KVPY 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए समांतर श्रेणी $a_n = a + (n-1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है। चूँकि पद भिन्न हैं,$d \neq 0$ है।
दिया गया है कि $a_1, a_2, a_4, a_8$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,$a_1 = a$,$a_2 = ar$,$a_4 = ar^2$,और $a_8 = ar^3$ है।
समांतर श्रेणी के पदों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a_1 = a$
$a_2 = a + d = ar \implies d = a(r-1)$
$a_4 = a + 3d = ar^2$
$a_8 = a + 7d = ar^3$
$a_4$ के समीकरण में $d = a(r-1)$ रखने पर:
$a + 3(a(r-1)) = ar^2$
$a(1 + 3r - 3) = ar^2$
$a(3r - 2) = ar^2$
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $3r - 2 = r^2$,जो $r^2 - 3r + 2 = 0$ देता है।
गुणनखंड करने पर: $(r-1)(r-2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $r = 1$ या $r = 2$ मिलता है।
यदि $r = 1$ है,तो $d = 0$ होगा,जो भिन्न संख्याओं की शर्त का खंडन करता है।
अतः,$r = 2$ है।

(B) माना $f(k) = \frac{(\sqrt{101})^k}{k!}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{f(k)}{f(k-1)} = \frac{\sqrt{101}}{k}$ की जाँच करते हैं।
हम $k$ का वह मान ज्ञात करना चाहते हैं जिसके लिए $f(k) \ge f(k-1)$ हो,जिसका अर्थ है $\frac{\sqrt{101}}{k} \ge 1$,या $k \le \sqrt{101}$।
चूँकि $\sqrt{101} \approx 10.05$ है,इसलिए शर्त $k \le 10.05$,$k = 1, 2, \dots, 10$ के लिए सत्य है।
इसका अर्थ है कि $f(1) < f(2) < \dots < f(10)$ है।
$k > 10$ के लिए,अनुपात $\frac{\sqrt{101}}{k} < 1$ है,इसलिए $f(k) < f(k-1)$ है।
अतः,अनुक्रम $k=10$ तक बढ़ता है और फिर घटता है।
इसलिए,अधिकतम मान $k = 10$ पर प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $x = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x - \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
$(x - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$
$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 2 + 3 + 2\sqrt{6}$
$x^2 + 1 = 2\sqrt{6}(x + 1)$.
पुनः वर्ग करने पर:
$(x^2 + 1)^2 = 24(x + 1)^2$
$x^4 + 2x^2 + 1 = 24(x^2 + 2x + 1)$
$x^4 - 22x^2 - 48x - 23 = 0$.
अतः,न्यूनतम बहुपद की घात $4$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम संभव मान $4$ है।

(B) मान लीजिए कि तीनों खिलाड़ियों द्वारा जीते गए खेलों की संख्या क्रमशः $x, y,$ और $z$ है।
हमें दिया गया है कि खेलों की कुल संख्या $x + y + z = 9$ है।
अंत में प्रत्येक खिलाड़ी का कुल स्कोर शून्य होना चाहिए।
जो खिलाड़ी $x$ खेल जीतता है और शेष $(9-x)$ खेल हारता है,उसका कुल स्कोर $2x - 1(9-x) = 3x - 9$ होता है।
स्कोर को शून्य करने के लिए,हमें $3x - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$।
इसी प्रकार,$y = 3$ और $z = 3$।
अतः,प्रत्येक खिलाड़ी को $9$ में से ठीक $3$ खेल जीतने होंगे।
तीन खिलाड़ियों के बीच जीत को वितरित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$।

(D) माना शीर्ष $A(2, 3)$ और $B(4, 0)$ हैं। माना परिकेंद्र $O(2, z)$ है।
चूंकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $O$ से सभी शीर्षों की दूरी परित्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
अतः,$OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (2-2)^2 + (z-3)^2 = (z-3)^2$
$OB^2 = (4-2)^2 + (0-z)^2 = 2^2 + z^2 = 4 + z^2$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$(z-3)^2 = 4 + z^2$
$z^2 - 6z + 9 = 4 + z^2$
$-6z = 4 - 9$
$-6z = -5$
$z = \frac{5}{6}$
अब,परित्रिज्या $R = OA = \sqrt{(2-2)^2 + (z-3)^2} = |z-3|$ की गणना करें।
$R = |\frac{5}{6} - 3| = |\frac{5-18}{6}| = |-\frac{13}{6}| = \frac{13}{6}$.

(B) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $S'(5, 15)$ और $S(21, 15)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(21-5)^2 + (15-15)^2} = 16$,इसलिए $ae = 8$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{5+21}{2}, \frac{15+15}{2}) = (13, 15)$।
$X$-अक्ष $(y=0)$ दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा है। केंद्र $(13, 15)$ से स्पर्शरेखा रेखा $y=0$ की दूरी $15$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से स्पर्शरेखा की दूरी $b = 15$ (अर्ध-लघु अक्ष) है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2 - (ae)^2$।
मान $b = 15$ और $ae = 8$ रखने पर:
$15^2 = a^2 - 8^2$
$225 = a^2 - 64$
$a^2 = 289$
$a = 17$
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 17 = 34$ है।

(D) रेखा $2x + 3y = 18$,$Y$-अक्ष को $B$ पर काटती है। $x = 0$ रखने पर,$3y = 18$,अतः $y = 6$। इस प्रकार,$B = (0, 6)$।
चूँकि $PB = PC$,$P$ रेखाखंड $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$,रेखा $2x + 3y = 18$ पर स्थित है और $PD$,$BC$ के लंबवत है,इसलिए $BC$ की ढाल $-2/3$ है। अतः,$PD$ की ढाल $3/2$ है।
$P(10, 10)$ से गुजरने वाली रेखा $PD$ का समीकरण $y - 10 = \frac{3}{2}(x - 10)$ है,जो $3x - 2y = 10$ में सरल होता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x + 3y = 18$ $(i)$
$3x - 2y = 10$ (ii)
हल करने पर $D = (66/13, 34/13)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$a = 132/13$ और $b = -10/13$ प्राप्त होता है।
$8a + 2b = 8(132/13) + 2(-10/13) = 1036/13 \approx 79.69$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $78$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\beta-\alpha)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)$.
सर्वसमिका $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ का उपयोग करने पर: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=1$.
यह समीकरण तभी संभव है जब $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)=1$ और $\sin^2(2\alpha-\beta)=0$ हो।
अतः,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$ और $2\alpha-\beta = 0$.
समीकरणों को हल करने पर: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$.
इस प्रकार,$\sin(\alpha-\beta) = \sin(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है: $\sin x + \sin y = \frac{7}{5}$ $(i)$
और: $\cos x + \cos y = \frac{1}{5}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{7}{5}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{5}$ $(iv)$
$(iii)$ को $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 7$
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x+y) = \frac{2(7)}{1 + 7^2} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

(C) $0 \leq x \leq 12 \pi$ अंतराल में $\sin x = \frac{6}{x}$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $y = \sin x$ और $y = \frac{6}{x}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$1$. फलन $y = \sin x$,$2 \pi$ के आवर्तकाल के साथ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
$2$. फलन $y = \frac{6}{x}$ एक अतिपरवलय है जो $x$ के बढ़ने पर घटता है।
$3$. $x > 0$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\sin x = \frac{6}{x}$ हो। चूँकि $|\sin x| \leq 1$,इसलिए $|\frac{6}{x}| \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 6$.
$4$. $[0, 12 \pi]$ अंतराल में,$y = \frac{6}{x}$ का वक्र साइन तरंग के शिखरों को काटता है। ग्राफ का अवलोकन करने पर,$y = \frac{6}{x}$ वक्र साइन तरंग को प्रत्येक $2 \pi$ के अंतराल में दो बार काटता है।
$5$. ग्राफ से प्रतिच्छेदन बिंदुओं को गिनने पर,कुल $10$ बिंदु प्राप्त होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना परवलय पर एक बिंदु $B\left(\frac{K^2}{4}, K\right)$ है और $A(0,3)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{\left(\frac{K^2}{4} - 0\right)^2 + (K - 3)^2} = \sqrt{\frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9}$ है।
माना $f(K) = AB^2 = \frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f'(K) = 0$ रखकर $f(K)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
$f'(K) = \frac{4K^3}{16} + 2K - 6 = \frac{K^3}{4} + 2K - 6 = 0$ है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $K^3 + 8K - 24 = 0$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,$K=2$ एक हल है: $(2)^3 + 8(2) - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$ है।
$K^3 + 8K - 24$ को $(K-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(K-2)(K^2 + 2K + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $K^2 + 2K + 12$ का विविक्तकर ऋणात्मक है $(D = 4 - 48 = -44)$,इसलिए $K=2$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।
$K=2$ पर,बिंदु $B$ का मान $\left(\frac{2^2}{4}, 2\right) = (1, 2)$ है।
न्यूनतम दूरी $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।

(D) माना ट्रक $i$ में पैकेट का वजन $w_i$ है,जहाँ $w_i \in \{999, 1000\}$ है।
यदि सभी ट्रकों में $1000 \ g$ के पैकेट होते,तो कुल वजन:
$W_{max} = 1000(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^9) = 1000(2^{10} - 1) = 1023000 \ g$ होता।
कुल वजन $1022870 \ g$ दिया गया है।
अंतर $1023000 - 1022870 = 130 \ g$ है।
चूँकि प्रत्येक हल्का पैकेट $1000 \ g$ से $1 \ g$ कम है,$130$ को $2$ की घातों के योग के रूप में लिखने पर:
$130 = 128 + 2 = 2^7 + 2^1$.
यह $2$ रे ट्रक $(2^1)$ और $8$ वें ट्रक $(2^7)$ को दर्शाता है।

(A) लिफाफे में अधिकतम $3$ टिकट आ सकते हैं। हमारे पास $1$ मूल्य के तीन और $a$ मूल्य के तीन टिकट हैं।
$n$ टिकटों $(n \le 3)$ द्वारा बनने वाले संभावित मान हैं:
$1$ टिकट: $1, a$
$2$ टिकट: $1+1=2, 1+a, a+a=2a$
$3$ टिकट: $1+1+1=3, 1+1+a=a+2, 1+a+a=2a+1, a+a+a=3a$
यदि $a=2$ है,तो संभावित मान: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है,वह $7$ है।

(A) दी गई शर्त $(a, b_1) \in R$ और $(a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक फलन की परिभाषा है।
एक फलन में,समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव $a$ को समुच्चय $B$ के केवल एक अवयव $b$ से जोड़ा जाना चाहिए।
चूंकि समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और प्रत्येक अवयव के लिए समुच्चय $B$ में $n$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे संबंधों (जो फलन हैं) की कुल संख्या $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ बार) होगी।
अतः,ऐसे संबंधों की कुल संख्या $n^m$ है।

(C) बहुपद $p(x)$ की घात निर्धारित करने के लिए हम परिमित अंतर (finite differences) विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ के लिए $p(x)$ के मान $y_i$ हैं:
$x = -2, y = -15$
$x = -1, y = 1$
$x = 0, y = 7$
$x = 1, y = 9$
$x = 2, y = 13$
$x = 3, y = 25$
प्रथम अंतर $(\Delta y)$: $1 - (-15) = 16, 7 - 1 = 6, 9 - 7 = 2, 13 - 9 = 4, 25 - 13 = 12$
द्वितीय अंतर $(\Delta^2 y)$: $6 - 16 = -10, 2 - 6 = -4, 4 - 2 = 2, 12 - 4 = 8$
तृतीय अंतर $(\Delta^3 y)$: $-4 - (-10) = 6, 2 - (-4) = 6, 8 - 2 = 6$
चूंकि तृतीय अंतर अचर $(6)$ है,इसलिए बहुपद $p(x)$ की घात $n = 3$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम संभव मान $3$ है।

(C) मान लीजिए $a, b, c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
चूंकि $a^2+b^2 \geq 2ab$,$b^2+c^2 \geq 2bc$,और $c^2+a^2 \geq 2ac$,इन असमिकाओं को जोड़ने पर $2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$। अतः $t \geq 1$।
त्रिभुज के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $a < b+c$,$b < a+c$,और $c < a+b$।
अतः $a^2 < a(b+c) = ab+ac$,$b^2 < ab+bc$,और $c^2 < ac+bc$।
योग करने पर $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t < 2$।
अतः,$t$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x < 2\}$ है।

(A) माना समद्विबाहु समलंब की समांतर भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और असमांतर भुजाएँ $c$ हैं। विकर्ण $d$ है। लंबाइयों का समुच्चय $\{a, b, c, d\} = \{a, b\}$ है।
चूँकि $a > b$ है,भुजाएँ $a, b, a, a$ और विकर्ण $d = a$ या $d = b$ होने चाहिए।
यदि $c=b$ और $d=a$ है,तो $a^2 = b^2 + ab$ प्राप्त होता है।
$b^2$ से विभाजित करने पर,$(a/b)^2 - (a/b) - 1 = 0$ मिलता है।
$x = a/b$ लेने पर,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $O$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि पर दो बिंदु $A$ और $B$ हैं।
मान लीजिए $\theta$ केंद्र पर जीवा $AB$ द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $\angle AOB$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2r \sin(\frac{\theta}{2})$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि दूरी $AB \ge r$ हो,जिसका अर्थ है $2r \sin(\frac{\theta}{2}) \ge r$।
इसे सरल करने पर $\sin(\frac{\theta}{2}) \ge \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\theta}{2} \ge 30^{\circ}$ या $\theta \ge 60^{\circ}$।
चूंकि बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,कोण $\theta$ का मान $0$ से $180^{\circ}$ तक हो सकता है (क्योंकि दूरी $\theta$ और $360^{\circ}-\theta$ के लिए समान है)।
कोण $\theta$ की कुल सीमा $180^{\circ}$ है।
$\theta$ के लिए अनुकूल सीमा $60^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ है।
प्रायिकता अनुकूल सीमा और कुल सीमा का अनुपात है: $P = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{120^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{2}{3}$।

(B) मान लीजिए संख्याओं का समुच्चय $S = \{2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, \dots \}$ है।
ये संख्याएँ $5$ अंकों $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ का उपयोग करके बनाई गई हैं।
चूंकि $0$ प्रथम अंक नहीं हो सकता,$n$-वीं संख्या $a_n$ को $5$ के आधार (base-$5$) के साथ संबंधित किया जा सकता है।
मान लीजिए $n$ को $5$ के आधार में $(d_k d_{k-1} \dots d_0)_5$ के रूप में दर्शाया गया है। $n$-वीं संख्या $a_n$ अंकों $0, 1, 2, 3, 4$ को क्रमशः $0, 2, 4, 6, 8$ से बदलकर प्राप्त की जाती है।
बड़े $n$ के लिए,$a_n \approx 2 \cdot 10^{\log_5 n}$।
लघुगणक (logarithm) लेने पर,$\log a_n \approx \log 2 + \log_5 n \cdot \log 10 = \log 2 + \frac{\log n}{\log 5} \cdot \log 10$।
$\log n$ से विभाजित करने और $n \rightarrow \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log a_n}{\log n} = \frac{\log 10}{\log 5} = \log_5 10$।

(C) योग $S = \sum \limits_{1 \leq j < i \leq n} (i-j)$ द्वारा दिया गया है।
हम प्रत्येक अंतर $k = i-j$ के आने की संख्या की गणना करके इस योग को फिर से लिख सकते हैं।
एक निश्चित अंतर $k$ के लिए,जहाँ $1 \leq k \leq n-1$,जोड़े $(j, i)$ इस प्रकार हैं कि $i-j = k$ का मान $(1, 1+k), (2, 2+k), \ldots, (n-k, n)$ है।
ऐसे कुल $(n-k)$ जोड़े हैं।
अतः,कुल योग $S = \sum \limits_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ है।
$S = n \sum \limits_{k=1}^{n-1} k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^2$.
सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = n-1$:
$S = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n-1)}{6} [3n - (2n-1)] = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
चूँकि ${ }^{n+1} C_3 = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$,इसलिए योग ${ }^{n+1} C_3$ के बराबर है।

(D) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{x+5}}{1-x} > 1$ है।
परिभाषित होने के लिए,$x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$ और $x \neq 1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $1-x > 0$,अर्थात $x < 1$,तो $\sqrt{x+5} > 1-x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x+5 > (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$।
$x^2 - 3x - 4 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$।
इससे $-1 < x < 4$ प्राप्त होता है।
$x < 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $-1 < x < 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $1-x < 0$,अर्थात $x > 1$,तो $\sqrt{x+5} < 1-x$ जो असंभव है क्योंकि बायां पक्ष धनात्मक और दायां पक्ष ऋणात्मक है।
अतः,हल $-1 < x < 1$ है।

(A) $t_n$,$\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से चुनी गई भिन्न पूर्णांक भुजाओं वाले त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है।
$t_{20} - t_{19}$ उन त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है जिनकी भुजाएँ $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ से चुनी गई हैं और सबसे बड़ी भुजा $20$ है।
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $x, y, 20$ हैं जहाँ $x < y < 20$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$x + y > 20$ है।
चूँकि $y < 20$ है,$y$ के संभावित मान $11$ से $19$ तक हैं।
एक निश्चित $y$ के लिए,सबसे छोटी भुजा $x$ को $20 - y < x < y$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इस प्रकार,$x$ के संभावित मानों की संख्या $2y - 20$ है।
$y = 11, 12, \ldots, 19$ के लिए योग करने पर:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{20} - t_{19} = 81$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) x = x^2 + y^2$
$(ii) y = 2xy$
समीकरण $(ii)$ से:
$y - 2xy = 0$
$y(1 - 2x) = 0$
इसका अर्थ है $y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $y = 0$ है,तो $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = x^2 + 0^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 1$।
इससे युग्म $(0, 0)$ और $(1, 0)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$ है,तो $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 + y^2$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + y^2$
$y^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$y = \pm \frac{1}{2}$।
इससे युग्म $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$(x, y)$ के कुल युग्मों की संख्या $4$ है।

(A) हमें समीकरण $x^3-3|x|+2=0$ दिया गया है। हमें धनात्मक वास्तविक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
स्थिति $I$: $x > 0$
चूँकि $x > 0$,इसलिए $|x| = x$ होगा। समीकरण इस प्रकार है:
$x^3 - 3x + 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है। गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
अतः मूल $x = 1$ और $x = -2$ हैं।
चूँकि हमने $x > 0$ माना था,इसलिए केवल $x = 1$ ही मान्य धनात्मक हल है।
स्थिति $II$: $x < 0$
चूँकि $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$ होगा। समीकरण इस प्रकार है:
$x^3 + 3x + 2 = 0$
माना $f(x) = x^3 + 3x + 2$ है। चूँकि $f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ है,इसलिए यह फलन निरंतर वर्धमान है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है जो $(-1, 0)$ के बीच स्थित है। यह मूल ऋणात्मक है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाली केवल एक ही धनात्मक वास्तविक संख्या $x = 1$ है।

(C) दिया गया है $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$।
$x=1$ रखने पर,$3^{20} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} \dots (i)$।
$x=-1$ रखने पर,$1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{20} \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{20} = \frac{3^{20}+1}{2}$।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{19} = \frac{3^{20}-1}{2}$।
हमें $S = 3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $S = 3(a_0 + a_2 + \dots + a_{20}) + 2(a_1 + a_3 + \dots + a_{19})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,$S = 3 \left( \frac{3^{20}+1}{2} \right) + 2 \left( \frac{3^{20}-1}{2} \right)$।
$S = \frac{3 \cdot 3^{20} + 3 + 2 \cdot 3^{20} - 2}{2} = \frac{5 \cdot 3^{20} + 1}{2}$।

(B) $O$ के अधिक निकट बिंदुओं का समुच्चय $R$,अर्ध-तलों $H_i = \{X : dist(X, O) < dist(X, P_i)\}$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित होता है।
प्रत्येक सीमा रेखा $dist(X, O) = dist(X, P_i)$ रेखाखंड $OP_i$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि वृत्त में $O$ के चारों ओर सममित रूप से व्यवस्थित $5$ ऐसे बिंदु $P_i$ हैं,इसलिए इन $5$ अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन $O$ पर केंद्रित एक नियमित पंचकोण बनाता है।
अतः,$R$ एक पंचकोणीय क्षेत्र है।

(B) मान लीजिए $P(x, y)$ $XY$-समतल में कोई बिंदु है।
प्रश्न के अनुसार,पहली कंपनी की लागत $2 \times PA$ और दूसरी की $3 \times PB$ है।
हमें वह क्षेत्र चाहिए जहाँ पहली कंपनी सस्ती है,इसलिए $2 PA < 3 PB$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 PA^2 < 9 PB^2$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 3)$ के मान रखने पर,$4[(x-2)^2 + y^2] < 9[x^2 + (y-3)^2]$।
विस्तार करने पर,$4(x^2 - 4x + 4 + y^2) < 9(x^2 + y^2 - 6y + 9)$।
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 < 9x^2 + 9y^2 - 54y + 81$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5x^2 + 5y^2 + 16x - 54y + 65 > 0$।
$5$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + 3.2x - 10.8y + 13 > 0$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 > 18.72$।
यह दर्शाता है कि क्षेत्र वृत्त $(x + 1.6)^2 + (y - 5.4)^2 = 18.72$ के बाहर है।

(D) माना अंतःवृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ है। अंतःवृत्त $AC$ को $D$ पर,$BC$ को $E$ पर और $AB$ को $F$ पर स्पर्श करता है।
चूंकि $O$ केंद्र है और $OE \perp BC$,$OF \perp AB$,तथा $OE=OF=r$,इसलिए चतुर्भुज $O E B F$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $r$ है।
अतः,$BE = BF = r$।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए:
$AF = AD = 10$
$CE = CD = 3$
अतः,समकोण $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं:
$AB = AF + BF = 10 + r$
$BC = CE + BE = 3 + r$
$AC = AD + DC = 10 + 3 = 13$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$(10 + r)^2 + (3 + r)^2 = 13^2$
$100 + 20r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 169$
$2r^2 + 26r + 109 = 169$
$2r^2 + 26r - 60 = 0$
$r^2 + 13r - 30 = 0$
$(r + 15)(r - 2) = 0$
चूंकि $r > 0$,इसलिए $r = 2$ है।
अतः,अंतःत्रिज्या $2$ है।

(A) मान लीजिए कि चतुर्भुज की भुजाएँ $a=5, b=10, c=20$ हैं और चौथी भुजा $x$ है।
किसी भी चतुर्भुज में,किसी एक भुजा की लंबाई शेष तीन भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए।
इससे हमें निम्नलिखित असमिकाएँ प्राप्त होती हैं:
$x < 5 + 10 + 20 \implies x < 35$
$5 < 10 + 20 + x \implies 5 < 30 + x \implies x > -25$
$10 < 5 + 20 + x \implies 10 < 25 + x \implies x > -15$
$20 < 5 + 10 + x \implies 20 < 15 + x \implies x > 5$
इन सबको मिलाने पर,हमें $5 < x < 35$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $x$ के संभावित मान $6$ से $34$ तक के पूर्णांक हैं।
ऐसे मानों की संख्या $34 - 6 + 1 = 29$ है।

(B) मान लीजिए $10$ बजे के बाद $x$ मिनट बीत चुके हैं।
$10$ बजे,घंटे की सुई $12$ बजे की स्थिति से $300^{\circ}$ पर होती है।
$x$ मिनट में,मिनट की सुई $12$ बजे की स्थिति से $6x^{\circ}$ चलती है।
घंटे की सुई $x$ मिनट में $\frac{x}{2}^{\circ}$ चलती है,इसलिए उसकी स्थिति $12$ बजे से $(300 + \frac{x}{2})^{\circ}$ होती है।
सुइयों के ऊर्ध्वाधर रेखा ($12-6$ रेखा) के सापेक्ष सममित होने के लिए,मिनट की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की दिशा में) और घंटे की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की विपरीत दिशा में) बराबर होना चाहिए।
घंटे की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की विपरीत दिशा में) $360^{\circ} - (300 + \frac{x}{2})^{\circ} = (60 - \frac{x}{2})^{\circ}$ है।
दोनों को बराबर रखने पर: $6x = 60 - \frac{x}{2}$.
$12x = 120 - x$ $\Rightarrow 13x = 120$ $\Rightarrow x = \frac{120}{13} \approx 9.2307\,\text{मिनट}$.
$0.2307 \times 60 \approx 13.84\,\text{सेकंड}$,जो $14\,\text{सेकंड}$ के बराबर है।
अतः,समय $10\,\text{घंटे } 9\,\text{मिनट } 14\,\text{सेकंड}$ है।

(B) मान लीजिए कि $C, F,$ और $T$ क्रमशः क्रिकेट,फुटबॉल और टेनिस पसंद करने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(C) = 74 \%$,$n(F) = 76 \%$,$n(T) = 82 \%$.
जो छात्र इन खेलों को पसंद नहीं करते हैं,उनका प्रतिशत है:
$n(C^c) = 100 \% - 74 \% = 26 \%$
$n(F^c) = 100 \% - 76 \% = 24 \%$
$n(T^c) = 100 \% - 82 \% = 18 \%$
पूरक समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,जो छात्र कम से कम एक खेल पसंद नहीं करते हैं,उनका प्रतिशत अधिकतम $n(C^c) + n(F^c) + n(T^c) = 26 \% + 24 \% + 18 \% = 68 \%$ है।
जो छात्र तीनों खेल पसंद करते हैं,उनका प्रतिशत कम से कम $100 \% - (n(C^c) + n(F^c) + n(T^c)) = 100 \% - 68 \% = 32 \%$ है।

(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है।
योग $S_n = \frac{N}{2}(a+l) = 3 \cdot 2^{n-1}(2^n-1)$ है।
$9$,$S_n$ को विभाजित करे इसके लिए $2^{n-1}(2^n-1)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $2 \equiv -1 \pmod{3}$,इसलिए $2^n-1$ केवल तभी $3$ से विभाज्य है जब $n$ सम हो।

(A) दिया गया है $\log _a b=4$ और $\log _c d=2$,जहाँ $a, b, c, d \in \mathbb{N}$.
लघुगणक की परिभाषा से,$b=a^4$ और $d=c^2$ है।
$b-d=7$ दिया गया है,अतः $b$ और $d$ के मान रखने पर:
$a^4-c^2=7$
इसे $(a^2)^2 - c^2 = 7$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका गुणनखंड $(a^2-c)(a^2+c)=7$ है।
चूँकि $a, c \in \mathbb{N}$,$a^2+c$ और $a^2-c$ संख्या $7$ के गुणनखंड हैं। चूँकि $a^2+c > a^2-c$ और $7$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए:
$a^2+c=7$ और $a^2-c=1$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a^2 = 8$ $\Rightarrow a^2 = 4$ $\Rightarrow a = 2$ (चूँकि $a \in \mathbb{N}$)।
$a=2$ को $a^2+c=7$ में रखने पर: $4+c=7 \Rightarrow c=3$.
अतः,$c-a = 3-2 = 1$.

(B) हमारे पास $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ है।
ध्यान दें कि $P(x) = 0$ तब होता है जब $x = \omega^k$ जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{6}}$ और $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
हम शेषफल $R(x)$ ज्ञात करना चाहते हैं जब $P(x^{12})$ को $P(x)$ से विभाजित किया जाता है।
$P(x^{12}) = 1 + (x^{12}) + (x^{12})^2 + (x^{12})^3 + (x^{12})^4 + (x^{12})^5$.
$P(x)$ के किसी भी मूल $\alpha$ के लिए,हमारे पास $\alpha^6 = 1$ है।
अतः,$\alpha^{12} = (\alpha^6)^2 = 1^2 = 1$.
$P(x^{12})$ में $x = \alpha$ रखने पर,हमें $P(\alpha^{12}) = 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 = 6$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P(x^{12}) = P(x)Q(x) + R(x)$,और $P(\alpha) = 0$,इसलिए $R(\alpha) = P(\alpha^{12}) = 6$ जो $P(x)$ के सभी $5$ मूलों के लिए सत्य है।
चूँकि $R(x)$ अधिकतम $4$ घात वाला बहुपद है और यह $5$ अलग-अलग बिंदुओं पर $6$ मान लेता है,इसलिए $R(x)$ को अचर बहुपद $6$ होना चाहिए।

(B) माना $BE$ और $CF$ क्रमशः $B$ और $C$ से भुजाओं $AC$ और $AB$ पर शीर्षलंब हैं।
दिया है कि $BE \geq AC$ और $CF \geq AB$ है।
$\triangle ABE$ में,$\sin A = \frac{BE}{AB} \implies BE = AB \sin A$ है।
चूंकि $BE \geq AC$,इसलिए $AB \sin A \geq AC \dots (i)$ है।
$\triangle ACF$ में,$\sin A = \frac{CF}{AC} \implies CF = AC \sin A$ है।
चूंकि $CF \geq AB$,इसलिए $AC \sin A \geq AB \dots (ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर,$(AB \cdot AC) \sin^2 A \geq (AB \cdot AC) \implies \sin^2 A \geq 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin A \leq 1$,इसका अर्थ है कि $\sin^2 A = 1$,अतः $\sin A = 1$,जिसका अर्थ है $A = 90^{\circ}$।
$A = 90^{\circ}$ को $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AB \geq AC$ और $AC \geq AB$ प्राप्त होता है,इसलिए $AB = AC$ है।
अतः,त्रिभुज के कोण $90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$ हैं।

(C) मान लीजिए $E$,$A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है। चूँकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है,$E$,$BC$ का मध्यबिंदु है।
मान लीजिए $BE = EC = x$ है।
तब $BD = x - DE = 7$ और $CD = x + DE$ है।
$\triangle ADE$ में,$AE^2 = AD^2 - DE^2 = 33^2 - DE^2$ है।
$\triangle ABE$ में,$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 37^2 - x^2$ है।
$AE^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$33^2 - DE^2 = 37^2 - x^2$
$x^2 - DE^2 = 37^2 - 33^2$
$(x - DE)(x + DE) = (37 - 33)(37 + 33)$
चूँकि $BD = x - DE = 7$ है,इसलिए:
$7 \cdot CD = 4 \cdot 70$
$7 \cdot CD = 280$
$CD = 40$.

(B) चूंकि $f(x)$,$R$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x^2 + ax + b)$
सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \rightarrow 0^-} (x \cdot \frac{\sin x^2}{x^2}) = 0 \cdot 1 = 0$.
अतः,$0 = b$,इसलिए $b = 0$.
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए:
$LHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\frac{\sin(-h)^2}{-h} - 0}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\sin h^2}{h^2} = 1$.
$RHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h^2 + ah + b - b}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} (h + a) = a$.
$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$ और $b = 0$।

(C) माना $I = \int \limits_0^1 \cos (\pi x) \cos ([2 x] \pi) d x$.
चूंकि $[2x]$ एक स्टेप फलन है,हम समाकलन को $x = \frac{1}{2}$ पर विभाजित करते हैं:
$0 \le x < \frac{1}{2}$ के लिए,$[2x] = 0$,इसलिए $\cos([2x]\pi) = \cos(0) = 1$.
$\frac{1}{2} \le x < 1$ के लिए,$[2x] = 1$,इसलिए $\cos([2x]\pi) = \cos(\pi) = -1$.
अतः,$I = \int \limits_0^{1/2} \cos(\pi x) \cdot (1) d x + \int \limits_{1/2}^1 \cos(\pi x) \cdot (-1) d x$.
$I = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^{1/2} - \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_{1/2}^1$.
$I = \frac{1}{\pi} [\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)] - \frac{1}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{2})]$.
$I = \frac{1}{\pi} [1 - 0] - \frac{1}{\pi} [0 - 1] = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.

(A) माना $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x^{10}$ और $dv = \sin (n x) dx$ लें।
तब $du = 10 x^9 dx$ और $v = -\frac{\cos (n x)}{n}$ प्राप्त होता है।
$I_n = \left[ -\frac{x^{10} \cos (n x)}{n} \right]_{0}^{1} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$.
$I_n = -\frac{\cos n}{n} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$.
चूंकि $|\cos (n x)| \le 1$,इसलिए $\left| \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x \right| \le \int _{0}^{1} x^9 dx = \frac{1}{10}$.
अतः,$|I_n| \le \left| -\frac{\cos n}{n} \right| + \frac{10}{n} \cdot \frac{1}{10} = \frac{|\cos n|}{n} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $\frac{2}{n} \rightarrow 0$.
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} I_n = 0$.

(B) दिए गए परवलय $y=x^2$ और $y=1-x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 1-x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ और $C\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ से $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} [(1-x^2) - x^2] dx = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
$= 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{3-1}{3 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{2}{3 \sqrt{2}} \right] = \frac{4}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए सदिश $a = 3 \hat{i} - 4 \hat{k}$ और $b = 5 \hat{j} + 12 \hat{k}$ हैं।
सदिशों का परिमाण:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
$|b| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$
$a$ और $b$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5}$ और $\hat{b} = \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13}$ हैं।
कोण को समद्विभाजित करने वाला सदिश $\hat{a} + \hat{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5} + \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13} = \frac{39 \hat{i} - 52 \hat{k} + 25 \hat{j} + 60 \hat{k}}{65} = \frac{39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}}{65}$
अतः,अभीष्ट सदिश $39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}$ है।

(C) $y=||x-3|-4|-5$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $X$-अंतःखंड निर्धारित करते हैं:
$||x-3|-4|-5 = 0$
$||x-3|-4| = 5$
$|x-3|-4 = 5$ या $|x-3|-4 = -5$
$|x-3| = 9$ या $|x-3| = -1$ (असंभव)
$x-3 = 9$ या $x-3 = -9$
$x = 12$ या $x = -6$
फलन $y=||x-3|-4|-5$ का ग्राफ $W$ आकार का है। इसके शीर्ष $(-6, 0)$,$(-1, -5)$,$(3, -1)$,$(7, -5)$,और $(12, 0)$ हैं।
यह क्षेत्रफल ग्राफ और $X$-अक्ष के बीच बने दो त्रिभुजों और दो समलंब चतुर्भुजों का योग है:
$1$. $(-6, 0)$,$(-1, 0)$,और $(-1, -5)$ शीर्षों वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
$2$. $(-1, 0)$,$(3, 0)$,$(3, -1)$,और $(-1, -5)$ शीर्षों वाला समलंब चतुर्भुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (5 + 1) \times 4 = 12$
$3$. $(3, 0)$,$(7, 0)$,$(7, -5)$,और $(3, -1)$ शीर्षों वाला समलंब चतुर्भुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (1 + 5) \times 4 = 12$
$4$. $(7, 0)$,$(12, 0)$,और $(7, -5)$ शीर्षों वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
कुल क्षेत्रफल $= 12.5 + 12 + 12 + 12.5 = 49$ वर्ग इकाई।

(D) माना $y = f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \sin x \ln(\sin x)$ प्राप्त होता है।
माना $u = \sin x$ है। चूँकि $x \in (0, \pi)$,$u$ का परिसर $(0, 1]$ है।
हम $g(u) = u^u$ को $u \in (0, 1]$ के लिए परिभाषित करते हैं।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(u)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(u) = u^u (1 + \ln u)$।
$g'(u) = 0$ रखने पर,$1 + \ln u = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln u = -1$,अतः $u = e^{-1} = \frac{1}{e}$।
$u = \frac{1}{e}$ पर,$g(\frac{1}{e}) = (e^{-1})^{e^{-1}} = e^{-1/e}$ प्राप्त होता है।
जब $u \to 0^+$,तब $g(u) = u^u \to 1$ (सीमा $\lim_{u \to 0^+} u^u = 1$ का उपयोग करते हुए)।
$u = 1$ पर,$g(1) = 1^1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $e^{-1/e}$ और अधिकतम मान $1$ है।
इसलिए,परिसर $[e^{-1/e}, 1]$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{1}^{10} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{10} = \ln 10$ द्वारा प्राप्त होता है।
योग $B = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{9}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए ऊपरी रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ एक घटता हुआ फलन है,ऊपरी योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से बड़ा है,इसलिए $B > A$ है।
योग $C = \sum_{n=2}^{10} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए निचला रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ घटता हुआ फलन है,निचला योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से छोटा है,इसलिए $C < A$ है।
अतः,हमारे पास $C < A < B$ है।
$B-A$ और $A-C$ की तुलना करने के लिए,ध्यान दें कि $B-A = \sum_{n=1}^{9} (\frac{1}{n} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx)$ और $A-C = \sum_{n=1}^{9} (\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx - \frac{1}{n+1})$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ उत्तल (convex) है,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ऊपरी योग की तुलना में निचले योग के अधिक निकट है,जो दर्शाता है कि $B - A < A - C$ सही संबंध है।
इसलिए,$C < A < B$ और $B - A < A - C$ है।

(B) माना गोले की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और प्रारंभिक आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
वृद्धि के बाद,नया आयतन $V' = V + 0.728V = 1.728V$ है।
चूंकि $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$,इसलिए $\frac{4}{3} \pi (r')^3 = 1.728 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
अतः,$(r')^3 = 1.728 r^3$,जिसका अर्थ है $r' = \sqrt[3]{1.728} r = 1.2r$ है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है और नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 4 \pi (r')^2$ है।
$S' = 4 \pi (1.2r)^2 = 4 \pi (1.44 r^2) = 1.44 S$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S' - S}{S} \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 44 \%$ है।

(D) कुल चाबियों की संख्या $10$ है और केवल $1$ चाबी ताला खोलती है।
चूंकि चाबियों को बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके आज़माया जाता है,इसलिए $k$-वीं चाबी के काम करने की संभावना वह है कि पहली $k-1$ चाबियाँ विफल हो जाएं और $k$-वीं चाबी सफल हो जाए।
मान लीजिए $F_i$ वह घटना है कि $i$-वीं चाबी विफल हो जाती है और $S_i$ वह घटना है कि $i$-वीं चाबी सफल हो जाती है।
हमें $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6 \cap S_7)$ ज्ञात करना है।
प्रायिकता के गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$P(F_1) = \frac{9}{10}$
$P(F_2 | F_1) = \frac{8}{9}$
$P(F_3 | F_1 \cap F_2) = \frac{7}{8}$
$P(F_4 | F_1 \cap F_2 \cap F_3) = \frac{6}{7}$
$P(F_5 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4) = \frac{5}{6}$
$P(F_6 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5) = \frac{4}{5}$
$P(S_7 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6) = \frac{1}{4}$
इन प्रायिकताओं का गुणा करने पर:
$P = \frac{9}{10} \times \frac{8}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.