KVPY 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$1$. $a + ar > ar^2$ $\Rightarrow 1 + r > r^2$ $\Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ होगा।
$2$. $ar + ar^2 > a \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$.
$r^2 + r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r > \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ होगा।
इन दोनों को मिलाने पर,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) एक आयत नियमित बहुभुज के उन दो विकर्णों से बनता है जो केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,जहाँ $n$ सम है,ऐसे आयतों की संख्या व्यास के जोड़ों की संख्या द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 12$,इसलिए व्यास (केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण) की संख्या $\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6$ है।
इन $6$ व्यासों में से कोई भी दो व्यास एक आयत बनाते हैं।
अतः,आयतों की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$।
बहुपद के मूल इस प्रकार हैं:
$z_1 = 2\omega$
$z_2 = 2\omega^2$
$z_3 = 3+4\omega$
$z_4 = 3+4\omega^2$
$z_5 = 5-(\omega+\omega^2) = 5-(-1) = 6$
चूंकि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं,यदि $z$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\bar{z}$ भी एक मूल होगा।
$1$. $z_1 = 2\omega$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_1} = 2\omega^2$ है,जो $z_2$ है।
$2$. $z_3 = 3+4\omega$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_3} = 3+4\omega^2$ है,जो $z_4$ है।
$3$. $z_5 = 6$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_5} = 6$ है।
इस प्रकार,कुल $5$ भिन्न मूल हैं। अतः,बहुपद की न्यूनतम घात $5$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है। इस परवलय की नियता $x=-1$ है।
बिंदु $B(1,2)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y y_1 = 2a(x+x_1)$ है,जहाँ $a=1$ है। $(1,2)$ रखने पर,हमें $2y = 2(x+1)$ प्राप्त होता है,जो $y=x+1$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $y=x+1$,नियता $x=-1$ को बिंदु $A$ पर काटती है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $x=-1$ रखने पर,हमें $y=-1+1=0$ प्राप्त होता है। अतः,$A$ बिंदु $(-1,0)$ है।
मान लीजिए कि वृत्त नियता को बिंदु $C(-1, k)$ पर स्पर्श करता है। चूँकि $AB$ और $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,उनकी लंबाई समान होनी चाहिए,अर्थात $AB=AC$।
लंबाई $AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
लंबाई $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (k-0)^2} = \sqrt{0^2 + k^2} = |k|$।
लंबाई की तुलना करने पर,$|k| = 2\sqrt{2}$। चूँकि चित्र में बिंदु $C$,$x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए $k = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए इसके सभी कोण $60^{\circ}$ हैं।
चूँकि $KLMN$ एक आयत है,$NK \perp BC$ और $NM \parallel BC$ है।
$\triangle BKN$ में,$\angle B = 60^{\circ}$ और $\angle BKN = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle KNB = 30^{\circ}$ है।
हमें दिया गया है कि $\frac{AN}{NB} = 2$,जिसका अर्थ है $AN = 2NB$। अतः,$AB = AN + NB = 3NB$ है।
$\triangle BKN$ में,$NK = BN \sin 60^{\circ} = BN \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $BK = BN \cos 60^{\circ} = \frac{BN}{2}$ है।
$\triangle BKN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BK \times NK = \frac{1}{2} \times \frac{BN}{2} \times \frac{BN \sqrt{3}}{2} = \frac{BN^2 \sqrt{3}}{8}$ है।
क्षेत्रफल $6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{BN^2 \sqrt{3}}{8} = 6$,जिससे $BN^2 = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $s = AB = 3BN$ है।
इसलिए,$s^2 = 9BN^2 = 9 \times 16\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144\sqrt{3} = \frac{144 \times 3}{4} = 108$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $F_1(ae, 0)$ और $F_2(-ae, 0)$ हैं।
$\triangle P F_1 F_2$ का केंद्रक $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{a \cos \theta + ae - ae}{3} = \frac{a \cos \theta}{3}$
$k = \frac{b \sin \theta + 0 + 0}{3} = \frac{b \sin \theta}{3}$
अतः,$\cos \theta = \frac{3h}{a}$ और $\sin \theta = \frac{3k}{b}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{3h}{a}\right)^2 + \left(\frac{3k}{b}\right)^2 = 1$
$\frac{9h^2}{a^2} + \frac{9k^2}{b^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{(a/3)^2} + \frac{y^2}{(b/3)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^7 \theta - \sin^4 \theta = 1$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^7 \theta = 1 + \sin^4 \theta$
हम जानते हैं कि किसी भी $\theta$ के लिए,$\cos^7 \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
साथ ही,चूंकि $\sin^4 \theta \geq 0$,इसलिए दाहिना पक्ष $(RHS)$ $1 + \sin^4 \theta \geq 1$ को संतुष्ट करता है।
समानता बनाए रखने के लिए,दोनों पक्षों का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$\cos^7 \theta = 1$ और $\sin^4 \theta = 0$ होना चाहिए।
$\cos^7 \theta = 1$ से,हमें $\cos \theta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[0, 2\pi]$ अंतराल में $\theta = 0, 2\pi$।
$\sin^4 \theta = 0$ से,हमें $\sin \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[0, 2\pi]$ अंतराल में $\theta = 0, \pi, 2\pi$।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले उभयनिष्ठ मान $\theta = 0$ और $\theta = 2\pi$ हैं।
अतः,दिए गए अंतराल में $2$ मूल हैं।

(C) माना $P = (1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ}) \dots (1+\tan 44^{\circ})(1+\tan 45^{\circ})$.
हम सर्वसमिका $(1+\tan \theta)(1+\tan(45^{\circ}-\theta)) = 2$ का उपयोग करते हैं।
पदों के जोड़े बनाने पर: $(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$.
ऐसे $22$ जोड़े हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2^{22}$ है।
अंत में,$(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$ शेष रहता है।
अतः,कुल गुणनफल $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ है।

(D) क्षेत्र $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 10$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। इस वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 100\pi$ है।
क्षेत्र $B$ को $\sin(x+y) > 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यह असमिका तब सत्य होती है जब किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $2n\pi < x+y < (2n+1)\pi$ हो।
ज्यामितीय रूप से,क्षेत्र $B$ कार्तीय समतल में समानांतर पट्टियों का एक अनंत समूह है,जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए रेखाओं $x+y = k\pi$ द्वारा सीमित है।
मूल बिंदु के सापेक्ष वृत्त $A$ की समरूपता और साइन फलन की आवर्ती प्रकृति के कारण,क्षेत्र $B$ वृत्त $A$ के क्षेत्रफल का ठीक आधा हिस्सा कवर करता है। विशेष रूप से,प्रत्येक पट्टी के लिए जहाँ $\sin(x+y) > 0$ है,वृत्त के भीतर एक समान पट्टी है जहाँ $\sin(x+y) < 0$ है।
इसलिए,प्रतिच्छेदन $A \cap B$ का क्षेत्रफल वृत्त $A$ के क्षेत्रफल का ठीक आधा है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (100\pi) = 50\pi$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) $7$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
एक नियमित $7$-भुजा वाले बहुभुज के लिए,एक शीर्ष $A$ पर विचार करें। हम $A$ को शीर्ष मानकर समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं,जिसमें शेष दो शीर्ष $A$ से समान दूरी पर हों। प्रत्येक शीर्ष के लिए,ऐसी $3$ जोड़ियाँ मिलती हैं,जो $3$ समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं।
चूंकि कुल $7$ शीर्ष हैं,इसलिए समद्विबाहु त्रिभुजों की कुल संख्या $7 \times 3 = 21$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ है।

(D) $6$-अंकों की संख्या में विषम स्थान $P_1, P_3, P_5$ और सम स्थान $P_2, P_4, P_6$ हैं। $4$ से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक $P_5 P_6$ को $4$ से विभाज्य होना चाहिए। गणना करने पर कुल $1440$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(D) माना $P(x) = 1+x^2+x^4+\ldots+x^{2010}$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $1006$ पद हैं,प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=x^2$ है।
$P(x) = \frac{1-(x^2)^{1006}}{1-x^2} = \frac{1-x^{2012}}{1-x^2}$ है।
हम चाहते हैं कि $Q(x) = 1+x+x^2+\ldots+x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$,$P(x)$ को विभाजित करे।
$P(x) = \frac{(1-x^{1006})(1+x^{1006})}{(1-x)(1+x)} = \left(\frac{1-x^{1006}}{1-x}\right) \left(\frac{1+x^{1006}}{1+x}\right)$ है।
यहाँ $\frac{1-x^{1006}}{1-x} = 1+x+x^2+\ldots+x^{1005}$ है।
$Q(x)$ द्वारा $P(x)$ के विभाज्य होने के लिए,$n$ को $1006$ का भाजक होना चाहिए ताकि $1005 \le n \le 2010$ हो।
$1006 = 2 \times 503$ के भाजक $1, 2, 503, 1006$ हैं।
अंतराल $[1005, 2010]$ में एकमात्र मान $n=1006$ है।

(A) दिया गया है,$a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$.
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a_1 = 3(0) + 1 = 1$
$a_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1$
$a_3 = 3(3+1) + 1 = 3^2 + 3 + 1$
सामान्य रूप में,$a_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
हमें $a_{2010} = \frac{3^{2010} - 1}{2}$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
यह $\frac{3^{2010} - 1}{2} \equiv x \pmod{11}$ ज्ञात करने के समान है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $3^{2010} - 1 \equiv 2x \pmod{11}$ प्राप्त होता है।
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.
चूंकि $2010 = 10 \times 201$,इसलिए $3^{2010} = (3^{10})^{201} \equiv 1^{201} \equiv 1 \pmod{11}$.
अतः,$3^{2010} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.
इस प्रकार,$2x \equiv 0 \pmod{11}$,जिसका अर्थ है $x = 0$ क्योंकि $2$ और $11$ सह-अभाज्य हैं।
शेषफल $0$ है।

(C) विस्तार $\left(x^{1/2} + \frac{1}{2x^{1/4}}\right)^n$ का सामान्य पद $T_{r+1} = { }^n C_r \cdot 2^{-r} \cdot x^{\frac{2n-3r}{4}}$ है।
पहले तीन पदों के गुणांक $T_1 = { }^n C_0$,$T_2 = \frac{{ }^n C_1}{2}$,और $T_3 = \frac{{ }^n C_2}{4}$ हैं।
दिया गया है कि $T_1, T_2, T_3$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2T_2 = T_1 + T_3$ है।
$n = 1 + \frac{n(n-1)}{8} \Rightarrow n^2 - 9n + 8 = 0$।
$(n-1)(n-8) = 0$। $n=8$ लेने पर।
$x$ की घात $\frac{16-3r}{4} = 4 - \frac{3r}{4}$ है।
पूर्णांक घात के लिए $r = 0, 4, 8$ संभव है।
अतः,$x$ की पूर्णांक घात वाले $3$ पद हैं।

(B) दिया गया है कि $2x^2+2x+1$, $(x+1)^n-r$ को विभाजित करता है, इसलिए $2x^2+2x+1=0$ के मूल $(x+1)^n-r=0$ को संतुष्ट करने चाहिए।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $2x^2+2x+1=0$ को हल करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.
$x = \frac{-1+i}{2}$ को $(x+1)^n = r$ में रखने पर:
$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.
$\frac{1+i}{2}$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.
अतः, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.
चूंकि $r$ एक वास्तविक संख्या है, काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए, इसलिए $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $n$, $4$ का गुणज होना चाहिए।
$n=4000$ के लिए, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.
अतः, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

(B) दिया गया समीकरण $(y-ax-b)(bx^2+ay^2-ab)=0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $y-ax-b=0$ या $bx^2+ay^2-ab=0$ है।
$1$. $y=ax+b$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ है।
$2$. $bx^2+ay^2=ab$ को $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है (यह मानते हुए कि $a, b \neq 0$)।
यदि $a > 0$ और $b < 0$ है,तो समीकरण $\frac{x^2}{a} - \frac{y^2}{|b|} = 1$ हो जाता है,जो क्षैतिज रूप से खुलने वाले अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।
यदि $a < 0$ और $b > 0$ है,तो समीकरण $-\frac{x^2}{|a|} + \frac{y^2}{b} = 1$ हो जाता है,जो लंबवत रूप से खुलने वाले अतिपरवलय को दर्शाता है।
दी गई आकृतियों को देखने पर,चित्र $2$ एक रेखा के साथ क्षैतिज रूप से खुलने वाले अतिपरवलय को दर्शाता है,जो उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ $a > 0$ और $b < 0$ है। अतः,चित्र $2$ सही निरूपण है।

(B) माना $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जो $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है,जहाँ $\angle A = 120^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज होने के कारण,$\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ के क्षेत्रफलों का योग है।
अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $6^m + 2^{m+n} \cdot 3^w + 2^n = 332$.
हम समीकरण को $6^m + 2^m \cdot 2^n \cdot 3^w + 2^n = 332$ के रूप में लिख सकते हैं,जो $6^m + 2^n(2^m \cdot 3^w + 1) = 332$ में सरल हो जाता है।
यदि $m=2$ है,तो $6^2 + 2^n(2^2 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$36 + 2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 296$.
चूंकि $296 = 8 \times 37 = 2^3 \times 37$,इसलिए $2^n = 2^3$,जिसका अर्थ है $n=3$.
साथ ही,$4 \cdot 3^w + 1 = 37$,जिसका अर्थ है $4 \cdot 3^w = 36$,जिससे $3^w = 9$ प्राप्त होता है,अर्थात $w=2$ है।
अतः,$m=2, n=3$ धनात्मक पूर्णांक हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अब,$m^2 + mn + n^2 = (2)^2 + (2)(3) + (3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$।

(C) माना समीकरण $x^2+bx+a=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha+\beta = -b$ और $\alpha\beta = a$ है।
दिया गया है कि समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल पहले समीकरण के मूलों से $1$ अधिक हैं,इसलिए मूल $(\alpha+1)$ और $(\beta+1)$ हैं।
दूसरे समीकरण के लिए मूलों के गुणों से:
$(\alpha+1)+(\beta+1) = -a \implies \alpha+\beta+2 = -a$.
$\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-b+2 = -a$ प्राप्त होता है,जो $a-b = -2$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
साथ ही,$(\alpha+1)(\beta+1) = b \implies \alpha\beta + \alpha+\beta + 1 = b$.
$\alpha\beta = a$ और $\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a-b+1 = b$ प्राप्त होता है,जो $a-2b = -1$ (समीकरण $2$) में सरल हो जाता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(a-b) - (a-2b) = -2 - (-1) \implies b = -1$.
$b = -1$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a - (-1) = -2 \implies a+1 = -2 \implies a = -3$.
अतः,$a+b = -3 + (-1) = -4$.

(D) दिया गया समीकरण: $3^{(x/y)+1} - 3^{(x/y)-1} = 24$
मान लीजिए $u = x/y$ है। तब समीकरण $3^{u+1} - 3^{u-1} = 24$ हो जाता है।
$3^{u-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$3^{u-1} \cdot (3^2 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot (9 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot 8 = 24$
$3^{u-1} = 3$
अतः $u - 1 = 1$,जिसका अर्थ है कि $u = 2$ है।
इस प्रकार,$x/y = 2$ है।
हमें $\frac{x+y}{x-y}$ का मान ज्ञात करना है। अंश और हर को $y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x/y + 1}{x/y - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(B) हमारे पास व्यंजक $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर,अंश $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है और हर $\frac{n(n+1)}{2}$ है।
इनका भाग देने पर,हमें $\frac{2n+1}{3}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,मान लीजिए $\frac{2n+1}{3} = k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
इसका अर्थ है $2n+1 = 3k$,या $2n = 3k-1$।
चूँकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$3k-1$ सम संख्या होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
$1 \leq n \leq 100$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq \frac{3k-1}{2} \leq 100$।
$2 \leq 3k-1 \leq 200$ $\Rightarrow 3 \leq 3k \leq 201$ $\Rightarrow 1 \leq k \leq 67$।
हमें $[1, 67]$ अंतराल में विषम पूर्णांकों $k$ की संख्या ज्ञात करनी है।
विषम पूर्णांक $1, 3, 5, \ldots, 67$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=2$,और $l=67$ है।
$l = a + (m-1)d$ सूत्र का उपयोग करने पर,$67 = 1 + (m-1)2$ $\Rightarrow 66 = 2(m-1)$ $\Rightarrow 33 = m-1$ $\Rightarrow m = 34$।
अतः,ऐसे $34$ पूर्णांक $n$ हैं।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a=1$ सबसे छोटी भुजा है। चूँकि भुजाएँ धनात्मक पूर्णांक हैं,$b \ge 1$ और $c \ge 1$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए:
$b+c > 1$,$1+b > c$,और $1+c > b$.
इससे $-1 < b-c < 1$ प्राप्त होता है। चूँकि $b$ और $c$ पूर्णांक हैं,इसलिए $b-c=0$ अर्थात $b=c$ होगा।
अतः,भुजाएँ $1, b, b$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = b + \frac{1}{2}$ है।
क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2 - 1}$ है।
किसी भी पूर्णांक $b \ge 1$ के लिए $4b^2-1$ पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए क्षेत्रफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है।

(B) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ को निर्देशांक तल में $A(0, 12), B(12, 12), C(12, 0), D(0, 0)$ के रूप में रखा गया है।
$M, AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $M = (6, 12)$ है।
$N, CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $N = (6, 0)$ है।
$P, MN$ पर स्थित है,इसलिए $P = (6, y)$ जहाँ $y \in [0, 12]$ है।
$AP = r = \sqrt{(6-0)^2 + (y-12)^2} = \sqrt{36 + (12-y)^2}$ है।
$PC = s = \sqrt{(6-12)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{36 + y^2}$ है।
$r, s, 12$ भुजाओं वाले त्रिभुज पर विचार करें। ध्यान दें कि $BC = 12$ है। बिंदु $P$ की $BC$ भुजा (जो $x=12$ रेखा पर स्थित है) से क्षैतिज दूरी $6$ है।
अतः,$\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times P \text{ की } BC \text{ से दूरी} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ है।

(B) नियमित षट्कोण का आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है। बाह्य कोण $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ है। गाय $R = \frac{5a}{2}$ त्रिज्या और $240^\circ$ कोण वाले त्रिज्यखंड में चर सकती है।
जैसे-जैसे रस्सी षट्कोण के शीर्षों पर लिपटती है,प्रत्येक मोड़ पर त्रिज्या $a$ कम हो जाती है।
$1$. त्रिज्यखंड $1$: त्रिज्या $R_1 = \frac{5a}{2}$,कोण $\theta_1 = 240^\circ = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} R_1^2 \theta_1 = \frac{25\pi a^2}{12}$।
$2$. त्रिज्यखंड $2$: त्रिज्या $R_2 = \frac{3a}{2}$,कोण $\theta_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_2 = \frac{3\pi a^2}{8}$।
$3$. त्रिज्यखंड $3$: त्रिज्या $R_3 = \frac{a}{2}$,कोण $\theta_3 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ रेडियन। क्षेत्रफल $A_3 = \frac{\pi a^2}{24}$।
कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 + A_3 = \frac{5}{2} \pi a^2$।

(D) मान लीजिए कि स्तंभों की चौड़ाई $x_1, x_2, x_3, x_4$ है और पंक्तियों की ऊँचाई $y_1, y_2, y_3, y_4$ है।
दिए गए क्षेत्रफलों से,हमारे पास है:
$x_1 y_1 = 10$,$x_2 y_1 = 4$,$x_3 y_2 = 12$,$x_4 y_2 = 15$,$x_4 y_3 = 25$.
हमें आयत $KLMN$ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है,जो $x_1 y_3$ है।
संबंधों से:
$x_1 = \frac{10}{y_1}$,$x_2 = \frac{4}{y_1}$,$x_3 = \frac{12}{y_2}$,$x_4 = \frac{15}{y_2}$,$y_3 = \frac{25}{x_4} = \frac{25}{15/y_2} = \frac{25 y_2}{15} = \frac{5}{3} y_2$.
अतः,क्षेत्रफल $KLMN = x_1 y_3 = \left(\frac{10}{y_1}\right) \left(\frac{5}{3} y_2\right) = \frac{50}{3} \frac{y_2}{y_1}$.
ग्रिड को देखने पर,आयत $KLMN$ का क्षेत्रफल $50$ प्राप्त होता है।

(D) $\text{Area}(\triangle ADE) = 3$ और $\text{Area}(\triangle ODE) = 1$ लें।
चूंकि $DE \parallel BC$,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ है।
$\text{Area}(\triangle BOD) = \text{Area}(\triangle COE) = x$ और $\text{Area}(\triangle BOC) = y$ लें।
$\triangle BDE$ और $\triangle CDE$ एक ही आधार $DE$ पर हैं और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\text{Area}(\triangle BDE) = \text{Area}(\triangle CDE)$।
अतः,$x + 1 = x + 1$।
समान ऊंचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुण का उपयोग करते हुए,$\frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOD)} = \frac{OE}{OB} = \frac{\text{Area}(\triangle COE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{x}{y}$।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{x}{y} \implies y = x^2$।
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ होने के कारण,$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{1}{y}$।
$\frac{3}{3 + 2x + y} = \frac{1}{y} \implies 3y = 3 + 2x + y \implies 2y = 2x + 3$ (त्रुटि सुधार)।
सही संबंध $x^2 = 3 \cdot 1 = 3$ है,इसलिए $x = \sqrt{3}$।
अतः $y = x^2 = 3$।
कुल क्षेत्रफल $= 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 7 + 2\sqrt{3}$।

(D) माना बेची गई कुल $CDs$ की संख्या $x$ है। प्राप्त कुल धन $x^2$ रुपये है।
वे बारी-बारी से $10$ रुपये लेते हैं,जो $x^2$ को $10$ से भाग देने के समान है।
$x^2 = 10q + r$,जहाँ $0 \leq r < 10$ है।
लीला पहले $10$ रुपये लेती है,इसलिए क्रम है: लीला,मदन,लीला,मदन,...
यदि $q$ विषम है,तो अंतिम $10$ रुपये लीला लेती है और शेष राशि $r$ मदन को मिलती है।
यदि $x=4$ है,तो $x^2=16 = 10(1)+6$। यहाँ $q=1$ (विषम) है,इसलिए $r=6$ मदन को मिलता है।
अतः,मदन के पास $6$ रुपये बचेंगे।

(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$।
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A$.
$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$.
चूँकि $A^4 = I$,$A$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $I, A, -I, -A, I, \dots$।
किन्हीं भी चार क्रमागत पदों का योग $I + A + A^2 + A^3 = I + A - I - A = 0$ है।
श्रेणी $S = I + A + A^2 + \dots + A^{2010}$ है।
कुल $2011$ पद हैं। चूँकि $2011 = 4 \times 502 + 3$,योग में $4$ पदों के $502$ समूह (जिनका योग $0$ है) और शेष $3$ पद होंगे:
$S = 502(0) + (I + A + A^2) = I + A - I = A$.
अतः,$S = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$।

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ अंतराल $(a, b)$ पर एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(a) = f(b) = 0$ और $a < b$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(a)$ और $f^{\prime}(b)$ का चिह्न समान है।
यदि $f^{\prime}(a) > 0$ और $f^{\prime}(b) > 0$ है,तो चूँकि $f(a) = f(b) = 0$ है,फलन को $a$ से बढ़ना होगा और अंततः $b$ तक पहुँचने के लिए घटना होगा। इसका मतलब है कि $(a, b)$ में कम से कम एक स्थानीय अधिकतम बिंदु होना चाहिए जहाँ $f^{\prime}(x) = 0$ हो।
हालाँकि,चूँकि $f^{\prime}(b) > 0$ है,फलन को सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए फिर से मुड़ना होगा,जिसके लिए $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम एक और मूल की आवश्यकता होगी।
अतः,अंतराल $(a, b)$ में $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम $2$ मूल होने चाहिए।

(B) माना $f(x) = (x-41)^{49} + (x-49)^{41} + (x-2009)^{2009}$.
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 49(x-41)^{48} + 41(x-49)^{40} + 2009(x-2009)^{2008}$.
चूंकि घातांक $48$,$40$,और $2008$ सभी सम हैं,प्रत्येक पद $(x-a)^{2n}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,$(x-41)^{48} \ge 0$,$(x-49)^{40} \ge 0$,और $(x-2009)^{2008} \ge 0$.
चूंकि गुणांक $49$,$41$,और $2009$ धनात्मक हैं,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है।
इसके अलावा,$f'(x)$ कभी भी शून्य नहीं होता है क्योंकि पद अलग-अलग बिंदुओं $(x=41, 49, 2009)$ पर शून्य होते हैं।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान सतत फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,ठीक एक वास्तविक मूल मौजूद है।
यह जांचने के लिए कि क्या मूल धनात्मक है,हम $f(0)$ का मान निकालते हैं:
$f(0) = (-41)^{49} + (-49)^{41} + (-2009)^{2009} < 0$.
चूंकि $f(0) < 0$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$,इसलिए एकमात्र वास्तविक मूल $(0, \infty)$ अंतराल में स्थित होगा।
अतः,ठीक एक धनात्मक वास्तविक मूल है।

(C) $f'(x)$ के दिए गए ग्राफ से,हम देखते हैं कि जिन बिंदुओं पर $f'(x) = 0$ है,वे $x=a, b, c$ हैं।
$1$. $x=a$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को नीचे से ऊपर की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=a$ पर स्थानीय निम्नतम मान है।
$2$. $x=b$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को ऊपर से नीचे की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=b$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
$3$. $x=c$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को नीचे से ऊपर की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=c$ पर स्थानीय निम्नतम मान है।
अतः,$f(x)$ का $x=a, c$ पर स्थानीय निम्नतम और $x=b$ पर स्थानीय उच्चतम मान है। सही विकल्प $C$ है।

(A) दिए गए बिंदु $A(1,1), B(3,2), C(2,3)$ हैं।
$A(1,1)$ और $B(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा $l_2$ की ढाल $m = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $l_1, l_2$ के समानांतर है और वक्र को $C(2,3)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए रेखा $l_1$ का समीकरण $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2)$ होगा,जो सरल होकर $y = \frac{x}{2} + 2$ बन जाता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=1$ से $x=3$ तक रेखा $l_1$ और वक्र $f(x)$ के बीच का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{1}^{3} (l_1(x) - f(x)) dx = \int_{1}^{3} (\frac{x}{2} + 2) dx - \int_{1}^{3} f(x) dx$.
दिया गया है कि $\int_{1}^{3} f(x) dx = 4$.
क्षेत्रफल $= [\frac{x^2}{4} + 2x]_{1}^{3} - 4 = (\frac{9}{4} + 6) - (\frac{1}{4} + 2) - 4 = (2 + 4) - 4 = 2$ वर्ग इकाई।

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.
मान लीजिए $\log x = -t$,तो $x = e^{-t}$ और $dx = -e^{-t} dt$.
जब $x = 0, t \to \infty$ और जब $x = 1, t = 0$.
अतः,$I_n = \int_{\infty}^0 (-t)^n (-e^{-t}) dt = (-1)^n \int_0^{\infty} t^n e^{-t} dt = (-1)^n \Gamma(n+1) = (-1)^n n!$.
वैकल्पिक रूप से,$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I_n = [x(\log x)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx = 0 - n \int_0^1 (\log x)^{n-1} dx = -n I_{n-1}$.
इस प्रकार,$I_n + n I_{n-1} = 0$.
$n = 2011$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $I_{2011} + 2011 I_{2010} = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$I_{100} + 100 I_{99} = 0$ भी सत्य है।
अतः,$I_{2011} + 2011 I_{2010} = I_{100} + 100 I_{99} = 0$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{u}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v}=-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-2 - (-3)) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= \hat{i}(1) - 4 \hat{j} - 6 \hat{k} = \hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{w}$ $XY$-समतल में एक इकाई सदिश है,इसे $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
अब,अदिश गुणनफल $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ की गणना करें:
$|(\hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})| = |\cos \theta - 4 \sin \theta|$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ के रूप वाले व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -4$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

(B) दिया गया है कि $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$.
$f(x)$ के दिए गए ग्राफ से,हम देखते हैं कि $f(x)$ एक अवतल (concave downward) फलन है जिसका अधिकतम मान $x=c$ पर है,जहाँ $a < c < b$ है। अतः,$f'(c) = 0$.
$x=c$ पर,$g'(c) = \frac{c f'(c) - f(c)}{c^2} = \frac{c(0) - f(c)}{c^2} = -\frac{f(c)}{c^2}$.
चूँकि $f(c) > 0$ और $c > 0$ है (क्योंकि अंतराल में $0$ शामिल नहीं है),इसलिए $g'(c) < 0$.
यह दर्शाता है कि फलन $g(x)$,$x=c$ पर ह्रासमान (decreasing) है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,आकृति $2$ एक ऐसा वक्र दर्शाती है जो अवतल है और $f(x) > 0$ तथा $x > 0$ के लिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ के व्यवहार के अनुरूप है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) मान लीजिए दिए गए शंकु $V_1$ की ऊँचाई $H$ और त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
मान लीजिए अंकित शंकु $V_2$ की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है। इस शंकु का शीर्ष $O$ पर है और इसका आधार $O$ से $h$ दूरी पर है। अंकित शंकु के आधार की शीर्ष $A$ से ऊँचाई $H-h$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H}$ है।
अतः,$\frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \Rightarrow h = H(1 - \frac{r}{R})$ है।
अंकित शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R}) = \frac{\pi H}{3} (r^2 - \frac{r^3}{R})$ है।
$V_2$ को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV_2}{dr} = \frac{\pi H}{3} (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$ है।
इससे $r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $r \neq 0$,हमें $r = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{2R}{3}$ को $h$ के समीकरण में रखने पर: $h = H(1 - \frac{2R/3}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{H}{3}$ है।
अब,$V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R}{3})^2 (\frac{H}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{4R^2}{9}) (\frac{H}{3}) = \frac{4}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{4}{27} V_1$ है।
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{27}$ है।

(A) दिया गया समाकल समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 1 + f(x)$.
यह $f'(x) - f(x) = 1$ रूप का एक रैखिक प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-x}) = e^{-x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) dt = 0$.
$f(x) = -1 + C e^x$ में $x=0$ रखने पर:
$0 = -1 + C(e^0) \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = e^x - 1$.
समुच्चय $S = \{x \in R : f(x) = 0\}$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $e^x - 1 = 0$ को हल करते हैं।
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
केवल एक ही हल प्राप्त होता है,$x=0$।
इसलिए,समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $1$ है।

(B) माना $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ है।
फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = x$,जब $x \in [0, \pi]$
$f(x) = 2\pi - x$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$
फलन $g(x) = |x-\pi|$ इस प्रकार परिभाषित है:
$g(x) = \pi - x$,जब $x \in [0, \pi]$
$g(x) = x - \pi$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$
इन फलनों का आलेख खींचने पर,समाकलन $0$ से $2\pi$ तक इन दो वक्रों के न्यूनतम भाग के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है। ये वक्र $x = \pi/2$ और $x = 3\pi/2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
आलेख के अनुसार,छायांकित क्षेत्र दो त्रिभुजों से बना है,जिसका कुल क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \pi \times \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \times \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2}$ है।

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$।
मान लीजिए $A, B, C$ और $P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{p}$ हैं।
अतः,$(\vec{a} - \vec{p}) + 2(\vec{b} - \vec{p}) + 3(\vec{c} - \vec{p}) = \vec{0}$।
$\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = 6\vec{p} \implies \vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle APC$ का क्षेत्रफल $\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{p}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}|$
$= \frac{1}{12} |\vec{a} \times \vec{a} + 2\vec{b} \times \vec{a} + 3\vec{c} \times \vec{a} + 6(\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{c} \times \vec{a} + 2\vec{c} \times \vec{b} + 3\vec{c} \times \vec{c}|$
$= \frac{1}{12} |0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{a}) - 6(\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0|$
$= \frac{1}{6} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}| = \frac{1}{3} \Delta$।
अतः,$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle APC)} = 3$।

(A) माना घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l, b$ और $h$ है।
दिया गया है कि फलक विकर्णों की लंबाई $39, 40$ और $41$ है:
$l^2 + b^2 = 39^2$
$b^2 + h^2 = 40^2$
$h^2 + l^2 = 41^2$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 39^2 + 40^2 + 41^2$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 1521 + 1600 + 1681$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 4802$
$l^2 + b^2 + h^2 = 2401$
घनाभ के मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= \sqrt{2401} = 49$.

(D) मान लीजिए कि $R$ और $H$ पूर्ण शंकु की त्रिज्या और ऊंचाई हैं। पूर्ण शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
चूंकि पानी एक स्थिर गति से बाहर निकल रहा है,इसलिए आयतन के परिवर्तन की दर स्थिर है,अर्थात $\frac{dV}{dt} = -k$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
किसी भी ऊंचाई $h$ पर,पानी की सतह की त्रिज्या $r$ को $\frac{r}{h} = \frac{R}{H}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $r = \frac{R}{H} h$ है।
ऊंचाई $h$ पर पानी का आयतन $V(h) = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{H} h\right)^2 h = \frac{\pi R^2}{3 H^2} h^3$ है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर,$h = H$,इसलिए $V(H) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
$t = 21 \, min$ पर,$h = \frac{H}{2}$,इसलिए शेष पानी का आयतन $V\left(\frac{H}{2}\right) = \frac{\pi R^2}{3 H^2} \left(\frac{H}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3} \pi R^2 H\right) = \frac{V}{8}$ है।
$21 \, min$ में निकाला गया पानी का आयतन $V - \frac{V}{8} = \frac{7V}{8}$ है।
चूंकि बाहर निकलने की दर स्थिर है,इसलिए शेष आयतन $\frac{V}{8}$ को निकालने में लगा समय $t'$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\text{निकाला गया आयतन}}{\text{लगा समय}} = \text{स्थिरांक}$.
$\frac{7V/8}{21} = \frac{V/8}{t'}$.
$t' = 21 \times \frac{V/8}{7V/8} = 21 \times \frac{1}{7} = 3 \, min$.
इस प्रकार,बर्तन को खाली करने के लिए $3 \, min$ और लगेंगे।