નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ પરિમાણીય વિશ્લેષણના આધારે તારવી શકાય છે? (બધા સંકેતો તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે)

ધારો કે બળ $F = A \sin(Ct) + B \cos(Dx)$,જ્યાં $x$ અને $t$ અનુક્રમે સ્થાનાંતર અને સમય છે. $\frac{C}{D}$ ના પરિમાણો કોના પરિમાણો સમાન છે?

પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે કયું સાચું છે. જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.

વિધાન $(A) :$ સમીકરણની પારિમાણિક સચોટતા તપાસવા માટે આપણે પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કારણ $(R) :$ જો સમીકરણમાંના તમામ પદોના પરિમાણો સમાન ન હોય,તો સમીકરણ ખોટું છે.

આ સદીના એક મહાન ભૌતિકશાસ્ત્રી ($P.A.M.$ Dirac) પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકોના આંકડાકીય મૂલ્યો સાથે રમવાનું પસંદ કરતા હતા. આનાથી તેમને એક રસપ્રદ અવલોકન મળ્યું. ડિરાકે જોયું કે પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્રના મૂળભૂત અચળાંકો ($c, e,$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ, પ્રોટોનનું દળ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ પરથી, તેઓ સમયના પરિમાણ ધરાવતી સંખ્યા મેળવી શકે છે. વધુમાં, તે ખૂબ જ મોટી સંખ્યા હતી, જેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડની ઉંમરના વર્તમાન અંદાજ ($\approx 15$ અબજ વર્ષ) ની નજીક હતું. આ પુસ્તકમાં આપેલા મૂળભૂત અચળાંકોના કોષ્ટક પરથી, પ્રયાસ કરો કે શું તમે પણ આ સંખ્યા બનાવી શકો છો. જો બ્રહ્માંડની ઉંમર સાથે તેની સમાનતા નોંધપાત્ર હોય, તો આ મૂળભૂત અચળાંકોની અચળતા માટે શું સૂચવે છે?

સમીકરણ $\frac{dV}{dt} = At - BV$ એ અવરોધક માધ્યમમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડતા પદાર્થના વેગમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે. $A$ અને $B$ ના પરિમાણો શું છે?