KVPY 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D)
$O_2^{2-}$ में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $18$ है।
$O_2^{2-}$ का आण्विक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है:
$\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^2$.
आबंध कोटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $BO = \frac{N_b - N_a}{2}$,जहाँ $N_b$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $N_a$ प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
यहाँ,$N_b = 10$ और $N_a = 8$ है।
अतः,$BO = \frac{10 - 8}{2} = 1$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिए गए मान हैं:
प्लांक स्थिरांक $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$
प्रकाश की गति $(c) = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$
तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 1 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3 \times 10^8 \, ms^{-1}}{1 \, m}$
$E = 19.878 \times 10^{-26} \, J$
$E = 1.988 \times 10^{-25} \, J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C)
केंद्रीय परमाणु $Cl$ में $7$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिनमें से यह फ्लोरीन के साथ $3$ बंध युग्म बनाता है और $2$ इलेक्ट्रॉन युग्म अनाबंधी (एकाकी युग्म) रहते हैं।
$VSEPR$ सिद्धांत के अनुसार,अणु में $sp^3d$ संकरण होता है और इसकी इलेक्ट्रॉन ज्यामिति त्रिकोणीय द्विपिरामिडीय होती है।
प्रतिकर्षण को कम करने के लिए,दोनों एकाकी युग्म भूमध्यरेखीय स्थितियों पर कब्जा कर लेते हैं,जिसके परिणामस्वरूप अणु की ज्यामिति $T$-आकार की हो जाती है।

(D) सही उत्तर $ (D) $ है।
फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन एक इलेक्ट्रोफिलिक एरोमैटिक प्रतिस्थापन अभिक्रिया है। इस प्रक्रिया में,एक एरोमैटिक यौगिक की अभिक्रिया लुईस एसिड उत्प्रेरक (जैसे $ AlCl_3 $) की उपस्थिति में एसाइल क्लोराइड या एसिड एनहाइड्राइड के साथ कराकर एरोमैटिक वलय में एसाइल समूह $( RCO- )$ जोड़ा जाता है।
इस अभिक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$ C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl $

(A) $n$-ब्यूटेन के लिए सबसे अधिक स्थायी संरूपण एंटी-स्टैगर्ड रूप है,जहाँ दो बड़े मिथाइल समूह एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के द्वितल कोण (dihedral angle) पर होते हैं।
इस संरूपण में,मिथाइल समूहों के बीच त्रिविम प्रतिकर्षण (steric repulsion) न्यूनतम होता है,जिससे यह सबसे अधिक स्थायी संरूपण बन जाता है।
यह संरचना विकल्प $(A)$ में दर्शाई गई है।

(A) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया में: ${ }_{90}^{234} Th \longrightarrow{ }_{91}^{234} Pa + X$.
द्रव्यमान संख्या के संरक्षण के नियम के अनुसार: $234 = 234 + A$,जिससे $A = 0$ प्राप्त होता है।
परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम के अनुसार: $90 = 91 + Z$,जिससे $Z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,कण $X$ एक ${ }_{-1}^0 e$ (बीटा कण) है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दी गई अभिक्रियाएँ हैं:
$(i) \, CO_2 \rightleftharpoons CO + \frac{1}{2} O_2, \, K_{C_1} = 9.1 \times 10^{-12}$
$(ii) \, H_2O \rightleftharpoons H_2 + \frac{1}{2} O_2, \, K_{C_2} = 7.1 \times 10^{-12}$
हमें अभिक्रिया $CO_2 + H_2 \rightleftharpoons CO + H_2O \quad (iii)$ के लिए साम्य स्थिरांक $K$ ज्ञात करना है।
अभिक्रिया $(iii)$ प्राप्त करने के लिए,अभिक्रिया $(ii)$ को उल्टा करके अभिक्रिया $(i)$ में जोड़ते हैं:
$(ii)$ का उल्टा: $H_2 + \frac{1}{2} O_2 \rightleftharpoons H_2O, \, K_{C_3} = \frac{1}{K_{C_2}} = \frac{1}{7.1 \times 10^{-12}}$
$(i)$ और उल्टी की गई $(ii)$ को जोड़ने पर:
$CO_2 + H_2 + \frac{1}{2} O_2 \rightleftharpoons CO + \frac{1}{2} O_2 + H_2O$
$CO_2 + H_2 \rightleftharpoons CO + H_2O$
साम्य स्थिरांक $K = K_{C_1} \times \frac{1}{K_{C_2}} = \frac{9.1 \times 10^{-12}}{7.1 \times 10^{-12}} = 1.28$.

(A) $PCl_3F_2$ अणु की ज्यामिति त्रिकोणीय द्विपिरामिडीय होती है।
बेंट के नियम के अनुसार,अधिक विद्युत ऋणात्मक परमाणु अक्षीय स्थितियों पर रहना पसंद करते हैं,जबकि बड़े और कम विद्युत ऋणात्मक परमाणु प्रतिकर्षण को कम करने के लिए भूमध्यरेखीय स्थितियों पर रहना पसंद करते हैं।
$PCl_3F_2$ में,$F$ परमाणु $Cl$ परमाणुओं की तुलना में अधिक विद्युत ऋणात्मक होते हैं।
इसलिए,$F$ परमाणु अक्षीय स्थितियों पर और $Cl$ परमाणु भूमध्यरेखीय स्थितियों पर स्थित होते हैं।
यह विकल्प $A$ में दिखाई गई संरचना के अनुरूप है।

(B) एनेन्टीओमर स्टीरियोआइसोमर्स के ऐसे जोड़े होते हैं जो एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपित (non-superimposable) दर्पण प्रतिबिंब होते हैं। उनमें कम से कम एक कायरल केंद्र होना चाहिए।
$1$. संरचना $I$,$pentan-2-ol$ है जिसमें $-OH$ समूह वेज (wedge) पर है।
$2$. संरचना $IV$,$pentan-2-ol$ है जिसमें $-OH$ समूह डैश (dash) पर है।
$3$. $I$ और $IV$ की तुलना करने पर,वे एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपित दर्पण प्रतिबिंब हैं और दोनों में $C-2$ स्थिति पर एक कायरल कार्बन परमाणु मौजूद है।
$4$. संरचना $II$ और $III$ में कोई कायरल केंद्र नहीं है,इसलिए वे एनेन्टीओमेरिक युग्म नहीं हो सकते।
अतः,सही एनेन्टीओमेरिक युग्म $I$ और $IV$ है।

(C) कोई भी यौगिक एरोमैटिक होता है यदि वह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
$1$. यह चक्रीय होना चाहिए।
$2$. यह समतलीय (planar) होना चाहिए।
$3$. इसमें $\pi$ इलेक्ट्रॉनों की पूर्ण संयुग्मित प्रणाली होनी चाहिए।
$4$. यह हकल के नियम का पालन करना चाहिए,अर्थात इसमें $(4n+2) \pi$ इलेक्ट्रॉन होने चाहिए,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।
आइए दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करें:
- विकल्प $(A)$: साइक्लोपेंटाडाइनाइल धनायन में $4 \pi$ इलेक्ट्रॉन हैं। यह एंटी-एरोमैटिक है।
- विकल्प $(B)$: साइक्लोहेक्साडाइनाइल धनायन असमतलीय और नॉन-एरोमैटिक है।
- विकल्प $(C)$: ट्रोपिलियम धनायन (साइक्लोहेप्टाट्राइनाइल धनायन) में $6 \pi$ इलेक्ट्रॉन $(n=1)$ हैं। यह चक्रीय,समतलीय और पूर्णतः संयुग्मित है। अतः,यह एरोमैटिक है।
- विकल्प $(D)$: साइक्लोऑक्टाट्राइनाइल धनायन असमतलीय और नॉन-एरोमैटिक है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) अंधेरे में $CCl_4$ की उपस्थिति में साइक्लोहेक्सीन की ब्रोमीन के साथ अभिक्रिया एक इलेक्ट्रोफिलिक योगात्मक अभिक्रिया है।
ब्रोमीन द्वि-आबंध पर एंटी-एडिशन (विपरीत दिशा से) तरीके से जुड़ता है,जिसके परिणामस्वरूप $trans-1,2-dibromocyclohexane$ का निर्माण होता है।
यह अभिक्रिया एक चक्रीय ब्रोमोनियम आयन मध्यवर्ती के माध्यम से आगे बढ़ती है,जिस पर ब्रोमाइड आयन विपरीत दिशा से आक्रमण करता है,जिससे ट्रांस-उत्पाद प्राप्त होता है।

(A) यौगिक $I$ ($2,3$-डाइमिथाइलब्यूट-$2$-ईन) का $Br_2$ के साथ ब्रोमीनीकरण करने पर $2,3$-डाइब्रोमो-$2,3$-डाइमिथाइलब्यूटेन प्राप्त होता है। सममिति के तल की उपस्थिति के कारण यह उत्पाद एक $meso$ यौगिक है। इसलिए,यह कोई एनैन्शिओमेरिक युग्म नहीं बनाता है।
यौगिक $II$ ($2$-मिथाइलब्यूट-$1$-ईन) का $Br_2$ के साथ ब्रोमीनीकरण करने पर $1,2$-डाइब्रोमो-$2$-मिथाइलब्यूटेन प्राप्त होता है। $2$ नंबर की स्थिति पर कार्बन परमाणु एक कायरल केंद्र $(C^*)$ बन जाता है। यह कायरल यौगिक एनैन्शिओमर के एक युग्म ($d$ और $l$ रूप) के रूप में मौजूद होता है,जो एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपित दर्पण प्रतिबिंब हैं। इस प्रकार,यह $1$ एनैन्शिओमेरिक युग्म उत्पन्न करता है।
अतः,$I$ और $II$ से उत्पन्न एनैन्शिओमेरिक युग्मों की संख्या क्रमशः $0$ और $1$ है। सही विकल्प $(a)$ है।

(A) साम्यावस्था पर,गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta G^{\circ} = 0 \, kJ \, mol^{-1}$ होता है।
संबंध $\Delta G^{\circ} = \Delta H^{\circ} - T \Delta S^{\circ}$ का उपयोग करते हुए,साम्यावस्था पर $0 = \Delta H^{\circ} - T \Delta S^{\circ}$ होता है।
अतः,$T = \frac{\Delta H^{\circ}}{\Delta S^{\circ}}$.
यहाँ $\Delta H^{\circ} = 7.5 \, kJ \, mol^{-1} = 7500 \, J \, mol^{-1}$ और $\Delta S^{\circ} = 25 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ दिया गया है।
$T = \frac{7500 \, J \, mol^{-1}}{25 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}} = 300 \, K$.
इस प्रकार,मान $0 \, kJ \, mol^{-1}$ और $300 \, K$ हैं।

(D) $Mg(OH)_2$ के अवक्षेपण के लिए,आयनिक गुणनफल विलेयता गुणनफल $(K_{sp})$ से अधिक होना चाहिए।
साम्यावस्था है: $Mg(OH)_2(s) \rightleftharpoons Mg^{2+}(aq) + 2OH^-(aq)$
$K_{sp} = [Mg^{2+}][OH^-]^2 = 1.0 \times 10^{-12}$
दिया गया है $[Mg^{2+}] = 0.01 \ M = 10^{-2} \ M$।
मान रखने पर: $10^{-2} \times [OH^-]^2 = 10^{-12}$
$[OH^-]^2 = 10^{-10}$
$[OH^-] = 10^{-5} \ M$
$pOH = -\log[OH^-] = -\log(10^{-5}) = 5$
चूंकि $25^{\circ}C$ पर $pH + pOH = 14$ होता है,
$pH = 14 - 5 = 9$।

(B) चक्रीय सिलिकेट्स में,प्रत्येक $SiO_4^{4-}$ टेट्राहेड्रॉन के दो ऑक्सीजन परमाणु साझा किए जाते हैं,जिससे $[SiO_3]_n^{2n-}$ सामान्य सूत्र वाली एक वलय (ring) बनती है।
आकृति में $6$ सिलिकॉन परमाणुओं से बनी एक वलय दिखाई गई है।
सामान्य सूत्र में $n = 6$ रखने पर,हमें $[SiO_3]_6^{2(6)-} = [Si_6O_{18}]^{12-}$ प्राप्त होता है।
अतः,चक्रीय सिलिकेट आयन $[Si_6O_{18}]^{12-}$ है।

(A) $B_2H_{6(g)}$ की संभवन एन्थैल्पी ज्ञात करने के लिए,हम हेस के नियम का उपयोग करते हैं।
हमें अभिक्रिया प्राप्त करनी है: $2 B_{(s)} + 3 H_{2(g)} \longrightarrow B_2H_{6(g)}$
दिए गए समीकरणों का उपयोग करते हुए:
$(ii) \quad 2 B_{(s)} + \frac{3}{2} O_{2(g)} \longrightarrow B_2O_{3(s)}, \quad \Delta H_2^{\circ} = -1273 \, kJ$
$(iv) \times 3 \quad 3 H_{2(g)} + \frac{3}{2} O_{2(g)}$ $\longrightarrow 3 H_2O_{(l)}, \quad 3 \times \Delta H_4^{\circ} = -858 \, kJ$
$(i) \times 3 \quad 3 H_2O_{(l)} \longrightarrow 3 H_2O_{(g)}, \quad 3 \times \Delta H_1^{\circ} = 132 \, kJ$
$-(iii) \quad B_2O_{3(s)} + 3 H_2O_{(g)} \longrightarrow B_2H_{6(g)} + 3 O_{2(g)}, \quad -\Delta H_3^{\circ} = 2035 \, kJ$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$2 B_{(s)} + 3 H_{2(g)} \longrightarrow B_2H_{6(g)}$
$\Delta H_r^{\circ} = -1273 - 858 + 132 + 2035 = 36 \, kJ$.

(A) सिलिकॉन $(Si)$ का परमाणु क्रमांक $14$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन $1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p$ के क्रम में भरे जाते हैं।
$14$ इलेक्ट्रॉनों का वितरण इस प्रकार है: $1 s^2, 2 s^2, 2 p^6, 3 s^2, 3 p^2$।
अतः,सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^2 2 s^2 2 p^6 3 s^2 3 p^2$ है।

(A) $CaCO_{3}$ के तापीय अपघटन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$CaCO_{3}(s) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} CaO(s) + CO_{2}(g)$
अभिक्रिया के रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$1 \ mol$ $CaCO_{3}$ से $1 \ mol$ $CO_{2}$ प्राप्त होता है।
$CaCO_{3}$ का मोलर द्रव्यमान $= 100 \ g/mol$.
$25 \ g$ $CaCO_{3}$ में मोलों की संख्या:
$n(CaCO_{3}) = \frac{25 \ g}{100 \ g/mol} = 0.25 \ mol$.
चूंकि $1 \ mol$ $CaCO_{3}$ से $1 \ mol$ $CO_{2}$ मिलता है,इसलिए $0.25 \ mol$ $CaCO_{3}$ से $0.25 \ mol$ $CO_{2}$ प्राप्त होगा।
$CO_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $= 12 + (2 \times 16) = 44 \ g/mol$.
उत्पन्न $CO_{2}$ का द्रव्यमान:
$Mass = n \times M = 0.25 \ mol \times 44 \ g/mol = 11 \ g$.

(B)
आवर्त सारणी के दूसरे आवर्त में बाएं से दाएं जाने पर,प्रभावी नाभिकीय आवेश में वृद्धि के कारण तत्वों की परमाणु त्रिज्या घटती है।
सभी कोशों के इलेक्ट्रॉन नाभिक की ओर अधिक खिंचते हैं,जिससे प्रत्येक कोश छोटा होता जाता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
अष्टक नियम के अनुसार,विभिन्न तत्वों के परमाणु अपने अष्टक को पूरा करने के लिए एक-दूसरे के साथ जुड़ते हैं (अर्थात,अपनी सबसे बाहरी कक्षा में $8$ इलेक्ट्रॉन,या $H, Li$ और $Be$ के मामले में $2$ इलेक्ट्रॉन प्राप्त करके निकटतम उत्कृष्ट गैस विन्यास प्राप्त करते हैं)।
$BCl_3$ में,केंद्रीय बोरॉन $(B)$ परमाणु क्लोरीन परमाणुओं के साथ तीन सहसंयोजक बंध बनाने के बाद अपनी संयोजकता कक्षा में केवल $6$ इलेक्ट्रॉन रखता है।
चूंकि $6 < 8$,इसलिए $BCl_3$ एक इलेक्ट्रॉन-न्यून अणु है और यह अष्टक नियम का पालन नहीं करता है।

(A) दी गई संरचना के अनुसार,कुल सहसंयोजक बंधों की गणना इस प्रकार है:
$1$. $C-H$ बंध: $7$
$2$. $C-C$ और $C=C$ बंध: $3$
$3$. $C-Br$ बंध: $1$
कुल सहसंयोजक बंध = $7 + 3 + 1 = 11$ होने चाहिए,लेकिन दी गई आकृति में $12$ बंध अंकित हैं।
आकृति के अनुसार कुल $12$ बंध हैं।

(D)
हम जानते हैं कि $pH = -\log [H^+]$.
प्रारंभिक $pH = 2.0$,इसलिए प्रारंभिक $[H^+]_i = 10^{-2} \ M$.
अंतिम $pH = 5.0$,इसलिए अंतिम $[H^+]_f = 10^{-5} \ M$.
परिवर्तन का अनुपात $\frac{[H^+]_f}{[H^+]_i} = \frac{10^{-5}}{10^{-2}} = 10^{-3}$ है।
अतः,हाइड्रोजन आयन सांद्रता $1000$ गुना (हजार गुना) कम हो जाती है।

(C) प्रथम जार के लिए:
$H_2$ के मोलों की संख्या = $\frac{2 \ g}{2 \ g/mol} = 1 \ mol$.
$H_2$ के अणुओं की संख्या = $1 \times N_A = 6.022 \times 10^{23}$ अणु।
दूसरे जार के लिए:
$N_2$ के मोलों की संख्या = $\frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$.
$N_2$ के अणुओं की संख्या = $1 \times N_A = 6.022 \times 10^{23}$ अणु।
चूंकि दोनों जार में $1 \ mol$ गैस है,इसलिए उनमें अणुओं की संख्या समान होगी।

(C) . दिए गए विकल्पों में समावयवियों (isomers) के प्रकार इस प्रकार हैं:
$(a)$ $CH_3CH_2CH_2OH$ और $CH_3CH_2OCH_3$: ये क्रियात्मक समावयवी हैं।
$(b)$ $CH_3CH_2CH_2Cl$ और $CH_3CHClCH_3$: ये स्थिति समावयवी हैं।
$(c)$ दी गई संरचनाएं ब्यूट$-2-$ईन के $cis$ और $trans$ रूप हैं। ये ज्यामितीय समावयवी हैं,जो त्रिविम समावयवियों का एक प्रकार है।
$(d)$ मिथाइलसाइक्लोपेंटेन और साइक्लोहेक्सेन: ये वलय-श्रृंखला (ring-chain) समावयवी हैं।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) दिया गया है $1 \, kcal = 4.184 \, kJ$. अतः,$2500 \, kcal = 2500 \times 4.184 \, kJ = 10460 \, kJ$. ऊर्जा की आवश्यकता $10460 \, kJ$ है।
$(b)$ सुक्रोज का मोलर द्रव्यमान $(C_{12}H_{22}O_{11})$ = $342 \, g/mol$.
प्रति मोल सुक्रोज द्वारा मुक्त ऊर्जा = $5600 \, kJ/mol$.
आवश्यक सुक्रोज के मोल = $\frac{10460 \, kJ}{5600 \, kJ/mol} \approx 1.8679 \, mol$.
सुक्रोज का द्रव्यमान = $1.8679 \, mol \times 342 \, g/mol \approx 638.82 \, g$.
समीकरण के अनुसार,$1 \, mol$ सुक्रोज $12 \, mol$ $CO_2$ उत्पन्न करता है।
उत्पन्न $CO_2$ के मोल = $1.8679 \times 12 = 22.4148 \, mol$.
$STP$ पर $CO_2$ का आयतन = $22.4148 \, mol \times 22.4 \, L/mol \approx 502.09 \, L$.

(D) शुरुआत में,तरबूज का कुल वजन $1000\,kg$ है।
चूंकि पानी की मात्रा $99\%$ है,इसलिए ठोस भाग (बिना पानी वाला) $1\% \text{ of } 1000\,kg = 0.01 \times 1000 = 10\,kg$ है।
मान लीजिए कि गंतव्य पर तरबूज का नया कुल वजन $x\,kg$ है।
गंतव्य पर,पानी की मात्रा $98\%$ है,जिसका अर्थ है कि ठोस भाग $2\% \text{ of } x$ है।
चूंकि ठोस भाग का वजन समान रहता है,इसलिए हमारे पास है:
$0.02 \times x = 10\,kg$.
$x = \frac{10}{0.02} = 500\,kg$.
वजन में हुई कमी $1000\,kg - 500\,kg = 500\,kg$ है।

(D) मान लीजिए $n$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $\gcd(n, 10) = 1$ है। $n+1$ संख्याओं की श्रृंखला $m_k = \frac{10^k-1}{9}$ पर विचार करें,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n+1$ है। पिजनहोल सिद्धांत (Pigeonhole Principle) के अनुसार,इनमें से कम से कम दो संख्याएँ,मान लीजिए $m_i$ और $m_j$ $(i < j)$,को $n$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होगा। अतः,$n$,$m_j - m_i = 11\dots100\dots0 = 11\dots1 \times 10^i$ को विभाजित करता है। चूँकि $\gcd(n, 10) = 1$ है,इसलिए $\gcd(n, 10^i) = 1$ होगा,अतः $n$ को $m_{j-i}$ को विभाजित करना होगा,जिसमें केवल $1$ अंक हैं।
$(b)$ मान लीजिए परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ है। हम $q = 2^r \cdot 5^s \cdot t$ लिख सकते हैं,जहाँ $\gcd(t, 10) = 1$ है। भाग $(a)$ से,$1$ अंकों वाली एक ऐसी संख्या $m$ मौजूद है कि $t \mid m$ है। मान लीजिए $m = \frac{10^c-1}{9}$ है। तो $9m = 10^c-1$ है। चूँकि $t \mid m$ है,इसलिए $t \mid (10^c-1)$ है। मान लीजिए $10^c-1 = kt$ है। हम $b = \max(r, s)$ चुन सकते हैं। तो $10^b$,$2^r$ और $5^s$ से विभाज्य है। इस प्रकार,$10^b(10^c-1)$,$2^r \cdot 5^s \cdot t = q$ से विभाज्य है। अतः,$\frac{p}{q} = \frac{p \cdot \frac{10^b(10^c-1)}{q}}{10^b(10^c-1)} = \frac{a}{10^b(10^c-1)}$ किसी पूर्णांक $a$ के लिए।

(A) संकुल $[Co(dien)Cl_3]$ में एक त्रिदंतुक लिगेंड,डाईएथिलीनट्राईएमीन $(dien)$ उपस्थित है।
यह संकुल दो ज्यामितीय समावयवी रूपों में अस्तित्व में होता है: $fac$ (फेशियल) और $mer$ (मेरिडियोनल) समावयवी।
$fac$-समावयवी में,$dien$ लिगेंड के तीन दाता नाइट्रोजन परमाणु और तीन $Cl^-$ आयन अष्टफलकीय संरचना के एक ही फलक के कोनों पर स्थित होते हैं।
$mer$-समावयवी में,$dien$ लिगेंड के तीन दाता नाइट्रोजन परमाणु और तीन $Cl^-$ आयन एक मेरिडियोनल तल में व्यवस्थित होते हैं।
अतः,समावयवियों की कुल संख्या $2$ है।

(C)
$\pi$-अम्ल लिगेंड वे लिगेंड होते हैं जिनमें खाली $\pi^*$ (प्रति-आबंधी) आणविक कक्षक होते हैं,जो बैक-बॉन्डिंग के माध्यम से केंद्रीय धातु परमाणु के भरे हुए $d$-कक्षकों से इलेक्ट्रॉन घनत्व स्वीकार कर सकते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$CN^{-}$ एक $\pi$-अम्ल लिगेंड के रूप में कार्य करता है क्योंकि इसमें धातु से बैक-डोनेशन के लिए खाली $\pi^*$ कक्षक उपलब्ध होते हैं।

(B)
प्रश्न में दिए गए अनुसार,पदार्थ की सांद्रता अपने मूल मान की आधी हो जाती है,जो अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ को संदर्भित करता है।
अर्ध-आयु काल वह समय है जो प्रारंभिक सांद्रता को उसके मान के आधे तक कम करने के लिए आवश्यक होता है।
$zero$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$।
$first$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
$second$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$।
$third$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{1/2} = \frac{1}{2k[A]_0^2}$।
यहाँ,$[A]_0$ प्रारंभिक सांद्रता है।
चूँकि $first$ कोटि की अभिक्रिया की अर्ध-आयु प्रारंभिक सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए सही विकल्प $(b)$ है।

(A) किसी यौगिक की अम्लीय शक्ति उसके संयुग्मी क्षार (conjugate base) की स्थिरता पर निर्भर करती है; संयुग्मी क्षार जितना अधिक स्थिर होगा,अम्लीय शक्ति उतनी ही अधिक होगी।
$I$: बेंजाइल अल्कोहल $(C_6H_5CH_2OH)$ में संयुग्मी क्षार में ऋण आवेश ऑक्सीजन परमाणु पर होता है और यह बेंजीन वलय द्वारा अनुनाद (resonance) से स्थिर नहीं होता है।
$II$: बेंजोइक एसिड $(C_6H_5COOH)$ में कार्बोक्सिलेट आयन $(C_6H_5COO^-)$ बनता है जो दो ऑक्सीजन परमाणुओं द्वारा अनुनाद से स्थिर होता है।
$III$: $p$-क्रेसोल $(CH_3-C_6H_4-OH)$ में फिनोक्साइड आयन बनता है जो अनुनाद से स्थिर होता है,लेकिन $-CH_3$ समूह के $+I$ प्रभाव के कारण यह बेंजोइक एसिड की तुलना में कम स्थिर होता है।
$IV$: बेंजीन सल्फोनिक एसिड $(C_6H_5SO_3H)$ में सल्फोनेट आयन $(C_6H_5SO_3^-)$ बनता है जिसमें ऋण आवेश तीन अत्यधिक विद्युत ऋणात्मक ऑक्सीजन परमाणुओं पर विस्थानीकृत (delocalized) होता है,जिससे यह सबसे अधिक स्थिर संयुग्मी क्षार बन जाता है।
अतः,अम्लता का सही क्रम $I < III < II < IV$ है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
जब $CuSO_4$ के सांद्र विलयन को $CuSO_4$ के तनु विलयन के साथ मिलाया जाता है,तो यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से एक तनुकरण प्रक्रिया है।
तनुकरण के दौरान,विलेय कणों की यादृच्छिकता (randomness) बढ़ जाती है क्योंकि वे बड़े आयतन में फैल जाते हैं,जिससे एंट्रॉपी में वृद्धि $(\Delta S > 0)$ होती है।
चूंकि समान तापमान पर एक ही विलेय के दो विलयनों को मिलाने में ऊष्मा परिवर्तन नगण्य होता है (आदर्श मिश्रण सन्निकटन),इसलिए एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ लगभग शून्य होता है।

(B)
तापमान बढ़ाने से अभिकारक अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
इसके परिणामस्वरूप टक्करों की संख्या,टक्करों की औसत ऊर्जा और अभिकारक अणुओं का औसत वेग बढ़ जाता है।
हालाँकि,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ अभिक्रिया पथ का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,तापमान बढ़ाने से सक्रियण ऊर्जा में वृद्धि नहीं होती है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
एक फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ एकक कोष्ठिका में सभी कोनों पर और घन के सभी फलकों के केंद्र पर परमाणु होते हैं।
अतः,$fcc$ में परमाणुओं की संख्या $= (\frac{1}{8} \times 8) + (\frac{1}{2} \times 6) = 1 + 3 = 4$ है।
एक काय-केंद्रित घनीय $(bcc)$ एकक कोष्ठिका में प्रत्येक कोने पर एक परमाणु और उसके काय केंद्र (body center) पर भी एक परमाणु होता है।
अतः,$bcc$ में परमाणुओं की संख्या $= (\frac{1}{8} \times 8) + 1 = 1 + 1 = 2$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $R \longrightarrow P$ के लिए,वेग नियम है: $\text{Rate} = -\frac{d[R]}{dt} = k[R]$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d[R]}{[R]} = -k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d[R]}{[R]} = -\int k dt \Rightarrow \ln[R] = -kt + C$.
जब $t = 0$,$[R] = [R_0]$,इसलिए $\ln[R_0] = C$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\ln[R] = -kt + \ln[R_0]$.
व्यवस्थित करने पर: $\ln \frac{[R]}{[R_0]} = -kt$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{[R]}{[R_0]} = e^{-kt}$.
अतः,समय $t$ पर सांद्रता: $[R] = [R_0] e^{-kt}$ है।

(A) अभिक्रिया $2 NO_{2(g)} \longrightarrow 2 NO_{(g)} + O_{2(g)}$ के लिए,दर व्यंजक इस प्रकार है:
$r = -\frac{1}{2} \frac{d[NO_2]}{dt} = +\frac{1}{2} \frac{d[NO]}{dt} = +\frac{d[O_2]}{dt}$.
$1$. वक्र $Z$ अभिकारक $NO_2$ को दर्शाता है क्योंकि समय के साथ इसकी सांद्रता घटती है।
$2$. वक्र $X$ और $Y$ उत्पादों $NO$ और $O_2$ को दर्शाते हैं क्योंकि समय के साथ उनकी सांद्रता बढ़ती है।
$3$. रससमीकरणमिति (stoichiometry) के अनुसार,$NO$ के बनने की दर $O_2$ के बनने की दर से दोगुनी है (अर्थात,$\frac{d[NO]}{dt} = 2 \frac{d[O_2]}{dt}$)।
$4$. इसलिए,$NO$ की सांद्रता $O_2$ की तुलना में तेजी से बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि वक्र $X, NO$ के अनुरूप है और वक्र $Y, O_2$ के अनुरूप है।
अतः,$X = NO, Y = O_2, Z = NO_2$।

(C) ऑक्सेलिक एसिड डाइहाइड्रेट $(H_2C_2O_4 \cdot 2H_2O)$ का मोलर द्रव्यमान $126 \ g/mol$ है। तुल्यांकी भार $126/2 = 63 \ g/eq$ है।
$100 \ mL$ घोल की प्रारंभिक नॉर्मलिटी $(N_1): N_1 = \frac{2.52 \ g}{63 \ g/eq \times 0.1 \ L} = 0.4 \ N$.
तनुकरण सूत्र $N_1V_1 = N_2V_2$ का उपयोग करते हुए: $0.4 \ N \times 10 \ mL = N_2 \times 500 \ mL$.
$N_2 = \frac{0.4 \times 10}{500} = 0.008 \ N$.
अंतिम घोल में ऑक्सेलिक एसिड की मात्रा ($mg/mL$ में):
$10 \ mL$ में ऑक्सेलिक एसिड का द्रव्यमान $= \frac{2.52 \ g}{100 \ mL} \times 10 \ mL = 0.252 \ g = 252 \ mg$.
सांद्रता $= \frac{252 \ mg}{500 \ mL} = 0.504 \ mg/mL$.

(A) अभिक्रिया $(I)$ में,$CH_2OH$ पार्श्व श्रृंखला का $OH$ समूह $HBr$ द्वारा प्रोटोनेट होकर एक अच्छा लिविंग ग्रुप $(H_2O^+)$ बनाता है। यह पानी के रूप में निकलकर एक अनुनाद-स्थिर बेंजिलिक कार्बधनायन बनाता है,जिस पर $Br^-$ आक्रमण करके $3-(bromomethyl)phenol$ देता है।
अभिक्रिया $(II)$ में,ईथर ऑक्सीजन $HBr$ द्वारा प्रोटोनेट होता है। $C-O$ बंध का विदलन इस प्रकार होता है कि मिथाइल समूह $CH_3Br$ के रूप में मुक्त होता है क्योंकि फेनिल वलय से जुड़े $C-O$ बंध में अनुनाद के कारण आंशिक द्वि-बंध गुण होता है,जो इसे अधिक मजबूत और तोड़ने में कठिन बनाता है। इस प्रकार,अभिक्रिया बेंजीन-$1,3-diol$ (रिसोरिसिनोल) और $CH_3Br$ देती है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
दिया गया है, धातु की परमाणु त्रिज्या, $r = 141.4 \, pm$.
फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ संरचना के लिए, कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $a = 2\sqrt{2}r$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $a = 2 \times 1.414 \times 141.4 = 400 \, pm$.
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ है।
$V = (400 \, pm)^3 = 64,000,000 \, pm^3 = 64 \times 10^6 \, pm^3$.
इसे $6.4 \times 10^7 \, pm^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(D) हिमांक अवनमन का उपयोग करके मोलर द्रव्यमान $(M_2)$ ज्ञात करने का सूत्र: $M_2 = \frac{k_f \times w_2 \times 1000}{\Delta T_f \times w_1}$
दिया गया है: $w_2 = 8.0 \, g$,$w_1 = 92 \, g$,$\Delta T_f = 0.925 \, ^{\circ}C$,$k_f = 1.85 \, ^{\circ}C \, kg \, mol^{-1}$।
मान रखने पर: $M_2 = \frac{1.85 \times 8.0 \times 1000}{0.925 \times 92} = \frac{14800}{85.1} \approx 173.9 \, g \, mol^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $160 \, g \, mol^{-1}$ है।

(B) $K_3[Fe(CN)_6]$ में $Fe$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ है। अतः,$Fe^{3+}$ के लिए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5$ है।
चूंकि $CN^-$ एक प्रबल क्षेत्र लिगेंड है,यह $d$-कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन करता है।
क्रिस्टल क्षेत्र में विन्यास $t_{2g}^5 e_g^0$ होता है।
$CFSE = (-0.4 \times 5 + 0.6 \times 0) \Delta_o = -2.0 \Delta_o$.
अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n) = 1$.
चुंबकीय आघूर्ण,$\mu = \sqrt{n(n+2)} = \sqrt{1(1+2)} = \sqrt{3} BM$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D)
क्वथनांक उन्नयन एक अणुसंख्यक गुणधर्म है,जो विलयन में उपस्थित विलेय कणों की संख्या पर निर्भर करता है।
समान मोलर सांद्रता $(0.01 \, M)$ के लिए,जिस विलयन का वांट हॉफ गुणांक $(i)$ सबसे अधिक होगा,उसका क्वथनांक सबसे अधिक होगा।
$1$. सुक्रोज $(C_{12}H_{22}O_{11})$: अनपघट्य,$i = 1$।
$2$. $NaCl$: $NaCl \rightarrow Na^{+} + Cl^{-}$ के रूप में वियोजित होता है,$i = 2$।
$3$. $CaCl_2$: $CaCl_2 \rightarrow Ca^{2+} + 2Cl^{-}$ के रूप में वियोजित होता है,$i = 3$।
चूंकि $CaCl_2$ अधिकतम कण ($3$ आयन) उत्पन्न करता है,इसलिए इसका क्वथनांक सबसे अधिक होगा।

(A) .
$MnO_2$ को सांद्र $HCl$ के साथ गर्म करने पर,$MnCl_2$ और $H_2O$ के साथ $Cl_2$ गैस निकलती है।
इसके लिए रासायनिक समीकरण है:
$MnO_2 + 4HCl \longrightarrow MnCl_2 + 2H_2O + Cl_2$

(D) $1 \ N \ NaOH$ (क्षार) और $1 \ N \ HCl$ (अम्ल) में कार्बनिक यौगिकों की घुलनशीलता उनकी अम्लीय या क्षारीय प्रकृति पर निर्भर करती है।
$(i)$ यौगिक $A$ उदासीन है क्योंकि यह अम्ल या क्षार किसी के साथ प्रतिक्रिया नहीं करता है। अतः,$A = III$ $(C_6H_5CH_2CH_3)$.
$(ii)$ यौगिक $B$ अम्लीय है क्योंकि यह $NaOH$ में घुल जाता है लेकिन $HCl$ में नहीं। अतः,$B = II$ $(C_6H_5CH_2COOH)$.
$(iii)$ यौगिक $C$ उभयधर्मी (amphoteric) है क्योंकि यह $NaOH$ और $HCl$ दोनों में घुल जाता है। अतः,$C = IV$ $(C_6H_5CH_2CH(NH_2)COOH)$.
$(iv)$ यौगिक $D$ क्षारीय है क्योंकि यह $HCl$ में घुल जाता है लेकिन $NaOH$ में नहीं। अतः,$D = I$ $(C_6H_5CH_2NH_2)$.
$(b)$ आसुत जल में सबसे अधिक घुलनशीलता वाला यौगिक $IV$ $(C_6H_5CH_2CH(NH_2)COOH)$ है क्योंकि यह पानी में ज़्विटर आयन $(C_6H_5CH_2CH(NH_3^+)COO^-)$ के रूप में मौजूद होता है,जो अत्यधिक ध्रुवीय होता है।