TS EAMCET 2007 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $xy = ae^x + be^{-x}$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$ $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $ae^x + be^{-x} = xy$ है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^2}{(y/x) - 1}$ प्राप्त होता है।
माना $v = y/x$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{v - 1}{v} dv = \frac{dx}{x}$।
$(1 - \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{v}) dv = \int \frac{dx}{x}$।
$v - \ln|v| = \ln|x| + C$।
$v = \ln|x| + \ln|v| + C = \ln|xv| + C = \ln|y| + C$।
चूंकि $v = y/x$,इसलिए $y/x = \ln|y| + C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{y/x} = e^{\ln|y| + C} = e^C \cdot y$।
माना $e^C = k$,तब $e^{y/x} = ky$ प्राप्त होता है।

(C) $40$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_4 = 91390$ हैं।
$4$ क्रमागत संख्याएँ चुनने के तरीके $37$ हैं।
$4$ संख्याओं के क्रमागत होने की प्रायिकता $P(C) = \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ है।
अतः,उनके क्रमागत न होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 4 = 10$.
$10$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
$6$ में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
$4$ में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 6 = 21$.
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $A \cap B = \phi$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,इसलिए $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
अतः,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
साथ ही,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
इसलिए,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(B) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 4$ है और प्रसरण $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $q = \frac{3}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$p = \frac{1}{4}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{4} = 4$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \geq 1)$ ज्ञात करना है। पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
द्विपद बंटन के लिए,$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$।
अतः,$P(X = 0) = \binom{16}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$।
इसलिए,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$।

(C) परिभाषा के अनुसार,किसी भी पदार्थ के $1$ मोल में $6.022 \times 10^{23}$ घटक कण (एवोगैड्रो संख्या) होते हैं। अतः,विभिन्न पदार्थों के समान मोल में समान संख्या में घटक कण होते हैं। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सही है।
हालाँकि,दिए गए भार में कणों की संख्या पदार्थ के मोलर द्रव्यमान $(n = \frac{w}{M})$ पर निर्भर करती है। चूंकि विभिन्न पदार्थों के मोलर द्रव्यमान अलग-अलग होते हैं,इसलिए विभिन्न पदार्थों के समान भार में मोलों की संख्या अलग-अलग होगी और परिणामस्वरूप,घटक कणों की संख्या भी अलग-अलग होगी। इसलिए,तर्क $(R)$ गलत है।

(A) एथिल अल्कोहल $(C_2H_5OH)$ के मोलों की संख्या $= \frac{138 \ g}{46 \ g/mol} = 3 \ mol$.
पानी $(H_2O)$ के मोलों की संख्या $= \frac{72 \ g}{18 \ g/mol} = 4 \ mol$.
अल्कोहल का मोल अंश $(X_{C_2H_5OH})$ $= \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.
पानी का मोल अंश $(X_{H_2O})$ $= \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$.
अल्कोहल और पानी के मोल अंश का अनुपात $\frac{X_{C_2H_5OH}}{X_{H_2O}} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है: $V_1 = 2 \ L$,$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ पर),$V_2 = 4 \ L$ (दोगुना आयतन)।
मान रखने पर: $\frac{2}{273} = \frac{4}{T_2}$.
$T_2 = \frac{273 \times 4}{2} = 546 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $546 - 273 = 273^{\circ} C$।

(C) लाइमैन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
दिया गया है $\lambda = \frac{16}{15 R}$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{15 R}{16} = R \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
अतः,$n_2^2 = 16$,जिससे $n_2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $N$ कोश के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $(n) = 4$ है।
उप-स्तरों की संख्या $n = 4$ है।
कक्षकों की संख्या $n^2 = 4^2 = 16$ है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2n^2 = 2 \times 4^2 = 32$ है।
अतः,सही मान $4, 16, 32$ हैं।

(D) एंजाइम जैविक उत्प्रेरक होते हैं। वे प्रकृति में अत्यधिक विशिष्ट होते हैं और जैविक अभिक्रियाओं को उत्प्रेरित करते हैं।

(C) उत्प्रेरक कम सक्रियण ऊर्जा वाला एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करके अभिक्रिया की दर को बढ़ाता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है क्योंकि अभिक्रिया की दर बढ़ती है।
हालाँकि,तर्क $(R)$ असत्य है क्योंकि उत्प्रेरक की उपस्थिति में अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा कम हो जाती है,न कि बढ़ती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$E \propto T^4$.
मान लीजिए $T_1 = T$ तापमान पर ऊर्जा $E_1 = E$ है।
मान लीजिए $T_2 = \frac{T}{2}$ तापमान पर विकिरण ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$.
अतः,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन लेने पर,आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
यहाँ $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$।
प्रति दिन खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times T_{day}$ है।
चूंकि $T_{day} = 24 \times 60 \times 60 = 86400 \ s$,इसलिए $\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368 \ s$।
निकटतम मान लेने पर,घड़ी $10.3 \ s/\text{day}$ का समय खो देती है।

(D) सिलेंडर $B$ के लिए (स्थिर पिस्टन,समआयतनिक प्रक्रिया): $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3R}{2}) \Delta T_B$.
सिलेंडर $A$ के लिए (स्वतंत्र पिस्टन,समदाबी प्रक्रिया): $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5R}{2}) \Delta T_A$.
चूंकि दोनों के लिए दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ समान है: $n (\frac{3R}{2}) \Delta T_B = n (\frac{5R}{2}) \Delta T_A$.
दिया गया है $\Delta T_A = 42 ~K$,इसलिए: $3 \Delta T_B = 5 \times 42$.
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 ~K$.

(B) थर्मोकपल में व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$,न्यूट्रल तापमान $(T_n)$ और कोल्ड जंक्शन के तापमान $(T_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$T_n = \frac{T_i + T_0}{2}$
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_i = 2T_n - T_0$
दिए गए मान हैं:
$T_0 = 10^{\circ} C$
$T_n = 270^{\circ} C$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$T_i = 2 \times 270^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 540^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 530^{\circ} C$

(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से अछूता रहता है,जिसका अर्थ है $Q = 0$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
चूंकि $Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -W$.
प्रसार की प्रक्रिया में,गैस परिवेश पर कार्य करती है,इसलिए $W > 0$.
अतः,$\Delta U = -W < 0$,जिसका अर्थ है कि निकाय की आंतरिक ऊर्जा कम हो जाती है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(U \propto T)$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी के परिणामस्वरूप निकाय का तापमान कम हो जाता है।

(A) बंध वियोजन ऊर्जा का अनुमानित क्रम इस प्रकार है:
$H-H \approx 436 \ kJ/mol$
$C-H \approx 413 \ kJ/mol$
$C-C \approx 348 \ kJ/mol$
अतः,घटता हुआ क्रम $H-H > C-H > C-C$ है।

(C) एथिलीन की संभवन अभिक्रिया है: $2C_{(graphite)} + 2H_{2(g)} \rightarrow C_2H_{4(g)}$
हेस के नियम का उपयोग करते हुए,संभवन एन्थैल्पी: $\Delta H_f = 2 \times \Delta H_I + 2 \times \Delta H_{II} - \Delta H_{III}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta H_f = 2(-393.5 \ kJ) + 2(-286.2 \ kJ) - (-1410.8 \ kJ)$
$\Delta H_f = -787.0 \ kJ - 572.4 \ kJ + 1410.8 \ kJ$
$\Delta H_f = 51.4 \ kJ$

(D) $(1)$ प्लांक नियतांक: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$। यह (iii) से मेल खाता है।
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [Fr^2]/[M^2] = [MLT^{-2}][L^2]/[M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$। यह (iv) से मेल खाता है।
$(3)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक: $B = \text{Stress} / \text{Strain} = [ML^{-1} T^{-2}] / [1] = [ML^{-1} T^{-2}]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(4)$ श्यानता गुणांक: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [ML^{-1} T^{-1}]$। यह (ii) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) है। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) ह्यूजेन्स आईपीस को विपथन (aberrations) को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह दो समतल-उत्तल लेंसों को उनकी फोकल लंबाई के योग के आधे के बराबर दूरी पर रखकर एक्रोमेटिज्म (वर्ण विपथन का उन्मूलन) के लिए शर्त को पूरा करता है। यह न्यूनतम गोलीय विपथन के लिए भी शर्त को पूरा करता है।

(A) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि तार समान है,$L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिया गया है $f_1 = 450 ~Hz$,$T_1 = 9 ~kg-wt$,और $f_2 = 900 ~Hz$.
मान रखने पर: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{9}$.
$T_2 = 4 \times 9 = 36 ~kg-wt$.

(C) बाल्टी से पानी सबसे ऊपरी बिंदु पर बाहर न गिरे,इसके लिए सबसे ऊपरी बिंदु पर वेग कम से कम $\sqrt{gR}$ होना चाहिए।
सबसे निचले बिंदु $(v_L)$ और सबसे ऊपरी बिंदु $(v_H)$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_H^2 + mg(2R)$
$v_L^2 = v_H^2 + 4gR$
चूंकि $v_H = \sqrt{gR}$,इसलिए $v_L^2 = gR + 4gR = 5gR$.
$v_L = \sqrt{5gR}$
दिए गए मान $g = 10 ~m/s^2$ और $R = 0.5 ~m$ रखने पर:
$v_L = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 ~m/s$.

(A) जब ब्लॉक स्प्रिंग से टकराता है,तो ब्लॉक की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2$
जहाँ $x$ स्प्रिंग में अधिकतम संपीड़न है।
$x = \sqrt{\frac{m v^2}{k}} = \sqrt{\frac{25 \times (3)^2}{100}} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1.5 \ m$.
जब ब्लॉक मूल स्थिति में वापस आता है,तो स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में वापस परिवर्तित हो जाती है। चूंकि सतह चिकनी है (घर्षण रहित),ऊर्जा संरक्षित रहती है। वेग का परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा विपरीत हो जाती है।
अतः,ब्लॉक का वेग $v = -3 \ ms^{-1}$ होगा।

(A) $1$. पिरिडिनियम क्लोरोक्रोमेट $(PCC)$ एक हल्का ऑक्सीकरण एजेंट है जो प्राथमिक अल्कोहल को एल्डिहाइड में और द्वितीयक अल्कोहल को कीटोन में ऑक्सीकृत करता है।
$2$. यौगिक '$Y$' आयोडोफॉर्म परीक्षण देता है ($I_2$ और क्षार के साथ अभिक्रिया करके ट्राईआयोडोमीथेन,$CHI_3$ बनाता है),जो यह दर्शाता है कि '$Y$' में $CH_3CO-$ समूह होना चाहिए या यह इथेनॉल $(C_2H_5OH)$ होना चाहिए जो एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ में ऑक्सीकृत हो जाता है।
$3$. इथेनॉल $(C_2H_5OH)$ का $PCC$ के साथ ऑक्सीकरण करने पर एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ प्राप्त होता है।
$4$. एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$,$I_2$ और $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके $CHI_3$ (आयोडोफॉर्म) देता है।
$5$. अभिक्रिया अनुक्रम इस प्रकार है:
$C_2H_5OH + [O] \xrightarrow{PCC \text{ in } CH_2Cl_2} CH_3CHO$
$CH_3CHO + 4NaOH + 3I_2 \rightarrow CHI_3 + HCOONa + 3H_2O + 3NaI$
$6$. अतः,'$X$' $C_2H_5OH$ है।

(D) गोलियों द्वारा राइफल पर लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
राइफल का द्रव्यमान,$M = 20 ~kg$
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या,$n = 4$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 35 \times 10^{-3} ~kg$
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 400 ~ms^{-1}$
गोलियों द्वारा राइफल पर लगाया गया बल (प्रतिक्रिया बल) इस प्रकार है:
$F_{recoil} = n \times (m \times v)$
$F_{recoil} = 4 \times (35 \times 10^{-3} ~kg) \times (400 ~ms^{-1})$
$F_{recoil} = 4 \times 35 \times 0.4 = 56 ~N$
राइफल को पीछे की ओर जाने से रोकने के लिए,राइफल पर विपरीत दिशा में समान बल लगाया जाना चाहिए।
अतः,आवश्यक बल $56 ~N$ है जो आगे की दिशा में लगाया जाना चाहिए।

(C) $CO_3^{2-}$ आयन में,केंद्रीय $C$ परमाणु $sp^2$ संकरण से गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप त्रिकोणीय समतलीय ज्यामिति प्राप्त होती है।
इसके विपरीत,$BF_4^{-}$,$NH_4^{+}$,और $SO_4^{2-}$ में केंद्रीय परमाणु $sp^3$ संकरण प्रदर्शित करते हैं,जो उन्हें चतुष्फलकीय संरचना प्रदान करता है।

(D) $BeF_2$ को छोड़कर क्षारीय मृदा धातुओं के फ्लोराइड आमतौर पर जल में अघुलनशील होते हैं,क्योंकि उनकी जालक ऊर्जा (lattice energy) उनकी जलयोजन ऊर्जा (hydration energy) की तुलना में अधिक होती है।
दिए गए विकल्पों में,$NaF$ और $KF$ क्षार धातुओं के फ्लोराइड हैं और जल में घुलनशील हैं।
$BeF_2$ सहसंयोजक है और जल में घुलनशील है।
$MgF_2$ एक क्षारीय मृदा धातु फ्लोराइड है जो जल में अघुलनशील है।

(C) अभिक्रिया $SO_{2(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightleftharpoons SO_{3(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K_1 = 5 \times 10^{-2}$ है।
अभिक्रिया $2 SO_{3(g)} \rightleftharpoons 2 SO_{2(g)} + O_{2(g)}$ के लिए,हम देखते हैं कि यह अभिक्रिया पहली अभिक्रिया की उल्टी और $2$ से गुणा की गई है।
इसलिए,नया साम्य स्थिरांक $K_2 = \frac{1}{K_1^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$K_1$ का मान रखने पर:
$K_2 = \frac{1}{(5 \times 10^{-2})^2} = \frac{1}{25 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{25} = 400 = 4 \times 10^2$.

(B) अधात्विक ऑक्साइड सामान्यतः अम्लीय प्रकृति के होते हैं। कार्बन एक अधातु है जो $14$ $(IVA)$ समूह से संबंधित है।
$C + O_2 \longrightarrow CO_2$
$CO_2 + H_2O \longrightarrow H_2CO_3$ (कार्बोनिक अम्ल)
चूंकि $CO_2$ एक गैस है और अम्लीय विलयन बनाती है,इसलिए यह तत्व $IV$ $(IVA)$ समूह से संबंधित है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।
नए समीकरण के मूल $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ और $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ हैं।
नया समीकरण $x^2 - (\gamma+\delta)x + \gamma\delta = 0$ है।
मूलों का योग: $\gamma+\delta = (\frac{1}{\alpha}-1) + (\frac{1}{\beta}-1) = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} - 2 = -\frac{b+2c}{c}$।
मूलों का गुणनफल: $\gamma\delta = (\frac{1}{\alpha}-1)(\frac{1}{\beta}-1) = \frac{a+b+c}{c}$।
समीकरण $cx^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$ प्राप्त होता है।
$px^2+qx+r=0$ से तुलना करने पर,$r = a+b+c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$\frac{3x}{(x-a)(x-b)} = \frac{2}{x-a} + \frac{1}{x-b}$
दोनों पक्षों को $(x-a)(x-b)$ से गुणा करने पर:
$3x = 2(x-b) + 1(x-a)$
$3x = 2x - 2b + x - a$
$3x = 3x - (a + 2b)$
दोनों पक्षों में अचर पदों की तुलना करने पर:
$0 = -(a + 2b)$
$a + 2b = 0$
$a = -2b$
अतः,$\frac{a}{b} = -2$,जिसका अर्थ है कि $a:b = -2:1$.

(D) सबसे पहले,$8$ पुरुषों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$8$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीके $(8-1)! = 7!$ हैं।
यह व्यवस्था पुरुषों के बीच $8$ रिक्त स्थान बनाती है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $4$ महिलाओं को इन $8$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करना होगा।
$8$ रिक्त स्थानों में $4$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके ${}^{8}P_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $7! \times {}^{8}P_{4}$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $275$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 25n + 22n - 550 = 0$
$n(n - 25) + 22(n - 25) = 0$
$(n - 25)(n + 22) = 0$
इससे $n = 25$ या $n = -22$ प्राप्त होता है।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 25$।

(A) दिया गया है,$5 \tan \theta = 4$।
व्यंजक के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\sin \theta + 2 \cos \theta} = \frac{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 3}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 2}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{4}{5}$,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}}$
$= \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$

(A) दिया गया है,$\sin A + \sin B = \sqrt{3}(\cos B - \cos A)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\sin A + \sqrt{3} \cos A = \sqrt{3} \cos B - \sin B$.
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{2} \sin A + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B - \frac{1}{2} \sin B$.
$\sin(x+y)$ और $\sin(x-y)$ के सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\sin(A + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3} - B)$.
इससे $A + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - B$ प्राप्त होता है,जो $A = -B$ में सरल हो जाता है।
अब,$\sin 3A + \sin 3B$ का मान ज्ञात करने पर:
$\sin 3A + \sin 3B = \sin(-3B) + \sin 3B = -\sin 3B + \sin 3B = 0$.

(D) दिया गया है,$\cos (A-B)=3/5$ और $\tan A \tan B=2$.
हम जानते हैं कि $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{1+2}{1-2}$.
यह $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = \frac{3}{-1}$ में सरल हो जाता है।
$\cos (A-B) = 3/5$ रखने पर:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = -3$.
$\cos (A+B) = \frac{3/5}{-3} = -1/5$.

(B) ध्रुवीय निर्देशांक $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ और $(r_3, \theta_3)$ वाले शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ और $(3, \frac{2\pi}{3})$ को प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(1)(2) \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + (2)(3) \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + (3)(1) \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$= \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$= \frac{1}{2} |2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 3(-\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$= \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}|$
$= \frac{1}{2} |2.5\sqrt{3}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) शीर्ष $A(6, 3), B(-6, 3)$ और $C(-6, -3)$ हैं।
$AB$ क्षैतिज है और $BC$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B(-6, 3)$ पर है।
$P, BC$ का मध्य-बिंदु है: $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6, 0)$। अतः $(i) \rightarrow D$।
$Q$ के लिए,रेखा $AC$ का समीकरण $x = 2y$ है। $y=0$ रखने पर,$x=0$ प्राप्त होता है। अतः $Q = (0, 0)$। अतः $(ii) \rightarrow A$।
$R$ लंबकेंद्र है। समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र समकोण वाला शीर्ष $B(-6, 3)$ होता है। अतः $(iii) \rightarrow F$।
$S$ केंद्रक है: $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2, 1)$। अतः $(iv) \rightarrow C$।
सही क्रम $D, A, F, C$ है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-35-1} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$2\lambda = 4$
$\lambda = 2$

(A) $1$. मुख्य क्रियात्मक समूह $(-OH)$ और द्वि-आबंध $(C=C)$ युक्त सबसे लंबी कार्बन श्रृंखला की पहचान करें। श्रृंखला में $6$ कार्बन परमाणु हैं,इसलिए मूल एल्केन हेक्सेन है।
$2$. श्रृंखला को उस सिरे से क्रमांकित करें जो मुख्य क्रियात्मक समूह $(-OH)$ को सबसे कम स्थान (locant) प्रदान करे। दाईं से बाईं ओर क्रमांकित करने पर,$-OH$ समूह $2$ स्थान पर आता है।
$3$. द्वि-आबंध कार्बन $3$ पर शुरू होता है,इसलिए यह हेक्स-$3$-ईन व्युत्पन्न है।
$4$. स्थान $5$ पर एक मिथाइल समूह $(-CH_3)$ स्थित है।
$5$. इन सबको मिलाकर,$IUPAC$ नाम $5$-मिथाइलहेक्स-$3$-ईन-$2$-ओल है।

(A) फेल्डस्पार चट्टान बनाने वाले टेक्टोसिलिकेट खनिजों का एक समूह है जो पृथ्वी की महाद्वीपीय पपड़ी का लगभग $41\%$ हिस्सा बनाता है। पोटेशियम फेल्डस्पार (ऑर्थोक्लेज़) का सामान्य रासायनिक सूत्र $KAlSi_3O_8$ है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_p = \frac{M_e}{2}$ और $R_p = \frac{R_e}{4}$.
ग्रह पर पलायन वेग $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}}$ है।
पलायन वेग का अनुपात लेने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{1/2}{1} \times \frac{1}{1/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$.
अतः,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$.

(D) डाइकार्बोक्सिलिक एसिड के लवणों के जलीय घोल के विद्युत अपघटन को कोल्बे का विद्युत अपघटन कहा जाता है।
एसिटिलीन $(C_2H_2)$ के निर्माण के लिए पोटेशियम मैलेट या पोटेशियम फ्यूमरेट का उपयोग किया जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CHCOOK=CHCOOK + 2H_2O \xrightarrow{\text{electrolysis}} CH \equiv CH + 2CO_2 + 2KOH + H_2$
एनोड पर एसिटिलीन और $CO_2$ मुक्त होते हैं।
इसलिए,'$A$' पोटेशियम मैलेट है।

(B) चरण $1$: निर्जल $AlCl_3$ की उपस्थिति में एथीन $(CH_2=CH_2)$ की $HCl$ के साथ अभिक्रिया से क्लोरोएथेन $(CH_3CH_2Cl)$ प्राप्त होता है,जो उत्पाद $A$ है।
$CH_2=CH_2 + HCl \rightarrow CH_3CH_2Cl$ $(A)$
चरण $2$: इथेनॉल $(C_2H_5OH)$ की उपस्थिति में $Zn-Cu$ कपल का उपयोग करके एल्काइल हैलाइड का अपचयन एल्केन प्राप्त करने की एक मानक विधि है।
$CH_3CH_2Cl + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu / C_2H_5OH} CH_3CH_3$ $(B)$ $+ HCl$
अतः,$B$ एथेन $(C_2H_6)$ है।

(C) $ZnH_2$ एक अंतराकाशी (interstitial) हाइड्राइड का उदाहरण है।
$NH_3$,$CH_4$ और $H_2O$ सहसंयोजक (covalent) हाइड्राइड के उदाहरण हैं।

(A) $NaCl$ जैसे आयनिक यौगिक की घुलनशीलता विलायक के परावैद्युतांक पर निर्भर करती है।
उच्च परावैद्युतांक आयनों के बेहतर विलायकन (solvation) की ओर ले जाता है,जिससे घुलनशीलता बढ़ती है।
साधारण जल $(H_2O)$ का परावैद्युतांक लगभग $81$ है,जबकि भारी जल $(D_2O)$ का लगभग $80$ है।
चूंकि साधारण जल का परावैद्युतांक अधिक है,इसलिए $NaCl$ साधारण जल में अधिक घुलनशील है और भारी जल में कम घुलनशील है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सही हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया समीकरण: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(B) दिया गया है,$y=\log \left\{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1 / 4}\right\}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \tanh^{-1} x$,अतः $y = \frac{1}{2} \tanh^{-1} x - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) - \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{2x^2}{1-x^4}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1-x^4}$