KVPY 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.
મેયરનો સંબંધ,$C_p - C_V = R$,આદર્શ વાયુના અવસ્થા સમીકરણ $(PV = nRT)$ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે.
આ સંબંધ કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે સાચો છે,પછી ભલે તે એકપરમાણ્વીય,દ્વિપરમાણ્વીય કે બહુપરમાણ્વીય હોય.
વાસ્તવિક વાયુઓ માટે,આ સંબંધ $C_p - C_V = TV \beta^2 / K_T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_T$ એ સમતાપી સંકોચનક્ષમતા છે અને $\beta$ એ સમદાબ ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક છે. વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુના નિયમનું ચોક્કસ પાલન કરતા ન હોવાથી,આ સંબંધ $C_p - C_V = R$ માત્ર આદર્શ વાયુઓ માટે જ સચોટ રીતે સાચો છે.

(B) રૂમમાં રહેલા હવાના અણુઓ ઉષ્મીય ઊર્જાને કારણે સતત યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે. અણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા $E_{th} \approx kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$h$ ઊંચાઈએ રહેલા અણુની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U_g = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સામાન્ય રૂમમાં (ઊંચાઈ $\approx 3 \ m$) હવાના અણુઓ માટે,ઓરડાના તાપમાને $mgh$ નું મૂલ્ય ઉષ્મીય ઊર્જા $kT$ ની તુલનામાં અત્યંત ઓછું હોય છે. કારણ કે $kT \gg mgh$,યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે,જે અણુઓને જમીન પર સ્થાયી થતા અટકાવે છે. આમ,રૂમમાં ઘનતા લગભગ સમાન રહે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,બંધ બહુકોણ માટે,ચક્રીય ક્રમમાં લીધેલા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
પંચકોણની બહારની બાજુઓ માટે: $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$.
તેથી,$A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$.
કેન્દ્ર અને બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણો પર લાગુ પડતા સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$B_1 + A_1 = B_2$
$B_2 + A_2 = B_3$
$B_3 + A_3 = B_4$
$B_4 + A_4 = B_5$
$B_5 + A_5 = B_1$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5) + (A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5) = (B_2 + B_3 + B_4 + B_5 + B_1)$
$A_i$ નો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,આપણે સુસંગતતાની પુષ્ટિ કરીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,સરવાળો $S = B_2 + B_3 + B_4 + B_5$ ધ્યાનમાં લો.
ભૂમિતિ પરથી,$B_2 + A_3 = B_3$,$B_3 + A_4 = B_4$,$B_4 + A_5 = B_5$,અને $B_5 + A_1 = B_1$.
આનો સરવાળો કરતા: $B_2 + (A_3 + A_4 + A_5 + A_1) = B_1$.
$A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$ છે.
આને મૂકતા: $B_2 - A_2 = B_1$.
આકૃતિના અભિગમ મુજબ,સાચું પરિણામ $-B_1$ મળે છે.

(C) જ્યારે કોઈ માધ્યમમાં ગતિ કરતું તરંગ ઘટ્ટ સીમા (કઠણ સપાટી) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેના કળામાં $\pi$ રેડિયનનો ફેરફાર થાય છે.
વધુમાં,પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે $kx$ પદની નિશાની ઋણમાંથી ધન થઈ જાય છે.
આપાત તરંગ $y_i = a \cos (kx - \omega t)$ છે.
પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $a$ રહેશે,કળામાં $\pi$ નો તફાવત આવશે અને તે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરશે.
તેથી,પરાવર્તિત તરંગ $y_r = a \cos (kx + \omega t + \pi)$ થશે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y_r = -a \cos (kx + \omega t)$.

(C) અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ છે.
થયેલ કાર્ય અને આપેલ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ થાય.
સંબંધ $R = C_p - C_V$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{C_p - C_V}{C_p} = 1 - \frac{C_V}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ મળે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 7/5$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1 - \frac{1}{7/5} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.

(C) કોઈપણ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી દળના ઘટક $m_i$ નું લંબ અંતર છે.
જ્યારે તકતીને તેના વ્યાસ પર અડધી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે વ્યાસની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ બદલાતું નથી. મૂળ તકતીમાં વ્યાસથી $r$ અંતરે રહેલો દરેક દળનો ઘટક $dm$,વાળ્યા પછી પણ વ્યાસથી તેટલા જ અંતરે $r$ પર રહે છે.
દળ $M$ અને અક્ષ (વ્યાસ) થી તમામ દળના ઘટકોના લંબ અંતર $r$ સમાન રહેતા હોવાથી,સંકલન $I = \int r^2 dm$ બદલાતું નથી.
તેથી,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $\frac{M R^2}{4}$ જ રહેશે.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,નળાકારનો સપાટી સાથેનો સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.
કારણ કે સંપર્ક બિંદુ પર નળાકાર અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી,તેથી અચળ વેગથી ગબડતા નળાકાર માટે આ બિંદુ પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ શૂન્ય છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
આપેલ પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ માં,કણ ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે મર્યાદિત છે જ્યાં કુલ ઉર્જા $E$ એ પોટેન્શિયલ ઉર્જા $V(x)$ જેટલી છે.
કણ બે બિંદુઓ વચ્ચે મર્યાદિત હોવાથી અને પોટેન્શિયલ ઉર્જા મર્યાદિત હોવાથી,કણ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરશે,જે ગતિને આવર્તક બનાવે છે.
જો કે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ હોવા માટે,પોટેન્શિયલ ઉર્જા સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત હોવી જોઈએ અને $U(x) = \frac{1}{2} k (x - r_0)^2$ સ્વરૂપનું પાલન કરવું જોઈએ.
આકૃતિમાં જોયા મુજબ,પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ એ સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત નથી (તે અસંમિત છે). તેથી,ગતિ આવર્તક છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(A) વાયુમય માધ્યમમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ધ્વનિની ઝડપ $v$ પણ વધે છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ સ્ત્રોતની લાક્ષણિકતા હોવાથી,તે માધ્યમના તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{v}{f}$. અહીં $v$ વધે છે અને $f$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) ઢળતા સમતલના સંદર્ભમાં,બ્લોક પર નીચેની તરફ આભાસી બળ $ma$ લાગે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ નીચેની તરફ $(g+a)$ છે.
અસરકારક વજન $m(g+a)$ ને ઢળતા સમતલને લંબ અને સમાંતર ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. સમતલને લંબ ઘટક $N = m(g+a) \cos \theta$ છે. આ સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે.
$2$. સમતલને સમાંતર ઘટક $m(g+a) \sin \theta$ છે. આ ઘટક સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu m(g+a) \cos \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નો સદિશ સરવાળો (પરિણામી) છે.
તેથી,આ બળ એ સમતલને લંબ $m(g+a) \cos \theta$ અને સમતલની દિશામાં $\mu m(g+a) \cos \theta$ નું પરિણામી બળ છે.

(D) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાના ઘન ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર છે.
ધારો કે $\rho$ એ ગોળાની સમાન ઘનતા છે.
ઘન ગોળાનું દળ $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ છે.
દૂર કરવામાં આવેલ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પોલાણનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ છે.
પોલાણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $x$-અક્ષ પર $R-r$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{CM} = \frac{M(0) - m(R-r)}{M - m}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{0 - (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(R-r)}{\frac{4}{3} \pi R^3 \rho - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho}$
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{R^3 - r^3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $R^3 - r^3 = (R-r)(R^2 + Rr + r^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{(R-r)(R^2 + Rr + r^2)} = -\frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોલાણની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસે છે.
મૂળ ઘન ગોળાના કેન્દ્રથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d$ એ $x_{CM}$ નું મૂલ્ય છે:
$d = \frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = 0$ હોવાથી,એક ચક્રમાં વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા એ વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,$\Delta Q = W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ $p-V$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
દબાણની મર્યાદા $p_1$ અને $p_2$ તથા કદની મર્યાદા $V_1$ અને $V_2$ ધરાવતા લંબચોરસ ચક્ર માટે,ક્ષેત્રફળ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદમાં થતા ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = (p_1 - p_2) \times (V_2 - V_1)$.
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)$ છે.

(D) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે ગોળાના ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$N - Mg \cos \theta = 0 \quad \dots(i)$
$Mg \sin \theta - f = Ma_{CM} \quad \dots(ii)$
$\tau = f \times R = I \alpha = I \frac{a_{CM}}{R} \quad \dots(iii)$
કારણ કે $I = \frac{2}{5} MR^2$,સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા $f = \frac{2}{5} Ma_{CM}$ મળે છે.
$f$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$Mg \sin \theta - \frac{2}{5} Ma_{CM} = Ma_{CM} \implies Mg \sin \theta = \frac{7}{5} Ma_{CM} \implies a_{CM} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
હવે,$a_{CM}$ ની કિંમત $f$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = \frac{2}{5} M \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$.
સરક્યા વિના શુદ્ધ ગબડવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણ $f \leq \mu_s N$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$f = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$ અને $N = Mg \cos \theta$ મૂકતા:
$\frac{2}{7} Mg \sin \theta \leq \mu_s Mg \cos \theta$
$\tan \theta \leq \frac{7}{2} \mu_s$
$\theta \leq \tan^{-1} \left( \frac{7}{2} \mu_s \right)$.

(A) જ્યારે બોક્સ પલટી જવાની અણી પર હોય,ત્યારે લંબબળ $N$ એ ધાર $O$ માંથી પસાર થાય છે જેની આસપાસ તે ફરવાનું વલણ ધરાવે છે. બિંદુ $O$ ની આસપાસ લાગુ બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક એ વજન $mg$ ને કારણે ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
પલટી જવા માટેની શરત:
$F \times H = mg \times \frac{a}{2} \quad \dots(1)$
સરકવા માટેની શરત,લાગુ બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળને પાર કરવું જોઈએ:
$F = \mu mg \quad \dots(2)$
નિર્ણાયક ઊંચાઈ $H$ પર,બોક્સ એકસાથે પલટી જવાની અને સરકવાની અણી પર હોય છે. સમીકરણ $(2)$ માંથી $F = \mu mg$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\mu mg) \times H = mg \times \frac{a}{2}$
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા:
$\mu H = \frac{a}{2}$
તેથી,ઘર્ષણાંક:
$\mu = \frac{a}{2 H}$

(C) ઘર્ષણવાળા બેંકિંગવાળા રસ્તા પર,વાહન પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $R$,ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$,વજન $mg$ અને કેન્દ્રગામી બળ $\frac{mv^2}{r}$ છે.
ક્ષૈતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
ક્ષૈતિજ: $R \sin \theta + f \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
શિરોલંબ: $R \cos \theta - f \sin \theta = mg$
ક્ષૈતિજ સમીકરણને શિરોલંબ સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{R \sin \theta + \mu R \cos \theta}{R \cos \theta - \mu R \sin \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v^2}{rg}$
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} = \frac{v^2}{rg}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$rg(\tan \theta + \mu) = v^2(1 - \mu \tan \theta)$
$rg \tan \theta + \mu rg = v^2 - \mu v^2 \tan \theta$
$\tan \theta(rg + \mu v^2) = v^2 - \mu rg$
$\tan \theta = \frac{v^2 - \mu rg}{rg + \mu v^2}$

(C) પ્રથમ સ્પીકરથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d_1 = 4 \,m$ છે. બીજા સ્પીકરથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \,m$ છે.
બિંદુ $P$ પર બે ધ્વનિ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta L = d_2 - d_1 = 5 \,m - 4 \,m = 1 \,m$ છે.
અવાજ સૌથી ઓછી તીવ્રતાનો (વિનાશક વ્યતિકરણ) હોય તે માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta L = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
$n = 0$ માટે,$1 \,m = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2 \,m$.
અવાજ સૌથી વધુ તીવ્રતાનો (સહાયક વ્યતિકરણ) હોય તે માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta L = n \lambda_2$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
$n = 1$ માટે,$1 \,m = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = 1 \,m$.
આમ,$\lambda_1 = 2 \,m$ અને $\lambda_2 = 1 \,m$ એ શક્ય મૂલ્યો છે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
$1$. બ્લોક $1$ માટે,વેગ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન $v$ જેટલો અચળ રહે છે કારણ કે ટ્રેક આડો અને ઘર્ષણરહિત છે.
$2$. બ્લોક $2$ માટે,જેમ તે ખાડામાં પ્રવેશે છે,તે સ્થિતિ ઊર્જા મેળવે છે જે ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આમ,ખાડામાં હોય ત્યારે તેની ઝડપ $v$ કરતા વધી જાય છે.
$3$. ખાડો પસાર કર્યા પછી,બ્લોક ફરીથી આડા સ્તર પર ચઢે ત્યારે તેની મૂળ ઝડપ $v$ પર પાછો આવે છે.
$4$. કારણ કે બ્લોક $2$ ટ્રેકનો અમુક ભાગ $v$ કરતા વધારે ઝડપ સાથે કાપે છે,તેથી સમગ્ર અંતર માટે તેની સરેરાશ ઝડપ બ્લોક $1$ ની અચળ ઝડપ $v$ કરતા વધારે હોય છે.
$5$. પરિણામે,બ્લોક $2$ સમાન કુલ આડું અંતર બ્લોક $1$ કરતા ઓછા સમયમાં કાપે છે.

(B) અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન $1 \,kg$ પાણી માટે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta V = V_{\text{vapour}} - V_{\text{liquid}} = \frac{m}{\rho_{\text{vapour}}} - \frac{m}{\rho_{\text{liquid}}}$
$\Delta V = \frac{1}{(1/1.8)} - \frac{1}{1000} = 1.8 - 0.001 \approx 1.8 \,m^3$
અચળ દબાણ $p$ વિરુદ્ધ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W = p \Delta V = (1.01 \times 10^5 \,N m^{-2}) \times (1.8 \,m^3) = 1.818 \times 10^5 \,J$
અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા:
$Q = mL = 1 \,kg \times 22.6 \times 10^5 \,J kg^{-1} = 22.6 \times 10^5 \,J$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$:
$\Delta U = 22.6 \times 10^5 - 1.818 \times 10^5$
$\Delta U = 20.782 \times 10^5 \,J kg^{-1} \approx 20.8 \times 10^5 \,J kg^{-1}$.

(B) દડાનો વેગ સ્થિર સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં માપવામાં આવે છે. જ્યારે સંદર્ભ ફ્રેમ ગતિમાં હોય (જેમ કે કાર),ત્યારે પદાર્થ પાસે સંદર્ભ ફ્રેમના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં વધારાનો વેગ હોય તેમ જણાય છે.
ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_{c}$ છે. કારની ફ્રેમમાં,દડા પાસે:
$(i)$ ફેંકવાને કારણે ઉર્ધ્વ વેગનો ઘટક છે.
$(ii)$ કારની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $-\vec{v}_{c}$ જેટલો સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક છે.
દડા પાસે ઉર્ધ્વ દિશામાં અચળ પ્રવેગ (ગુરુત્વાકર્ષણ) અને કારની સાપેક્ષમાં અચળ સમક્ષિતિજ વેગ હોવાથી,કારની સંદર્ભ ફ્રેમમાં દડાનો ગતિપથ પરવલયાકાર હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) આપેલ છે કે,બીજા ગ્રહનું દળ $M_2 = 8 M_1$,જ્યાં $M_1$ એ પ્રથમ ગ્રહનું દળ છે.
બંને ગ્રહો માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$.
આમ,$M \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto M^{1/3}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$,એટલે કે $R_2 = 2 R_1$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
બીજા ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો પ્રથમ ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2}{M_1} \times \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{g_2}{g_1} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) $U$-ટ્યુબમાં રહેલા બે અદ્રાવ્ય પ્રવાહીઓ માટે,સંતુલન સમયે સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે $\rho_A$ અને $\rho_B$ એ અનુક્રમે પ્રવાહી $A$ અને $B$ ની ઘનતા છે,અને $h_A$ અને $h_B$ એ સામાન્ય આંતરપૃષ્ઠ સ્તરની ઉપર પ્રવાહી સ્તંભોની ઊંચાઈ છે.
કારણ કે સામાન્ય આંતરપૃષ્ઠ સ્તર પર દબાણ સમાન હોવું જોઈએ,તેથી આપણી પાસે છે: $P_0 + \rho_A g h_A = P_0 + \rho_B g h_B$,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ: $\rho_A h_A = \rho_B h_B$ થાય છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહી $A$ ની ઘનતા પ્રવાહી $B$ ની ઘનતા કરતા ઓછી છે $(\rho_A < \rho_B)$,તેથી સમાન દબાણ જાળવી રાખવા માટે $h_A > h_B$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,આંતરપૃષ્ઠ સ્તરની ઉપર પ્રવાહી $A$ નો સ્તંભ પ્રવાહી $B$ ના સ્તંભ કરતા ઊંચો હોવો જોઈએ. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ ગોઠવણીને અનુરૂપ છે.

(A) બ્લોકનું વજન,$W = Mg$,શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
આ વજનને આપણે બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$1$. ઢળતી સપાટીને લંબ ઘટક: $Mg \cos \theta$.
$2$. ઢળતી સપાટીને સમાંતર ઘટક: $Mg \sin \theta$.
બ્લોક ઢળતી સપાટી પર સ્થિર હોવાથી,સપાટીને લંબ દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સપાટી બ્લોક પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ લગાડે છે,જે વજનના લંબ ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$N = Mg \cos \theta$.
સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ છે (ઘર્ષણરહિત સપાટી ધારતા અથવા વિકલ્પો મુજબ માત્ર લંબ ઘટક ધ્યાનમાં લેતા).
આમ,સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $Mg \cos \theta$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
જ્યારે આપણે બરફ પર દબાણ આપીએ છીએ,ત્યારે ઘન બરફ પ્રવાહીમાં ઓગળી જાય છે કારણ કે દબાણ વધવાથી બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આ ઘટના પાણીના અસામાન્ય વર્તનને કારણે થાય છે,જેમાં પાણી તેના ઘન સ્વરૂપ (બરફ) માં પ્રવાહી સ્વરૂપ કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવે છે.
કારણ કે પ્રવાહી પાણી સમાન દળના બરફ કરતા ઓછી જગ્યા રોકે છે,દબાણ આપવાથી સંતુલન પ્રવાહી અવસ્થા તરફ ખસે છે. જ્યારે આપણે દબાણ છોડીએ છીએ,ત્યારે ઓગળેલું પાણી ફરીથી થીજી જાય છે,જે બરફના સ્ફટિકોને એકસાથે જોડીને દડો બનાવે છે.

(B) વર્તુળાકાર સિક્કાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,વ્યાસમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર એ ત્રિજ્યામાં થતા ટકાવારી ફેરફાર જેટલો જ હોય છે: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. સાપેક્ષ ત્રુટિ (અથવા વિકલન) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ધ્વનિનો જે ગુણધર્મ આપણને સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે અવાજો વચ્ચે તફાવત પારખવામાં મદદ કરે છે તેને ધ્વનિની ગુણવત્તા અથવા ટિમ્બર (timbre) કહેવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મ ધ્વનિ તરંગના તરંગ સ્વરૂપ (waveform) પર આધાર રાખે છે, જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર કેવી રીતે બદલાય છે. ભલે બે વાદ્યો સમાન પિચ (આવૃત્તિ) અને પ્રબળતા (કંપવિસ્તાર) નો સૂર ઉત્પન્ન કરે, પરંતુ તેમના તરંગ સ્વરૂપો અલગ-અલગ ઓવરટોન્સ અથવા હાર્મોનિક્સની હાજરીને કારણે અલગ હોય છે, જે આપણા કાનને તેમની વચ્ચે તફાવત પારખવામાં મદદ કરે છે.

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt$ એ પદાર્થના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $dQ/dt \propto A$.
આપેલ દળ $m$ અને ઘનતા $\rho$ માટે,કદ $V = m/\rho$ સમઘન અને ગોળા બંને માટે સમાન રહે છે.
ગોળાનું કદ $V = (4/3)\pi r^3$ અને સમઘનનું કદ $V = a^3$ હોવાથી,સમાન કદ માટે સમઘનનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(6a^2)$ એ ગોળાના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(4\pi r^2)$ કરતા વધારે હોય છે.
સમઘનનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારે હોવાથી,તે ગોળા કરતા વધુ ઝડપથી ઉષ્મા ગુમાવે છે.
વધુમાં,સમઘનની તીક્ષ્ણ ધાર લીસી ગોળાકાર સપાટીની તુલનામાં વધુ અસરકારક રીતે વિકિરણ ઉત્સર્જન કરે છે.
તેથી,સમઘન ગોળા કરતા ઝડપથી ઠંડો થાય છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) જ્યારે બ્લોકને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રવાહીને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ અનુભવે છે.
બેલેન્સ $A$ માટે,રીડિંગ સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવ $T$ ને અનુરૂપ છે. શરૂઆતમાં,$T = mg = 2 \,kg \times g$. જ્યારે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે $T' = mg - F_b$. કારણ કે $F_b > 0$ છે,તેથી નવું રીડિંગ $T'$ એ $2 \,kg$ કરતા ઓછું હશે.
બેલેન્સ $B$ માટે,શરૂઆતનું રીડિંગ બીકર અને પ્રવાહીના વજન જેટલું છે. જ્યારે બ્લોકને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પ્રવાહી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં નીચેની તરફ બળ $F_b$ લગાડે છે. તેથી,બેલેન્સ $B$ પરનું નવું રીડિંગ એ શરૂઆતનું વજન વત્તા ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ હશે. કારણ કે $F_b > 0$ છે,તેથી નવું રીડિંગ $3 \,kg$ કરતા વધારે હશે. જોકે,સમગ્ર સિસ્ટમનું કુલ વજન (બીકર + પ્રવાહી + બ્લોક) $2 \,kg + 3 \,kg = 5 \,kg$ છે. બ્લોક બીકરના તળિયે ટેકવાયેલો નથી પણ સ્પ્રિંગ $A$ દ્વારા આધારિત છે,તેથી $B$ પરનું રીડિંગ કુલ વજન $5 \,kg$ કરતા ઓછું હશે.
આમ,બેલેન્સ $A$ નું રીડિંગ $2 \,kg$ કરતા ઓછું અને બેલેન્સ $B$ નું રીડિંગ $3 \,kg$ અને $5 \,kg$ ની વચ્ચે હશે.

(A) $t$ સમયમાં,$m$ દળ ધરાવતો કણ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ જેટલું શિરોલંબ અંતર નીચે પડે છે,જે ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
અહીં,આડું (ક્ષૈતિજ) કાપેલું અંતર $d$ છે અને આડી દિશામાં ફોટોનની ઝડપ $c$ છે. આ આડું અંતર $d$ કાપવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{d}{c}$
$t$ ની કિંમત શિરોલંબ અંતર $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h = \frac{1}{2} g \left( \frac{d}{c} \right)^2$
$h = \frac{g d^2}{2 c^2}$
આમ,ફોટોન $\frac{g d^2}{2 c^2}$ જેટલા શિરોલંબ અંતર નીચે પડશે.

(D) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
તમામ કિસ્સાઓ માટે $\omega$ અચળ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(K \propto I)$.
તેથી,જે અક્ષ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ મહત્તમ હશે,તે અક્ષ માટે ગતિ ઊર્જા સૌથી વધુ હશે.
$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે:
$1$. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષ: $I_1 = \frac{Ma^2}{6}$
$2$. વિકર્ણની સાથેની અક્ષ: $I_2 = \frac{Ma^2}{12}$
$3$. ધારની સાથેની અક્ષ: $I_3 = \frac{Ma^2}{3}$
$4$. ખૂણામાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષ: લંબ અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_4 = I_{cm} + M(r^2) = \frac{Ma^2}{6} + M(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2Ma^2}{3}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$I_4$ સૌથી મોટી છે. આમ,જ્યારે પ્લેટને એક ખૂણામાંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે ત્યારે ગતિ ઊર્જા સૌથી વધુ હોય છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$1$. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C$ ઘટે છે.
$2$. બેટરી જોડાયેલી રહેતી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
$3$. કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C$ ઘટે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી ચાર્જ $Q$ ઘટે છે.
$4$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિર વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C$ ઘટે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ ઘટે છે.

(C) આપેલ તંત્ર ચાર સમાંતર ધાતુની પ્લેટોનું બનેલું છે. ધારો કે બહારની પ્લેટો બિંદુ $P$ સાથે અને અંદરની પ્લેટો બિંદુ $Q$ સાથે જોડાયેલ છે.
દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડી વચ્ચે એક કેપેસિટર રચાય છે. અહીં ચાર પ્લેટો હોવાથી,તેમની વચ્ચે ત્રણ જગ્યાઓ છે. જોકે,દર્શાવેલ જોડાણો મુજબ:
$1$. ઉપરની પ્લેટ $P$ સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. બીજી પ્લેટ $Q$ સાથે જોડાયેલ છે.
$3$. ત્રીજી પ્લેટ $Q$ સાથે જોડાયેલ છે.
$4$. નીચેની પ્લેટ $P$ સાથે જોડાયેલ છે.
આ ગોઠવણી સમાંતરમાં બે કેપેસિટર બનાવે છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે. પ્રથમ કેપેસિટર ઉપરની પ્લેટ $(P)$ અને બીજી પ્લેટ $(Q)$ દ્વારા રચાય છે. બીજું કેપેસિટર ત્રીજી પ્લેટ $(Q)$ અને નીચેની પ્લેટ $(P)$ દ્વારા રચાય છે.
દરેક વ્યક્તિગત કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આ બે કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.

(D) ગોળાકાર કવચની સપાટી પરના વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V$ એ સંકલન $V = \oint \frac{k dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની સપાટી પરના તમામ બિંદુઓ માટે ત્રિજ્યા $R$ અચળ હોવાથી,આપણે $\frac{k}{R}$ ને સંકલનની બહાર લઈ શકીએ છીએ.
$V = \frac{k}{R} \oint dq$.
સંકલન $\oint dq$ એ ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ દર્શાવે છે.
તેથી,$V = \frac{kQ}{R}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.
નોંધો કે વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન માત્ર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે,અને તે સપાટી પરના વિદ્યુતભારના વિતરણથી સ્વતંત્ર છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન-આલ્ફા $(Ly-\alpha)$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Ly-\alpha}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
બામર-આલ્ફા $(Ba-\alpha)$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Ba-\alpha}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.

(D) પ્રારંભિક સ્થિતિ: બે ગોળાઓ $A$ અને $B$ દરેક પાસે $q$ વિદ્યુતભાર છે અને તેઓ $r$ અંતરે અલગ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{k q^2}{r^2}$ છે.
પગલું $1$: જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળા $C$ ને ગોળા $A$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે. આમ,$A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_A = \frac{q}{2}$ થાય છે અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C = \frac{q}{2}$ થાય છે.
પગલું $2$: હવે,ગોળા $C$ (જેનો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ છે) ને ગોળા $B$ (જેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે) સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. ગોળાઓ સમાન હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર $B$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B = \frac{1}{2} \times \frac{3q}{2} = \frac{3q}{4}$ થાય છે.
પગલું $3$: ગોળા $A$ (વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$) અને ગોળા $B$ (વિદ્યુતભાર $\frac{3q}{4}$) વચ્ચે સમાન અંતર $r$ પર લાગતું અંતિમ બળ $F^{\prime}$:
$F^{\prime} = \frac{k q_A q_B}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$.
કારણ કે $F = \frac{k q^2}{r^2}$,તેથી $F^{\prime} = \frac{3}{8} F$.

(D) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી $E = Blv$ જેટલું પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$l$ એ લૂપની બાજુની લંબાઈ છે જે વેગને લંબ છે,અને $v$ એ વેગ છે. $B$,$l$,અને $v$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત emf અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ $I = E/R$ લૂપ ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે ત્યાં સુધી અચળ અને ધન રહે છે.
એકવાર લૂપ સંપૂર્ણપણે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર આવી જાય,પછી તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ થઈ જાય છે. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf શૂન્ય થાય છે,તેથી પ્રવાહ $I = 0$ થાય છે.
જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર નીકળે છે,તેમ તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે. પ્રેરિત emf $E = Blv$ છે,પરંતુ લેન્ઝના નિયમ મુજબ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા ઉલટાઈ જાય છે. આમ,લૂપ ક્ષેત્રની બહાર નીકળે છે ત્યાં સુધી પ્રવાહ $I$ અચળ અને ઋણ રહે છે.
તેથી,આલેખ ધન અચળ પ્રવાહ,ત્યારબાદ શૂન્ય પ્રવાહ અને પછી ઋણ અચળ પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = c(B \times \hat{n})$ અથવા $B = \frac{1}{c}(\hat{n} \times E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે $[E] = [B][c]$.
વિકલ્પ $A$ માં,સમીકરણ $E = \frac{\hat{n} \times B}{c}$ છે. જમણી બાજુના પરિમાણ $\frac{[B]}{[c]} = \frac{[B]}{[L/T]} = [B][T/L]$ થાય છે.
કારણ કે $[E] = [B][L/T]$,તેથી પરિમાણો સમાન નથી.
તેથી,સંબંધ $E = \frac{\hat{n} \times B}{c}$ પરિમાણીય રીતે ખોટો છે.

(C) ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,$\theta = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$\vec{E} = -\nabla V$.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,સ્થિતિમાન શૂન્ય છે,પરંતુ ડાયપોલની દિશામાં સ્થિતિમાનનો ફેરફારનો દર શૂન્ય નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ $\theta = 0$ અક્ષ પર હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ સમતલ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિષુવવૃત્તીય સમતલને સમાંતર (એટલે કે સમતલની દિશામાં) હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની હાજરીમાં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ઉપરની દિશામાં છે. ધન વિદ્યુતભારીત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ પણ ઉપરની દિશામાં લાગે છે કારણ કે વેગ $\vec{v}$ સમક્ષિતિજ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની અંદરની તરફ (અથવા એવા ખૂણે છે કે જેથી સદિશ ગુણાકારનું પરિણામી બળ ઉપરની તરફ મળે) છે.
આમ,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ બંને એક જ ઉપરની દિશામાં લાગતા હોવાથી,કણ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય નથી અને તે ઉપરની તરફ લાગે છે.
તેથી,વિદ્યુતભારીત કણો તેમના મૂળ માર્ગથી વિચલિત થશે અને મૂળ માર્ગ પર આવેલા છિદ્રમાંથી પસાર થઈ શકશે નહીં.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(A) જ્યારે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની વક્ર સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. આ તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$
જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલી વક્ર સપાટી (જે અરીસા તરીકે વર્તે છે) ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = 2 \left( \frac{\mu - 1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2\mu - 2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{2\mu}{R}$.
આમ,સમતુલ્ય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2\mu}$ છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી જોઈએ,જે ધ્રુવથી $2f$ અંતરે હોય છે.
અંતર $x = 2f = 2 \left( \frac{R}{2\mu} \right) = \frac{R}{\mu}$.
તેથી,વસ્તુને લેન્સથી $\frac{R}{\mu}$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(C) ધારો કે અનંત લેડર નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $X$ છે.
પ્રથમ સર્કિટ માટે,વિભાગ $AB$ ની જમણી બાજુનો અવરોધ $X$ છે. આમ,કુલ અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X = R + \frac{6R \cdot X}{6R + X}$
$X(6R + X) = R(6R + X) + 6RX$
$6RX + X^2 = 6R^2 + RX + 6RX$
$X^2 - RX - 6R^2 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $X$ માટે ઉકેલતા:
$X = \frac{R \pm \sqrt{R^2 - 4(1)(-6R^2)}}{2} = \frac{R \pm \sqrt{25R^2}}{2} = \frac{R \pm 5R}{2}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $X = \frac{6R}{2} = 3R$.
જોકે,આપેલી સર્કિટ જોતા,લેડર મર્યાદિત છે. બે સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ સમાન રાખવા માટે,આપણે અંતિમ શાખાના અવરોધને $X$ જેટલો લઈએ છીએ.
આપેલી સર્કિટ માટે,સમાનતાની શરત $X = R + \frac{6R(R+X)}{6R+R+X}$ છે.
$X^2 + RX - 6R^2 = 0$
$(X+3R)(X-2R) = 0$
તેથી,$X = 2R$.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu \sin \theta_1 = \mu_1 \sin r_1$,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ બ્લોકમાં વક્રીભવન કોણ છે.
જો $\theta_1$ વધે,તો $\sin \theta_1$ વધે છે,તેથી $\sin r_1$ વધવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r_1$ વધે છે.
બે બ્લોક્સ વચ્ચેની સપાટી પર,આપાતકોણ $r_1$ છે અને વક્રીભવન કોણ $r_2$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_1 \sin r_1 = \mu_2 \sin r_2$.
જેમ કે $\mu_1 \sin r_1$ વધ્યું છે,તેથી $\mu_2 \sin r_2$ પણ વધવું જોઈએ. $\mu_2$ અચળ હોવાથી,$\sin r_2$ વધે છે,તેથી $r_2$ વધે છે.
અંતિમ સપાટી પર,આપાતકોણ $r_2$ છે અને વક્રીભવન કોણ $\theta_2$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_2 \sin r_2 = \mu \sin \theta_2$.
જેમ કે $\mu_2 \sin r_2$ વધ્યું છે,તેથી $\mu \sin \theta_2$ વધવું જોઈએ. $\mu$ અચળ હોવાથી,$\sin \theta_2$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta_2$ વધે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
બળ $F$ એ $v$ અને $B$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા વેગ સદિશ $v$ ને લંબ હોય છે.
બળ દ્વારા સ્થાનાંતર $ds$ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int F \cdot ds$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $ds = v dt$ હોવાથી,આપણને $W = \int (F \cdot v) dt$ મળે છે.
કારણ કે $F$ એ $v$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $F \cdot v = 0$ થાય છે.
તેથી,ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે,પછી ભલે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા ગમે તે હોય.
આમ,$W_1 = W_2 = 0$.

(A) બિંદુ $P$ પર ધન વિદ્યુતભાર $+q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે, જેને સદિશ $E_1$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ પર ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે, જેને સદિશ $E_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ લંબ દ્વિભાજક પર હોવાથી, બંને વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે, એટલે કે $|E_1| = |E_2|$.
જ્યારે આ સદિશોને ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉર્ધ્વ ઘટકો ($E_1 \sin \theta$ અને $E_2 \sin \theta$) એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
ક્ષૈતિજ ઘટકો ($E_1 \cos \theta$ અને $E_2 \cos \theta$) વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને સમાંતર દિશામાં એકબીજામાં ઉમેરાય છે, જે ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
આકૃતિમાં જોતા, સદિશ $A$ એ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને સમાંતર છે અને $+q$ થી $-q$ તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી, પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $A$ ની દિશામાં છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગોમાં જોવા મળતી ઘટના છે,જેમાં માધ્યમના કણોના દોલનો (અથવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો) તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ એક ચોક્કસ સમતલમાં મર્યાદિત હોય છે.
પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે,જે સ્વભાવે લંબગત છે,અને તેથી તે ધ્રુવીભવનની ઘટના દર્શાવે છે.
હવામાં રહેલા ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે,જેનો અર્થ છે કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે. સંગત તરંગોનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી કારણ કે તેમાં દોલનોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરવા માટે જરૂરી લંબગત ઘટકોનો અભાવ હોય છે.
પરાવર્તન,વિવર્તન અને વક્રીભવન એ પ્રકાશના તરંગો અને ધ્વનિ તરંગો બંને દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા ગુણધર્મો છે.

(C) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ ${ }_{92}^{235} U$ છે અને અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${ }_{82}^{207} Pb$ છે.
$7 \ \alpha$ કણોના ઉત્સર્જનને કારણે દળ ક્રમાંક અને પરમાણુ ક્રમાંકમાં નીચે મુજબ ફેરફાર થાય છે:
દળ ક્રમાંકમાં ફેરફાર: $7 \times 4 = 28$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં ફેરફાર: $7 \times 2 = 14$.
ધારો કે મધ્યવર્તી ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે. $7 \ \alpha$ કણોના ઉત્સર્જન પછી:
$A = 235 - 28 = 207$
$Z = 92 - 14 = 78$
હવે,અંતિમ અવસ્થા ${ }_{82}^{207} Pb$ સુધી પહોંચવા માટે $n \ \beta^{-}$ કણોનું ઉત્સર્જન થાય છે:
${ }_{78}^{207} X \longrightarrow { }_{82}^{207} Pb + n({ }_{-1}^{0} \beta)$
પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$78 = 82 - n$
$n = 82 - 78 = 4$
તેથી,$4 \ \beta^{-}$ કણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,બલ્બ સ્વીચ $S_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. બલ્બ પ્રકાશિત થાય તે માટે,પરિપથ પૂર્ણ હોવો જોઈએ,એટલે કે બલ્બમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવો જોઈએ.
$1$. જો $S_2$ અને $S_3$ બંધ હોય અને $S_1$ ખુલ્લું હોય,તો વિદ્યુતપ્રવાહ સ્ત્રોતમાંથી $S_2$ અને $S_3$ દ્વારા બલ્બ સુધી વહે છે,જેનાથી પરિપથ પૂર્ણ થાય છે. આમ,બલ્બ પ્રકાશિત થાય છે.
$2$. જો $S_1$ અને $S_3$ બંધ હોય,તો પરિપથ $S_1$ અને $S_3$ ધરાવતા માર્ગ દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે.
$3$. તેથી,જ્યારે $S_2$ અને $S_3$ બંધ હોય અને $S_1$ ખુલ્લું હોય ત્યારે બલ્બ પ્રકાશિત થશે. વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R$ તેના રેટેડ પાવર $P_{\text{rated}}$ અને રેટેડ વોલ્ટેજ $V_{\text{rated}}$ સાથે $R = \frac{V_{\text{rated}}^2}{P_{\text{rated}}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
બંને બલ્બ માટે રેટેડ વોલ્ટેજ સમાન હોવાથી,$R \propto \frac{1}{P_{\text{rated}}}$.
આમ,$100 \,W$ ના બલ્બનો અવરોધ $200 \,W$ ના બલ્બ કરતા વધારે છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બલ્બમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે.
દરેક બલ્બમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ અચળ હોવાથી,$P \propto R$.
કારણ કે $100 \,W$ ના બલ્બનો અવરોધ વધારે છે,તેથી તે $200 \,W$ ના બલ્બ કરતા વધુ પાવરનો વ્યય કરશે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ લેન્સ $(L_1)$ માટે:
આપેલ છે $u_1 = -0.40 \,m$ અને $f_1 = +0.20 \,m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{0.20} + \frac{1}{-0.40} = 5 - 2.5 = 2.5 \,m^{-1}$.
તેથી,$v_1 = \frac{1}{2.5} = 0.40 \,m$.
આ પ્રતિબિંબ $L_1$ ની જમણી બાજુએ $0.40 \,m$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ $(L_2)$ માટે:
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $0.30 \,m$ છે. $L_1$ થી મળતું પ્રતિબિંબ $L_1$ ની જમણી બાજુએ $0.40 \,m$ અંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $L_2$ ની જમણી બાજુએ $0.40 - 0.30 = 0.10 \,m$ અંતરે છે.
પ્રકાશના કિરણો $L_2$ ની પાછળ એક બિંદુ તરફ અભિસરણ પામતા હોવાથી,આ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,$u_2 = +0.10 \,m$ અને $f_2 = -0.10 \,m$ (અંતર્ગોળ લેન્સ).
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-0.10} + \frac{1}{0.10} = -10 + 10 = 0$.
તેથી,$v_2 = \infty$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,$P_1, P_2, P_3, P_4$ અને $P_5$ પરના $5$ સમાન વિદ્યુતભારોની સપ્રમાણ ગોઠવણીને કારણે બિંદુ $O$ પરના કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ અને $\vec{F}_5$ એ અનુક્રમે $P_1, P_2, P_3, P_4$ અને $P_5$ પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા બિંદુ $O$ પરના કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = 0$.
જ્યારે $P_1$ પરનો વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પરનું નવું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = -\vec{F}_1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી બળનું મૂલ્ય $P_1$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા બળ જેટલું જ છે અને તેની દિશા તેની વિરુદ્ધ (એટલે કે $OP_1$ રેખા પર $P_1$ થી દૂર,જે ઉપરની તરફ છે) છે.
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10^{-5})(5 \times 10^{-5})}{(1)^2} = 4.5 \,N$ છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભારનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{4.5 \,N}{0.5 \,kg} = 9 \,m/s^2$ છે.
આમ,પ્રવેગ $9 \,m/s^2$ ઉપરની તરફ છે.