संख्याओं 1, 2, 3, ldots, n के अंतर के सभी निर | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) योग $S = \sum \limits_{1 \leq j < i \leq n} (i-j)$ द्वारा दिया गया है।हम प्रत्येक अंतर $k = i-j$ के आने की संख्या की गणना करके इस योग को फिर से लि

Vedclass · Accepted Answer

${ }^{n+1} C_3$

Vedclass · Answer

(C) योग $S = \sum \limits_{1 \leq j हम प्रत्येक अंतर $k = i-j$ के आने की संख्या की गणना करके इस योग को फिर से लिख सकते हैं।एक निश्चित अंतर $k$ के लिए,जहाँ $1 \leq k \leq n-1$,जोड़े $(j, i)$ इस प्रकार हैं कि $i-j = k$ का मान $(1, 1+k), (2, 2+k), \ldots, (n-k, n)$ है।ऐसे कुल $(n-k)$ जोड़े हैं।अतः,कुल योग $S = \sum \limits_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ है।$S = n \sum \limits_{k=1}^{n-1} k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^2$.सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = n-1$:$S = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$.$S = \frac{n(n-1)}{6} [3n - (2n-1)] = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.चूँकि ${ }^{n+1} C_3 = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$,इसलिए योग ${ }^{n+1} C_3$ के बराबर है।

Similar Questions

$m$ भुजाओं वाले एक बहुभुज में विकर्णों की संख्या है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module