परवलयों y=x^2 और y=1-x^2 द्वारा परिबद्ध क्षेत | vedclass

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Question

(B) दिए गए परवलय $y=x^2$ और $y=1-x^2$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 1-x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = \frac{1}{

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$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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(B) दिए गए परवलय $y=x^2$ और $y=1-x^2$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 1-x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}ight)$ और $C\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}ight)$ हैं।परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ से $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।क्षेत्रफल $= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} [(1-x^2) - x^2] dx = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.$= 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3} ight]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} ight)^3 ight] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2 \sqrt{2}} ight] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} ight]$.$= 2 \left[ \frac{3-1}{3 \sqrt{2}} ight] = 2 \left[ \frac{2}{3 \sqrt{2}} ight] = \frac{4}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

परवलयों $y=x^2$ और $y=1-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल कितना है?

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क्षेत्र $\{ (x,y) : x \ge 0, x + y \le 3, x^2 \le 4y \text{ और } y \le 1 + \sqrt{x} \}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,वक्र $y = x + \sin x$ और $y = x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

परवलय $(y-2)^2 = x-1$,बिंदु $(2,3)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परवलयों $x^2 = \frac{y}{4}$ और $x^2 = 9y$ तथा सरल रेखा $y = 2$ के बीच का क्षेत्रफल है:

$\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\}$ और $\{y^2 \leq 1-x\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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