यानी $4a = a + c$ मिलता है,जिसका अर्थ है $c = 3a$।
अतः,अनुपात $a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$ है।

(C) दिया गया है,$S_n = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3$.
साथ ही,$T_n = 1 + 2 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k$.
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
$S_n$ के व्यंजक में $T_n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_n = (T_n)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = T_n^2$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
अतः,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ और $B = 10^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
अब,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
चूंकि $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,इसलिए $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(B) माना बिंदु $A(1, -2)$ और $B(3, 2)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) माना रेखा $AB$,$A(2,-1)$ और $B(6,5)$ से होकर गुजरती है। $AB$ की ढाल $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - (-1) = \frac{3}{2}(x - 2)$ है,जो $3x - 2y - 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
रेखा $PD$,$AB$ पर लंब है और $P(4,1)$ से गुजरती है। $PD$ की ढाल $-\frac{2}{3}$ है।
$PD$ का समीकरण $y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 4)$ है,जो $2x + 3y - 11 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $D$,$AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{6k+2}{k+1}, \frac{5k-1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $D$,$PD$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{6k+2}{k+1}\right) + 3\left(\frac{5k-1}{k+1}\right) - 11 = 0$ है।
$12k + 4 + 15k - 3 - 11k - 11 = 0$.
$16k - 10 = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{8}$.
अतः,अनुपात $5:8$ है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x+7y-6)(x-5y+2)=0$ प्राप्त होता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x+7y-6=0$ और $L_2: x-5y+2=0$।
तीसरी रेखा $L_3: 5x+\lambda y-8=0$ है।
तीनों रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 7 & -6 \\ 1 & -5 & 2 \\ 5 & \lambda & -8 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(40-2\lambda) - 7(-8-10) - 6(\lambda+25) = 0$
$40 - 2\lambda + 126 - 6\lambda - 150 = 0$
$16 - 8\lambda = 0$
$8\lambda = 16$
$\lambda = 2$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को उस बिंदु $(h', k')$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए जो आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु हो।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$x = 1-y$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$।
तब $x = 1-3 = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 7 = 0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, h = 2, b = 5, g = -2, f = -11, c = 7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ को उस बिंदु $(h_0, k_0)$ पर स्थानांतरित करना होगा जो $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
सूत्रों के अनुसार:
$h_0 = \frac{hf - bg}{ab - h^2} = \frac{-22 + 10}{10 - 4} = -2$
$k_0 = \frac{gh - af}{ab - h^2} = \frac{-4 + 22}{10 - 4} = 3$
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(D) दी गई रेखाओं का समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ का सूत्र:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
चूंकि रेखाएं संगामी हैं,बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$\lambda = 2$

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करने पर:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करने पर:
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$

(A) दिया है,त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों ($x=0$ और $y=0$) को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(3, -3)$ होगा।
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h=3$,$k=-3$,और $r=3$ रखने पर:
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$.

(C) वृत्त $S=0$ के सापेक्ष $P(x_1, y_1)$ का प्रतिलोम बिंदु,वृत्त के केंद्र से $P$ के ध्रुवीय (polar) पर डाले गए लंब का पाद होता है।
दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-4x-6y+9=0$. केंद्र $C = (2,3)$,त्रिज्या $r = 2$.
$P(1,2)$ का ध्रुवीय: $x(1)+y(2)-2(x+1)-3(y+2)+9=0$.
सरल करने पर: $x+y-1=0$.
रेखा $CP$ का समीकरण: $y=x+1$.
$x+y-1=0$ और $y=x+1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,1)$ है।

(D) वृत्तों की कोएक्सियल प्रणाली का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2\lambda x+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
लिमिटिंग पॉइंट्स प्रणाली में शून्य त्रिज्या वाले वृत्तों के केंद्र होते हैं।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = 0$ रखने पर,हमें $\sqrt{\lambda^2-c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda^2 = c$।
लिमिटिंग पॉइंट्स के अलग और वास्तविक होने के लिए,हमारे पास $\lambda^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $c > 0$।
अतः,प्रणाली के लिए अलग लिमिटिंग पॉइंट्स होने की शर्त $c > 0$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+6y-2x+5=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2=4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
यहाँ,$4a=2$,इसलिए $a=\frac{1}{2}$ है।
परवलय $(y-k)^2=4a(x-h)$ की नियता $x=h-a$ द्वारा दी जाती है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$.
$2x+5=0$. अतः,कथन $(II)$ असत्य है।
इसलिए,$I$ सत्य है और $II$ असत्य है।

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।
$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$।
$x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$1$. $\sum \frac{x^n}{n!}$ से,गुणांक $\frac{1}{k!}$ है।
$2$. $-2 \sum \frac{x^{n+1}}{n!}$ में,$n+1=k \implies n=k-1$ रखने पर,गुणांक $-\frac{2}{(k-1)!}$ है।
$3$. $-\sum \frac{x^{n+2}}{n!}$ में,$n+2=k \implies n=k-2$ रखने पर,गुणांक $-\frac{1}{(k-2)!}$ है।
कुल गुणांक: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-2k-k(k-1)}{k!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$।

(D) हमारे पास है,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$.
अब,$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
अतः,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $lx + my = 1$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{a \cos \theta}{a^2 + b^2} x + \frac{b \cot \theta}{a^2 + b^2} y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \frac{a \cos \theta}{a^2 + b^2}$ और $m = \frac{b \cot \theta}{a^2 + b^2}$।
अब,$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{a^2 (a^2 + b^2)^2}{a^2 \cos^2 \theta} - \frac{b^2 (a^2 + b^2)^2}{b^2 \cot^2 \theta}$।
$= (a^2 + b^2)^2 (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)$।
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = (a^2 + b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(B) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(1+[x])}{[x]}, & [x] \neq 0 \\ 0, & [x] = 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से थोड़ी कम $x$ के मानों पर विचार करते हैं।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = -1$ होता है।
इसलिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(1+[x])}{[x]}$.
$[x] = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin(1-1)}{-1} = \frac{\sin(0)}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) Polyhydroxy butyrate-$co$-$\beta$-hydroxy valerate $(PHBV)$ एक जैव-निम्नीकरणीय बहुलक है।

(A) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ और $C = 75^{\circ}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $a$ ($45^{\circ}$ के सम्मुख) और सबसे बड़ी भुजा $c$ ($75^{\circ}$ के सम्मुख) है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $a+b+c = 2s$,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
$\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
चूँकि $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$,इसे हल करने पर परिणाम $2c \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के गुणों के अनुसार $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3$ होता है।
और $s^2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ भी एक मानक सर्वसमिका है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,$|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $|A|^3 = 64$ है।
अतः,$|A| = 4$ है।
अंत में,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$ है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय समघात (homogeneous) है,जिसे आव्यूह रूप $AX = O$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
एक समघात निकाय $AX = O$ के लिए,अशून्य हल तभी मौजूद होते हैं जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
आइए सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
चूंकि $|A| = 9 \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
एक समघात निकाय जिसका गुणांक आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो,उसका केवल शून्य हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही होता है।
अतः,अशून्य हलों की संख्या $0$ है।

(C) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$

(D) माना $y = \operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta)$.
तब,$\operatorname{sech} y = \sin \theta$.
चूंकि $\operatorname{sech} y = \frac{1}{\cosh y}$,इसलिए $\cosh y = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हुए,$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$.
$x = \operatorname{cosec} \theta$ रखने पर:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1})$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$,इसलिए:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \cot(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \log(\cot(\theta/2))$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$.
सबसे पहले,बाएँ पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\theta = \sec^{-1}(\frac{1}{x})$,तो $\sec \theta = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = x$। चूँकि $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$,हमें $\tan \theta = \sqrt{(\frac{1}{x})^2 - 1} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,दाएँ पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\phi = \tan^{-1}(2)$,तो $\tan \phi = 2$। सर्वसमिका $\sin(\tan^{-1} y) = \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}$ का उपयोग करते हुए,$\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1-x^2}{x^2} = \frac{4}{5}$.
$5(1-x^2) = 4x^2 \Rightarrow 5 - 5x^2 = 4x^2 \Rightarrow 9x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = \frac{5}{9}$.
चूँकि $x>0$,इसलिए $x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ से गुणा करने पर,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,जो सरल होकर $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका के चिह्न बदल जाते हैं: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
इसलिए,$f$ का परिसर $[1/3, 1]$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x - [x]$ और $g(x) = [x]$ जहाँ $x \in R$ है।
हमें $f(g(x))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(g(x)) = f([x])$.
चूँकि $f(x) = x - [x]$,$x$ के स्थान पर $[x]$ रखने पर:
$f([x]) = [x] - [[x]]$.
चूँकि $[x]$ एक पूर्णांक है,और किसी पूर्णांक का महत्तम पूर्णांक फलन वह पूर्णांक स्वयं होता है,अर्थात $[[x]] = [x]$।
अतः,$f([x]) = [x] - [x] = 0$.
इस प्रकार,प्रत्येक $x \in R$ के लिए,$f(g(x)) = 0$।

(D) दिया गया है,$\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$ है।
यदि हम $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ लें,तो $p=1$ और $q=2$ होगा।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1^2 - 2^2} = \sqrt{1 - 4} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$।
चूंकि $\sqrt{-3}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए कथन $I$ गलत है।
इसी प्रकार,यदि हम $\frac{p}{q} = \frac{2}{1}$ लें,तो $f(2) = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जो एक वास्तविक संख्या है। अतः कथन $II$ भी प्रत्येक स्थिति के लिए सही नहीं है।
इस प्रकार,दोनों कथन गलत हैं।

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x-1$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
अब,लंबाइयों की गणना करें:
$1$. स्पर्शरेखा की लंबाई $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \cdot \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.05$.
$2$. उपस्पर्शरेखा की लंबाई $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.33$.
$3$. अभिलंब की लंबाई $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \cdot \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.16$.
$4$. उपअभिलंब की लंबाई $D = |y_1 m| = |1 \cdot 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $B = 0.33$,$A \approx 1.05$,$D = 3$,$C \approx 3.16$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $B, A, D, C$ है।

(A) एक फलन $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं होता यदि उसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ अपना चिह्न न बदले,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक हो या हमेशा गैर-धनात्मक हो।
दिया गया है $f(x) = x^3 + p x^2 + q x + r$।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$ है।
यदि $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं है,तो $f^{\prime}(x)$ के भिन्न वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q$ के लिए विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$ है।
$D \le 0$ रखने पर:
$4p^2 - 12q \le 0$
$4p^2 \le 12q$
$p^2 \le 3q$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही शर्त $p^2 < 3q$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।
सबसे पहले,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें $1-x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
इसके बाद,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$.
$x=1$ पर मान रखने पर: $f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और तर्क $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{x+d}$,जिसका अर्थ है $x+d = h \cot \alpha$ $(i)$।
$\triangle ABD$ में,$\tan \beta = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $x = h \cot \beta$ (ii)।
(ii) से $x$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h \cot \beta + d = h \cot \alpha$
$d = h \cot \alpha - h \cot \beta$
$d = h(\cot \alpha - \cot \beta)$
$h = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} d x$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{2e^x - (e^x+1)}{e^x+1} = \frac{2e^x}{e^x+1} - 1$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{2e^x}{e^x+1} d x - \int 1 d x$.
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = e^x+1$,तो $du = e^x d x$.
अतः,$\int \frac{2e^x}{e^x+1} d x = 2 \log |e^x+1|$.
इसलिए,$I = 2 \log (e^x+1) - x + c$.
इसकी तुलना $f(x)+c$ से करने पर,हमें $f(x) = 2 \log (e^x+1) - x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
इस प्रकार,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = -2 \left[ \theta \left( -\frac{\cos 2\theta}{2} \right) - \int 1 \cdot \left( -\frac{\cos 2\theta}{2} \right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} x \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} \left( x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} \right) + c$.

(A) दिया गया है $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$.
चूंकि समाकल्य $\frac{e^{-|x|}}{2}$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$f(t) = 2 \int_0^t \frac{e^{-x}}{2} dx = \int_0^t e^{-x} dx$.
समाकलन करने पर:
$f(t) = [-e^{-x}]_0^t = -e^{-t} - (-e^0) = 1 - e^{-t}$.
अब,$t \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$.

(C) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
यहाँ,$f(x) = \sin^6 x \cos^5 x$.
$f(2 \pi - x) = \sin^6(2 \pi - x) \cos^5(2 \pi - x) = (-\sin x)^6 (\cos x)^5 = \sin^6 x \cos^5 x = f(x)$.
अतः,$I = 2 \int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$.
अब,गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करने पर यदि $f(a-x) = -f(x)$ हो:
माना $g(x) = \sin^6 x \cos^5 x$.
$g(\pi - x) = \sin^6(\pi - x) \cos^5(\pi - x) = (\sin x)^6 (-\cos x)^5 = -\sin^6 x \cos^5 x = -g(x)$.
चूंकि $g(\pi - x) = -g(x)$,इसलिए समाकलन $\int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx = 0$ होगा।
अतः,$I = 2 \times 0 = 0$.

(A) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=x^3$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x^3$ रखें,जिसका अर्थ है $x^2(1-x) = 0$।
अतः,वक्र $x=0$ और $x=1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होती हैं।
दिया गया है $f = 5 ~cm$ और $\mu = 1.5$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{5} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{5} = \frac{1}{R}$
अतः,$R = 5 ~cm$।

(A) एक $n$-प्रकार के अर्धचालक में,बहुसंख्यक आवेश वाहक इलेक्ट्रॉन होते हैं,जो दाता अशुद्धि परमाणुओं द्वारा प्रदान किए जाते हैं।
ये दाता ऊर्जा स्तर चालन बैंड के ठीक नीचे स्थित होते हैं।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ये इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में उत्तेजित हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,फर्मी ऊर्जा स्तर ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है और वर्जित ऊर्जा अंतराल में स्थित होता है,लेकिन चालन बैंड के करीब होता है।