IIT JEE 2001 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) इकाई के $n^{th}$ मूल ${z_r} = \cos \frac{2r\pi}{n} + i\sin \frac{2r\pi}{n}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.
मान लीजिए ${z_1} = \cos \frac{2r_1\pi}{n} + i\sin \frac{2r_1\pi}{n}$ और ${z_2} = \cos \frac{2r_2\pi}{n} + i\sin \frac{2r_2\pi}{n}$.
मूल बिंदु पर ${z_1}$ और ${z_2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण $\frac{z_1}{z_2}$ के कोणांक द्वारा दिया जाता है.
$\text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) = \frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n}$.
चूंकि कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n} = \pm \frac{\pi}{2}$.
इसका अर्थ है $\frac{2(r_1 - r_2)}{n} = \pm \frac{1}{2}$,जो $n = \pm 4(r_1 - r_2)$ में सरल हो जाता है.
चूंकि $r_1$ और $r_2$ पूर्णांक हैं,इसलिए $n$ को $4$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $n = 4k$.

(C) प्रथम समांतर श्रेणी $2, 5, 8, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 2$ और सार्व अंतर $d_1 = 3$ है। प्रथम $2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n[4 + 6n - 3] = n(6n + 1)$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $57, 59, 61, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 57$ और सार्व अंतर $d_2 = 2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = n(56 + n)$ है।
दिया गया है कि $S_{2n} = S_n$,इसलिए $n(6n + 1) = n(56 + n)$ है।
चूँकि $n \neq 0$,$n$ से विभाजित करने पर: $6n + 1 = 56 + n$.
$5n = 55$,अतः $n = 11$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c, d$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद को $abcd$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{abcd}, \frac{b}{abcd}, \frac{c}{abcd}, \frac{d}{abcd}$ $A.P.$ में हैं।
यह सरल होकर बनता है:
$\frac{1}{bcd}, \frac{1}{acd}, \frac{1}{abd}, \frac{1}{abc}$ $A.P.$ में हैं।
$H.P.$ की परिभाषा के अनुसार,$A.P.$ में मौजूद पदों के व्युत्क्रम $H.P.$ में होते हैं।
इसलिए,$bcd, acd, abd, abc$ $H.P.$ में हैं।
क्रम को उलटने पर,$abc, abd, acd, bcd$ भी $H.P.$ में हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\log_{4}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_{a}(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_{4}(x - 1) = \frac{1}{2} \log_{2}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2} \log_{2}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = 2 \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = \log_{2}((x - 3)^2)$
$x - 1 = (x - 3)^2$
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
$(x - 5)(x - 2) = 0$
इस प्रकार,$x = 5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
डोमेन की जाँच करने पर: $\log_{2}(x - 3)$ को परिभाषित होने के लिए $x - 3 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > 3$।
$x = 2$ के लिए,$x - 3 = -1$,जो संभव नहीं है।
$x = 5$ के लिए,$x - 3 = 2 > 0$,जो मान्य है।
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $r$ एक $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ का सार्व अनुपात है। तब $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1$ $(i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p$ $(ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4$ $(iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q$ $(iv)$
$(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $r^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \pm 2$.
यदि $r = 2$ है,तो $\alpha(1+2) = 1 \Rightarrow \alpha = 1/3$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
यदि $r = -2$ है,तो $\alpha(1-2) = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
$r = -2$ और $\alpha = -1$ को $(ii)$ और $(iv)$ में रखने पर:
$p = (-1)^2(-2) = -2$
$q = (-1)^2(-2)^5 = -32$
अतः,$(p, q) = (-2, -32)$।

(B) $n$ शीर्षों द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $T_{n+1} - T_n = 21$ में सूत्र रखने पर:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 21$.
पास्कल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$.
संयोजन के सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$
$n(n-1) = 42$
$n(n-1) = 7 \times 6$.
अतः,$n = 7$.

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $PQ = 100 \ m$ है। कार की प्रारंभिक स्थिति $R$ और अंतिम स्थिति $S$ है। कार द्वारा तय की गई दूरी $x = RS$ है।
$\triangle PQS$ में,$\tan{60^\circ} = \frac{PQ}{QS} \implies \sqrt{3} = \frac{100}{QS} \implies QS = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.
$\triangle PQR$ में,$\tan{30^\circ} = \frac{PQ}{QR} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{QR} \implies QR = 100\sqrt{3} \ m$.
कार द्वारा तय की गई दूरी $x = QR - QS = 100\sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{300 - 100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \ m$.

(A) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
दूसरे समीकरण से $y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ को पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए। $5$ के भाजक $\pm 1$ और $\pm 5$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)।
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)।
$m$ के पूर्णांक मान $-1$ और $-2$ हैं। अतः,ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(B) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(r, 0)$ और $B$ के $(0, r)$ हैं ताकि $\angle AOB = 90^\circ$ हो। मान लीजिए $P$ वृत्त पर एक बिंदु $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
$\Delta PAB$ का केंद्रक $G(\alpha, \beta)$ इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{r \cos \theta + r + 0}{3} = \frac{r(\cos \theta + 1)}{3}$
$\beta = \frac{r \sin \theta + 0 + r}{3} = \frac{r(\sin \theta + 1)}{3}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\cos \theta = \frac{3\alpha}{r} - 1$
$\sin \theta = \frac{3\beta}{r} - 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{3\alpha}{r} - 1\right)^2 + \left(\frac{3\beta}{r} - 1\right)^2 = 1$
$\left(\alpha - \frac{r}{3}\right)^2 + \left(\beta - \frac{r}{3}\right)^2 = \left(\frac{r}{3}\right)^2$
अतः,बिंदुपथ $(x - \frac{r}{3})^2 + (y - \frac{r}{3})^2 = (\frac{r}{3})^2$ है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ के रूप में होती है।
यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $3$) को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो:
$3 = \left| \frac{m(3) - 0 + \frac{1}{m}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(m^2 + 1) = (3m + \frac{1}{m})^2$
$9m^2 + 9 = 9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2}$
$3 = \frac{1}{m^2} \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए हम धनात्मक ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ चुनते हैं।
$m$ का मान स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y = x + 3$.

(B) हमें सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi {{\cos }^2}x)}}{{{x^2}}}$ का मूल्यांकन करना है।
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi (1 - \sin^2 x))}}{{{x^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi - \pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \right) \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}}$
जैसे $x \to 0$,$\pi \sin^2 x \to 0$,इसलिए $\frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \to 1$.
साथ ही,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin^2 x}}{{{x^2}}} = 1$.
अतः,$L = 1 \times \pi \times 1 = \pi $.

(D) दिया गया फलन $x$ में एक द्विघात समीकरण $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 1 + b^2$,$B = 2b$,और $C = 1$ है।
सभी वास्तविक $b$ के लिए $A = 1 + b^2 > 0$ है,इसलिए फलन का न्यूनतम मान $x = -\frac{B}{2A}$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $m(b) = f(-\frac{B}{2A}) = C - \frac{B^2}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $m(b) = 1 - \frac{(2b)^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{4b^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{b^2}{1 + b^2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $m(b) = \frac{1 + b^2 - b^2}{1 + b^2} = \frac{1}{1 + b^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 \ge 0$,इसलिए $1 + b^2 \ge 1$ है,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{1 + b^2} \le 1$.
अतः,$m(b)$ का परिसर $(0, 1]$ है।

(B) $(a - b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} (-b)^r$ है।
$5^{th}$ पद $(r=4)$ के लिए: $T_5 = ^nC_4 a^{n-4} b^4$.
$6^{th}$ पद $(r=5)$ के लिए: $T_6 = -^nC_5 a^{n-5} b^5$.
$T_5 + T_6 = 0$ दिया गया है:
$^nC_4 a^{n-4} b^4 = ^nC_5 a^{n-5} b^5$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{^nC_5}{^nC_4} = \frac{n-4}{5}$.

(B) $(a - b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r + 1} = {}^nC_r a^{n - r} (-b)^r$ द्वारा दिया जाता है।
$5$ वां पद $T_5 = T_{4 + 1} = {}^nC_4 a^{n - 4} (-b)^4 = {}^nC_4 a^{n - 4} b^4$ है।
$6$ वां पद $T_6 = T_{5 + 1} = {}^nC_5 a^{n - 5} (-b)^5 = -{}^nC_5 a^{n - 5} b^5$ है।
दिया गया है कि $T_5 + T_6 = 0$,इसलिए:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 - {}^nC_5 a^{n - 5} b^5 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 = {}^nC_5 a^{n - 5} b^5$
दोनों पक्षों को $a^{n - 5} b^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{{}^nC_5}{{}^nC_4}$
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{n!}{5!(n - 5)!} \times \frac{4!(n - 4)!}{n!}$
$\frac{a}{b} = \frac{(n - 4)!}{(n - 5)!} \times \frac{4!}{5!}$
$\frac{a}{b} = \frac{n - 4}{5}$.

(A) दिया गया है कि $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$.
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$.
मान लीजिए $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$.
तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$.
$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक $i$ के लिए $\sin 2\alpha_i \le 1$,इसलिए $P^2 \le \frac{1}{2^n}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$P \le \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$.
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $y - mx = 0$,$y - mx - 1 = 0$,$y - nx = 0$ और $y - nx - 1 = 0$ हैं।
ये रेखाएँ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_1x + b_1y + c_2 = 0$,$a_2x + b_2y + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$
यहाँ,समीकरण हैं:
$mx - y + 0 = 0$
$mx - y + 1 = 0$
$nx - y + 0 = 0$
$nx - y + 1 = 0$
सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $c_1 = 0, c_2 = 1, d_1 = 0, d_2 = 1, a_1 = m, b_1 = -1, a_2 = n, b_2 = -1$ प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \left| \frac{(0 - 1)(0 - 1)}{m(-1) - n(-1)} \right| = \left| \frac{(-1)(-1)}{-m + n} \right| = \left| \frac{1}{n - m} \right| = \frac{1}{|m - n|}$.

(D) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^2+4y+4x+2=0$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2+4y = -4x-2$.
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$y^2+4y+4 = -4x-2+4$.
$(y+2)^2 = -4x+2$.
$(y+2)^2 = -4(x-\frac{1}{2})$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{1}{2}$,$k = -2$,और $4a = 4 \implies a = 1$.
बाईं ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $x = h+a$ होता है।
मान रखने पर: $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$\alpha = \beta + \gamma$.
चूंकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,
$\tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha (\frac{1}{\tan \alpha})} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{2}$.
अतः,$2 \tan \gamma = \tan \alpha - \tan \beta$,जिससे $\tan \alpha = \tan \beta + 2 \tan \gamma$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए व्यास $PR = 2r$ है। चूँकि $PQ$ और $RS$ क्रमशः $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं,$PQ \perp PR$ और $RS \perp PR$ है।
मान लीजिए $\angle PRQ = \theta$ है। $\triangle PQR$ में,$\tan \theta = \frac{PQ}{PR}$,अतः $PR = PQ \cot \theta$ है।
चूँकि $X$ वृत्त पर स्थित है और $PR$ व्यास है,$\angle PXR = 90^{\circ}$ है।
$\triangle PXR$ में,$\angle XPR = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XRP = \theta$ है।
$\triangle PXS$ में,$\angle XPS = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XSP = \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{RS}{PR}$,जिससे $PR = RS \tan \theta$ प्राप्त होता है।
$PR$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$PQ \cot \theta = RS \tan \theta$
$\tan^2 \theta = \frac{PQ}{RS} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{PQ}{RS}}$।
इस मान को $PR = RS \tan \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$PR = RS \cdot \sqrt{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{PQ \cdot RS}$।
चूँकि $PR = 2r$ है,इसलिए $2r = \sqrt{PQ \cdot RS}$ प्राप्त होता है।

(C) अदिश त्रिगुणन $[a\,b\,c]$ सदिशों $a$, $b$, और $c$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[a\,b\,c] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0 = (1 + x) - x = 1$.
चूंकि परिणाम एक स्थिरांक $1$ है, इसलिए $[a\,b\,c]$ का मान $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
हम जानते हैं कि $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2(a \cdot b) = 2 - 2(a \cdot b)$.
इसी प्रकार,$|b - c|^2 = 2 - 2(b \cdot c)$ और $|c - a|^2 = 2 - 2(c \cdot a)$.
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
हम यह भी जानते हैं कि $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
इसलिए,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = |a + b + c|^2 - 3$.
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - (|a + b + c|^2 - 3) = 9 - |a + b + c|^2$.
चूंकि $|a + b + c|^2 \ge 0$,इसलिए व्यंजक का अधिकतम मान $9 - 0 = 9$ है।
अतः,व्यंजक का मान $9$ से अधिक नहीं हो सकता।

(D) फलन $f(x) = \frac{\log_2(x + 3)}{x^2 + 3x + 2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x^2 + 3x + 2 \neq 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(x + 2) \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq -1$ और $x \neq -2$.
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-3, \infty)$ है,जिसमें $\{-1, -2\}$ बिंदु शामिल नहीं हैं।
अतः,प्रांत $(-3, \infty) - \{-1, -2\}$ है।

(B) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\}$।
चूँकि $0 \le \{x\} < 1$,इसलिए $1 \le g(x) < 2$ होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x) > 0$ है।
अब,$f(g(x))$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(g(x)) = \begin{cases} -1, & g(x) < 0 \\ 0, & g(x) = 0 \\ 1, & g(x) > 0 \end{cases}$।
चूँकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(g(x)) = 1$ होगा।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$.
हमें $\alpha$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(f(x)) = x$ हो।
सबसे पहले,$f(f(x)) = \frac{\alpha f(x)}{f(x) + 1}$ की गणना करें।
$f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(f(x)) = \frac{\alpha \left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right)}{\frac{\alpha x}{x + 1} + 1} = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x + 1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x + 1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$.
हमें दिया गया है $f(f(x)) = x$,इसलिए:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$.
यदि $x \neq 0$ है,तो $\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$.
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$.
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए और अचर पद समान होने चाहिए:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$.
अचर पद की जाँच करने पर: $\alpha^2 = 1$. यदि $\alpha = -1$ है,तो $(-1)^2 = 1$,जो सत्य है।
अतः,$\alpha$ का मान $-1$ है।

(A) $x = k$ पर बायां अवकलज $f'(k^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(k - h) - f(k)}{-h}$ द्वारा परिभाषित है।
दिया गया है $f(x) = [x]\sin(\pi x)$,इसलिए $f(k) = [k]\sin(\pi k) = k \times 0 = 0$ है।
छोटे $h > 0$ के लिए,$[k - h] = k - 1$ होता है।
अतः,$f(k - h) = (k - 1)\sin(\pi(k - h)) = (k - 1)\sin(\pi k - \pi h) = (k - 1)(\sin(\pi k)\cos(\pi h) - \cos(\pi k)\sin(\pi h))$ है।
चूंकि $\sin(\pi k) = 0$ और $\cos(\pi k) = (-1)^k$,हमें प्राप्त होता है $f(k - h) = (k - 1)(0 - (-1)^k \sin(\pi h)) = -(k - 1)(-1)^k \sin(\pi h) = (k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h)$।
इस मान को सीमा में रखने पर: $f'(k^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h) - 0}{-h}$।
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f'(k^-) = (k - 1)(-1)^{k+1} \times (-\pi) = (k - 1)(-1)^{k+1} (-1) \pi = (k - 1)(-1)^{k+2} \pi = (k - 1)(-1)^k \pi$।

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1 - x)}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \{1 + x(1 - 2x)\}$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 + x - 2x^2)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 - x)(1 + 2x)$
चूंकि $e^{x(1 - x)}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न द्विघात व्यंजक $(1 - x)(1 + 2x)$ पर निर्भर करता है।
द्विघात समीकरण के मूल $x = 1$ और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर:
$x \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ पर वर्धमान है।

(C) दिया गया है कि $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt = x^2(1 + x)$.
समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \int_0^{x^2} f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} (x^2 + x^3)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x + 3x^2$.
$f(x^2) \cdot 2x = 2x + 3x^2$.
$x > 0$ के लिए,$2x$ से विभाजित करने पर:
$f(x^2) = \frac{2x + 3x^2}{2x} = 1 + \frac{3}{2}x$.
$f(4)$ ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 4$ रखने पर,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x > 0$):
$f(4) = 1 + \frac{3}{2}(2) = 1 + 3 = 4$.

(C) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $-\pi + \pi - x = -x$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1 + a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{a^x + 1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1 + a^x) \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$.
चूंकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos 2x) dx$.
$2I = [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi + 0) - (0 + 0) = \pi$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना दिया गया सारणिक $\Delta$ है। $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x + 2\cos x}&{\sin x + 2\cos x}&{\sin x + 2\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$
$R_1$ से $(\sin x + 2\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (\sin x + 2\cos x) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया करने पर:
$\Delta = (\sin x + 2\cos x) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\{\cos x}&{\sin x - \cos x}&0\\{\cos x}&0&{\sin x - \cos x}\end{array}} \right| = 0$
$\Delta = (\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin x + 2\cos x = 0$ या $(\sin x - \cos x)^2 = 0$ है।
स्थिति $1$: $\tan x = -2$। अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में,$\tan x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। अतः,$\tan x = -2$ का कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1$। अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $\tan x = 1$ होता है।
अतः,केवल $1$ ही भिन्न वास्तविक मूल प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $|y| \le 1$ के लिए ${\sin ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण ${\sin ^{ - 1}}\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots} \right) = \frac{\pi }{2}$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क समान होने चाहिए।
माना $y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x/2$ है। इसका योग $\frac{x}{1 - (-x/2)} = \frac{x}{1 + x/2} = \frac{2x}{2 + x}$ है।
इसी प्रकार,दूसरा व्यंजक $x^2 - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = x^2$ और $r = -x^2/2$ है,जिसका योग $\frac{x^2}{1 + x^2/2} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$ है।
दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{2x}{2 + x} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$।
चूंकि $x \neq 0$,हम $2x$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{1}{2 + x} = \frac{x}{2 + x^2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2 + x^2 = 2x + x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2 = 2x$ अर्थात $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) समुच्चय $E$ (जिसमें $n$ अवयव हैं) से समुच्चय $F$ (जिसमें $m$ अवयव हैं) तक कुल फलनों की संख्या $m^n$ होती है।
यहाँ,$n = |E| = 4$ और $m = |F| = 2$ है।
अतः,कुल फलनों की संख्या $2^4 = 16$ है।
एक आच्छादक फलन (onto function) का अर्थ है कि सह-प्रांत $F$ के प्रत्येक अवयव का प्रांत $E$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना चाहिए।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,वे वे फलन हैं जहाँ $E$ के सभी अवयव या तो ${1}$ पर या ${2}$ पर मैप होते हैं।
ऐसे कुल $2$ अचर फलन हैं: $f(x) = 1$ सभी $x \in E$ के लिए और $f(x) = 2$ सभी $x \in E$ के लिए।
इसलिए,आच्छादक फलनों की संख्या $16 - 2 = 14$ है।

(A) दिया गया है $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ge 1$ और $y \ge 2$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $yx = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसे द्विघात समीकरण $x^2 - yx + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, +\infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम ऋणात्मक चिह्न लेते हैं,तो $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है। $y \ge 2$ के लिए,यह मान $\le 1$ होता है।
अतः,$x \ge 1$ की शर्त को पूरा करने के लिए,हमें धनात्मक चिह्न लेना होगा: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{-1}}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x) = \max(x, x^3)$ अवकलनीय नहीं है,हम विभिन्न अंतरालों में $x$ और $x^3$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $x < -1$ है,तो $x^3 < x$,इसलिए $f(x) = x$.
$2$. यदि $-1 < x < 0$ है,तो $x^3 > x$,इसलिए $f(x) = x^3$.
$3$. यदि $0 < x < 1$ है,तो $x > x^3$,इसलिए $f(x) = x$.
$4$. यदि $x > 1$ है,तो $x^3 > x$,इसलिए $f(x) = x^3$.
परिवर्तन बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ पर,हम बाएँ और दाएँ अवकलज की जाँच करते हैं:
$x = -1$ पर: $f'( -1^-) = 1$ और $f'( -1^+) = 3(-1)^2 = 3$. चूँकि $1 \neq 3$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'( 0^-) = 3(0)^2 = 0$ और $f'( 0^+) = 1$. चूँकि $0 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $f'( 1^-) = 1$ और $f'( 1^+) = 3(1)^2 = 3$. चूँकि $1 \neq 3$,यह अवकलनीय नहीं है।
अतः,उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,$\{ -1, 0, 1\}$ है।

(D) माना $f(x) = \sin(|x|) - |x|$ है। हम $x = 0$ पर बाएँ हाथ के अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ के अवकलज $(RHD)$ की गणना करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \sin(-x) - (-x) = -\sin x + x$ है। इसका अवकलज $f'(x) = -\cos x + 1$ है। अतः,$LHD = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x + 1) = -\cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = \sin x - x$ है। इसका अवकलज $f'(x) = \cos x - 1$ है। अतः,$RHD = \lim_{x \to 0^+} (\cos x - 1) = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$ है।
चूंकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $\sin(|x|) - |x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
अन्य विकल्पों के लिए,$\cos(|x|)$ तो $x=0$ पर अवकलनीय है लेकिन $|x|$ नहीं है,इसलिए उनका योग या अंतर $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसी प्रकार,$\sin(|x|) + |x|$ के लिए $LHD = -2$ और $RHD = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए यह अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया वक्र $f(x) = x^2 + bx - b$ है। चूँकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $1 = 1^2 + b(1) - b$,जो $1 = 1$ है,यह पुष्टि करता है कि बिंदु किसी भी $b$ के लिए वक्र पर है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x + b$.
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + b = 2 + b$ है।
$(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = (2 + b)(x - 1)$ है।
सरल करने पर,$y - 1 = (2 + b)x - (2 + b)$,जो $(2 + b)x - y = 1 + b$ देता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = \frac{1 + b}{2 + b}$ (बिंदु $A$) और $x = 0$ रखने पर $y = -(1 + b)$ (बिंदु $B$) प्राप्त होता है।
चूँकि त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,अंतःखंड धनात्मक होने चाहिए: $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ और $-(1 + b) > 0$.
इसका अर्थ है $1 + b < 0$ और $2 + b < 0$,अतः $b < -2$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{1 + b}{2 + b} \right| \times |-(1 + b)| = 2$ है।
चूँकि $b < -2$,$1 + b$ ऋणात्मक है और $2 + b$ ऋणात्मक है,इसलिए $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ और $-(1 + b) > 0$.
अतः,$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + b}{2 + b} \cdot (-(1 + b)) = 2$.
$-(1 + b)^2 = 4(2 + b) \Rightarrow -(1 + 2b + b^2) = 8 + 4b \Rightarrow b^2 + 6b + 9 = 0$.
$(b + 3)^2 = 0$,इसलिए $b = -3$. यह $b < -2$ को संतुष्ट करता है।