मान लीजिए z neq -i कोई ऐसी सम्मिश्र संख्या है | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया है कि $\frac{z - i}{z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए। $\frac{z - i}{z + i} =

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कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या।

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(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया है कि $\frac{z - i}{z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए। $\frac{z - i}{z + i} = \frac{x^2 + y^2 - 1 - 2xi}{x^2 + (y + 1)^2}$ प्राप्त होता है। वास्तविक भाग को शून्य रखने पर: $x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$। अतः $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $z \bar{z} = 1$,यानी $\bar{z} = \frac{1}{z}$। इसलिए $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2x$। अतः $z + \frac{1}{z}$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।

मान लीजिए $z \neq -i$ कोई ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\frac{z - i}{z + i}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। तो $z + \frac{1}{z}$ क्या है?

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