IIT JEE 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए ब्लॉक की प्रारंभिक गति $v$ है और ट्रैक की ऊंचाई $h$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ट्रैक के उच्चतम बिंदु पर ब्लॉक की गति $v'$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v')^2 + mgh$
$v' = \sqrt{v^2 - 2gh}$
चूंकि सभी ट्रैक के लिए $v$ और $h$ समान हैं,इसलिए उच्चतम बिंदु पर गति $v'$ भी सभी ट्रैक के लिए समान रहेगी।
उच्चतम बिंदु पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। ये आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करते हैं:
$N + mg = \frac{m(v')^2}{r}$
$N = \frac{m(v')^2}{r} - mg$
जहाँ $r$ उच्चतम बिंदु पर वक्रता की त्रिज्या है।
$N$ को अधिकतम होने के लिए,पद $\frac{m(v')^2}{r}$ को अधिकतम होना चाहिए। चूंकि $m$ और $v'$ स्थिर हैं,इसलिए $N$ तब अधिकतम होता है जब वक्रता की त्रिज्या $r$ न्यूनतम होती है।
चारों ट्रैक की तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिखाए गए ट्रैक की वक्रता त्रिज्या उसके उच्चतम बिंदु पर सबसे कम है। इसलिए,ट्रैक $A$ में अभिलंब प्रतिक्रिया अधिकतम है।

(C) पार्श्व द्रव्यमान $m$ के संतुलन में रहने के लिए,डोरियों में तनाव $T$ द्रव्यमान के भार के बराबर होना चाहिए: $T = mg$।
अब,केंद्रीय द्रव्यमान $\sqrt{2}m$ के संतुलन पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $\sqrt{2}mg$ और दो डोरियों से ऊपर की ओर तनाव $T$ के घटक हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2T \cos \theta = \sqrt{2}mg$।
समीकरण में $T = mg$ रखने पर:
$2(mg) \cos \theta = \sqrt{2}mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\theta = 45^\circ$।

(D) घिरनी पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. डोरी के क्षैतिज भाग में तनाव $T$,जहाँ $T = Mg$ है।
$2$. डोरी के ऊर्ध्वाधर भाग में तनाव $T$,जहाँ $T = Mg$ है।
$3$. घिरनी का भार $mg$,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$4$. क्लैम्प द्वारा घिरनी पर लगाया गया बल $F_{pc}$ है।
घिरनी के संतुलन में रहने के लिए,सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। घिरनी पर कार्य करने वाले बल क्षैतिज तनाव $T$ (बाईं ओर),ऊर्ध्वाधर तनाव $T$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
कुल क्षैतिज बल $F_x = T = Mg$ है।
कुल ऊर्ध्वाधर बल $F_y = T + mg = Mg + mg = (M + m)g$ है।
क्लैम्प द्वारा घिरनी पर लगाए गए बल का परिमाण इन दो लंबवत बलों का परिणामी है:
$F_{pc} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
$F_{pc} = \sqrt{(Mg)^2 + ((M + m)g)^2}$
$F_{pc} = \sqrt{M^2 + (M + m)^2} g$

(C) $t = 0$ पर दो-कण निकाय का प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$ है।
दो कणों के बीच टक्कर एक आंतरिक अंतःक्रिया है और यह निकाय के कुल संवेग को प्रभावित नहीं करती है।
निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण है,जो $\vec{F}_{ext} = (m_1 + m_2)g$ नीचे की ओर कार्य करता है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P}$ बाहरी बल के आवेग के बराबर होता है: $\Delta \vec{P} = \int_{0}^{2t_0} \vec{F}_{ext} dt$.
चूंकि बल स्थिर है,$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2)g \times (2t_0 - 0) = 2(m_1 + m_2)gt_0$.
अतः,संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|(m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2') - (m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2)| = 2(m_1 + m_2)gt_0$ है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R$ रखने पर,हमें $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
$R$ ऊँचाई पर आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g'} = 2\pi \sqrt{l/(g/4)} = 2 \times 2\pi \sqrt{l/g}$ होता है।
इसलिए,$T_2/T_1 = 2$।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(FLOT)$ के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = dQ - dW$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $dW = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया) और $dQ < 0$ (निकाय द्वारा ऊष्मा मुक्त की जाती है) दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dU = dQ - 0 = dQ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dQ < 0$ है,इसलिए $dU < 0$ होगा।
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U \propto T)$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में कमी $(dU < 0)$ का अर्थ है कि तापमान में कमी $(dT < 0)$ होगी।

(B) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें $B$ और $C$ छड़ $A$ के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए हम $B$ और $C$ के समानांतर संयोजन के समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध की गणना कर सकते हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
चूंकि छड़ें $B$ और $C$ समानांतर में हैं,उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$,जिसका अर्थ है $R_p = \frac{R}{2}$।
अब,यह प्रणाली दो प्रतिरोधों $R$ और $\frac{R}{2}$ के श्रेणी संयोजन के रूप में कार्य करती है।
जंक्शन से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ संरक्षित रहनी चाहिए।
इस प्रकार,$90^{\circ}C$ के सिरों से समानांतर संयोजन के माध्यम से बहने वाली ऊष्मा,$0^{\circ}C$ के सिरे की ओर छड़ $A$ के माध्यम से बहने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{90 - \theta}{R/2} = \frac{\theta - 0}{R}$
$2(90 - \theta) = \theta$
$180 - 2\theta = \theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(A) गति के समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ का उपयोग करते हुए।
$x = A/2$ के लिए,$\sin(\omega T_1) = 1/2$,जिसका अर्थ है $\omega T_1 = \pi/6$,इसलिए $T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$।
कण के $x = A$ तक पहुँचने के लिए कुल समय $T_1 + T_2$ है। अतः,$\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1$,जिसका अर्थ है $\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,इसलिए $T_1 + T_2 = \frac{\pi}{2\omega}$।
$T_1$ का मान रखने पर,$T_2 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - \pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$।
दोनों की तुलना करने पर,$T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$ और $T_2 = \frac{\pi}{3\omega}$,हमें प्राप्त होता है कि ${T_1} < {T_2}$।
वैकल्पिक रूप से,सरल आवर्त गति में,कण की चाल माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम और चरम स्थिति $(x = A)$ पर शून्य होती है। चूंकि कण माध्य स्थिति के पास तेजी से चलता है,इसलिए वह $0$ से $A/2$ तक की दूरी तय करने में $A/2$ से $A$ तक की दूरी तय करने की तुलना में कम समय लेता है।

(C) अप्रगामी तरंग की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$ है,जहाँ $m$ तार का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
पहले प्रयोग में,आवृत्ति $\omega_1 = \omega$ है और आयाम $A_1 = A$ है। अतः,$E_1 = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.
दूसरे प्रयोग में,आवृत्ति $\omega_2 = 2\omega$ है और आयाम $A_2 = A$ है। अतः,$E_2 = \frac{1}{4} m (2\omega)^2 A^2 = 4 \times (\frac{1}{4} m \omega^2 A^2) = 4E_1$.
इसलिए,दूसरे प्रयोग में ऊर्जा पहले प्रयोग की ऊर्जा की चार गुना है,अर्थात ${E_2} = 4{E_1}$.

(B) दो स्पंदों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 8 \ cm$ है।
प्रत्येक स्पंद $v = 2 \ cm/s$ की गति से एक-दूसरे की ओर बढ़ रहा है।
दोनों स्पंदों की सापेक्ष गति $v_{rel} = v + v = 2 + 2 = 4 \ cm/s$ है।
स्पंदों को मिलने में लगा समय $t = d / v_{rel} = 8 \ cm / 4 \ cm/s = 2 \ s$ है।
$2 \ s$ के बाद,दोनों स्पंद पूरी तरह से एक-दूसरे पर अध्यारोपित (overlap) हो जाते हैं।
चूंकि स्पंद विपरीत कलाओं में हैं (एक शृंग है और दूसरा समान परिमाण का गर्त है),उनका विस्थापन हर बिंदु पर एक-दूसरे को निरस्त कर देता है,जिससे डोरी क्षण भर के लिए सीधी हो जाती है।
चूंकि डोरी सीधी है,इसलिए कोई विरूपण नहीं है,और इस प्रकार स्थितिज ऊर्जा शून्य है।
हालाँकि,इस क्षण पर डोरी के कणों के पास अभी भी वेग है,इसलिए निकाय की कुल ऊर्जा पूर्णतः गतिज होती है।

(A) मान लीजिए कि पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_{total}$ है। चूंकि सेक्टर डिस्क का एक चौथाई हिस्सा है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \frac{M_{total}}{4}$ है,जिसका अर्थ है कि $M_{total} = 4M$ है।
$M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I_{total} = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ है।
सूत्र में $M_{total} = 4M$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{total} = \frac{1}{2}(4M)R^2 = 2MR^2$।
सममिति के सिद्धांत के अनुसार,उसी अक्ष के परितः इस चौथाई सेक्टर का जड़त्व आघूर्ण $(I_{sector})$ पूर्ण डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का एक चौथाई होता है:
$I_{sector} = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2MR^2}{4} = \frac{1}{2}MR^2$।

(A) मान लीजिए कीट का द्रव्यमान $m$ है। कीट पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर),और घर्षण बल $f$ (सतह के अनुदिश ऊपर की ओर) हैं।
ऊर्ध्वाधर के साथ किसी भी कोण $\alpha$ पर,भार के घटक $mg \cos \alpha$ (त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर) और $mg \sin \alpha$ (स्पर्शरेखीय रूप से नीचे की ओर) हैं।
कीट के बिना फिसले संतुलन में रहने के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए:
$R = mg \cos \alpha$ $(i)$
$f = mg \sin \alpha$ (ii)
घर्षण की सीमांत स्थिति के लिए,$f = \mu R$,जहाँ $\mu = 1/3$ है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को सीमांत घर्षण स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$
$\tan \alpha = \mu = 1/3$
अतः,$\cot \alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ की विमाएँ $L^2$ हैं और $d$ की विमाएँ $L$ हैं,इसलिए $\varepsilon_0 L$ की विमाएँ धारिता $C$ की विमाओं के बराबर होती हैं।
इस मान को $X$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$X = \frac{(\varepsilon_0 L) V}{t} = \frac{C V}{t}$.
चूँकि $Q = CV$,इसलिए $X = \frac{Q}{t}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष आवेश $Q$ के प्रवाह की दर को विद्युत धारा $I$ कहा जाता है।
अतः,$X$ की विमाएँ विद्युत धारा की विमाओं के समान हैं।

(B) विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ धनात्मक $x$-दिशा में है,इसलिए जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,विभव घटता जाता है।
बिंदु $A$,$x = 0$ पर है और बिंदु $B$,$x = +1 \, cm$ पर है। चूंकि $A$ का $x$-निर्देशांक $B$ से कम है,इसलिए $V_A > V_B$ होगा।
बिंदु $A$ और $C$ एक ही समविभव रेखा पर स्थित हैं (जो विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत है),इसलिए $V_A = V_C$ होगा।
अतः,सही संबंध $V_A > V_B$ और $V_A = V_C$ है।

(A) संधारित्र $A$ की प्लेटों पर मौजूद $\pm q$ आवेश उनके बीच के विद्युत क्षेत्र के कारण बद्ध आवेश (bound charges) हैं।
चूंकि संधारित्र $B$ शुरू में अनावेशित है और किसी बाहरी स्रोत से अलग है,इसलिए स्विच $S$ को बंद करने से $A$ की आंतरिक प्लेट $B$ की आंतरिक प्लेट से जुड़ जाती है।
हालाँकि,चूंकि $A$ की प्लेटों पर मौजूद आवेश उनके बीच के स्थिर विद्युत आकर्षण के कारण बंधे हुए हैं,इसलिए वे प्लेट $B$ पर नहीं जा सकते।
इसलिए,संधारित्र $B$ पर कोई आवेश प्रवाहित नहीं होगा और यह अनावेशित ही रहेगा।
अतः,$B$ पर आवेश शून्य है।

(C) धारा $I$ के प्रतिरोध $R_6$ से स्वतंत्र होने के लिए,$R_6$ के सिरों पर विभवांतर शून्य होना चाहिए,या $R_6$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होनी चाहिए।
यह तब होता है जब परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु बनाता है।
दिए गए परिपथ में,$R_1, R_2, R_3$ और $R_4$ एक व्हीटस्टोन सेतु की भुजाएं बनाते हैं और $R_6$ केंद्रीय गैल्वेनोमीटर भुजा के रूप में कार्य करता है।
संतुलित व्हीटस्टोन सेतु के लिए शर्त यह है कि विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,जो कि $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ है।
इसका वज्र-गुणन करने पर हमें $R_1 R_4 = R_2 R_3$ प्राप्त होता है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र $C$ वाली मध्य शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि दाएं जंक्शन पर विभव $0$ है और बाएं जंक्शन पर विभव $V_L$ है।
बाहरी लूप (ऊपरी और निचली शाखाओं) के लिए किरचॉफ के लूप नियम को लागू करने पर:
धारा $i$ ऊपरी शाखा (प्रतिरोध $R$) और निचली शाखा (प्रतिरोध $2R$) से होकर बहती है।
लूप समीकरण का उपयोग करते हुए: $V - iR - 2iR + 2V = 0$
$3V = 3iR$
$i = V / R$
अब,दाएं जंक्शन $(V_A)$ और बाएं जंक्शन $(V_L)$ पर विभव ज्ञात करें।
मान लीजिए कि दाएं जंक्शन पर विभव $0$ है।
तो बाएं जंक्शन पर विभव $V_L = V - iR = V - (V/R)R = 0$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$V_L = 2V - i(2R) = 2V - (V/R)(2R) = 0$।
अतः,दाएं जंक्शन पर विभव $0$ है और बाएं जंक्शन पर विभव $0$ है।
मध्य शाखा में विभवांतर संधारित्र $C$ और बैटरी $V$ के सिरों पर विभव है।
चूंकि मध्य शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए संधारित्र $V_C$ पर विभवांतर को उस शाखा में बैटरी $V$ को संतुलित करना चाहिए।
इस प्रकार,$V_C = V$.

(B) माना पहले तार का प्रतिरोध $R$ और द्रव्यमान $m$ है। दूसरे तार की लंबाई $2L$ है,इसलिए इसका प्रतिरोध $2R$ और द्रव्यमान $2m$ होगा।
माना प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $S$ है।
पहले तार के लिए,धारा $i_1 = \frac{3E}{R}$ है। उत्पन्न ऊष्मा $H_1 = i_1^2 R t = m S \Delta T$ है।
$i_1$ का मान रखने पर,$(\frac{3E}{R})^2 R t = m S \Delta T \implies \frac{9E^2 t}{R} = m S \Delta T$.
दूसरे तार के लिए,धारा $i_2 = \frac{NE}{2R}$ है। उत्पन्न ऊष्मा $H_2 = i_2^2 (2R) t = (2m) S \Delta T$ है।
$i_2$ का मान रखने पर,$(\frac{NE}{2R})^2 (2R) t = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{4R^2} \cdot 2R = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{2R} = 2m S \Delta T$.
दोनों ऊष्मा समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{9E^2 t / R}{N^2 E^2 t / 2R} = \frac{m S \Delta T}{2m S \Delta T} \implies \frac{18}{N^2} = \frac{1}{2} \implies N^2 = 36 \implies N = 6$.

(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
चूंकि दोनों कणों के लिए आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए $r \propto mv$ होगा।
चित्र से यह स्पष्ट है कि कण $A$ के प्रक्षेप पथ की त्रिज्या,कण $B$ के प्रक्षेप पथ की त्रिज्या से अधिक है,अर्थात $r_A > r_B$ है।
इसलिए,$m_A v_A > m_B v_B$।

(C) प्रति इकाई चौड़ाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{b - a}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाली एक सूक्ष्म वलय (ring) पर विचार करें।
इस वलय में फेरों की संख्या $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b - a} dx$ है।
इस सूक्ष्म वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 (dN) I}{2x}$ है।
$dN$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $dB = \frac{\mu_0 I}{2x} \cdot \frac{N}{b - a} dx = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \cdot \frac{dx}{x}$।
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = a$ से $x = b$ तक $dB$ का समाकलन (integration) करते हैं:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \int_a^b \frac{dx}{x}$।
$B = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} [\ln x]_a^b = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \ln \frac{b}{a}$।

(D) बिंदु $P(a, 0, a)$ पर पूरे लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र की गणना लूप को दो समतलीय लूपों के संयोजन के रूप में मानकर की जा सकती है: $ABCDA$ ($xz$-तल में) और $AFEBA$ ($xy$-तल में)।
$1$. दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$ABCDA$ लूप द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में (अर्थात $\hat{i}$ दिशा में) होता है।
$2$. दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$AFEBA$ लूप द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में (अर्थात $\hat{k}$ दिशा में) होता है।
$3$. बिंदु $P$ के सापेक्ष दोनों लूपों की ज्यामिति समान होने के कारण,दोनों लूपों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होंगे।
$4$. मान लीजिए कि प्रत्येक लूप से चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0$ है। $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B_0\hat{i} + B_0\hat{k}$ होगा।
$5$. परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{B_0\hat{i} + B_0\hat{k}}{\sqrt{B_0^2 + B_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{k})$ द्वारा दी जाती है।

(A) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ उनके बीच चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज पर निर्भर करता है। फ्लक्स लिंकेज तब अधिकतम होता है जब एक कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दूसरी कुंडली के क्षेत्रफल से सबसे प्रभावी ढंग से गुजरती हैं।
स्थिति $(A)$ में,दोनों कुंडलियों के तल एक-दूसरे के समानांतर हैं। यह अभिविन्यास बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की अधिकतम संख्या को छोटी कुंडली से गुजरने की अनुमति देता है,जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज होता है।
स्थिति $(B)$ में,छोटी कुंडली का तल बड़ी कुंडली के तल के लंबवत है। इस मामले में,बड़ी कुंडली से आने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं छोटी कुंडली के तल के समानांतर होती हैं,जिससे फ्लक्स लिंकेज न्यूनतम हो जाता है।
स्थिति $(C)$ में,कुंडलियों को एक-दूसरे के बगल में इस तरह रखा गया है कि उनके तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिससे भी बहुत कम फ्लक्स लिंकेज होता है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व स्थिति $(A)$ में अधिकतम है।

(D) जब कोई चालक चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो उसके सिरों पर एक गतिक विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है,जो $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
यह गतिक emf चालक के भीतर एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$ से जुड़ा होता है।
दिए गए चित्र में,वर्गाकार लूप $ABCD$ लूप के तल के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहा है।
भुजा $AD$ के लिए,वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $AD$ के अनुदिश एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित होता है।
इसी प्रकार,भुजा $BC$ के लिए,वेग $\vec{v}$ भी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $BC$ के अनुदिश भी एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित होता है।
चूंकि $AD$ और $BC$ दोनों भुजाएं चुंबकीय क्षेत्र से होकर गुजर रही हैं,इसलिए दोनों चालकों में विद्युत क्षेत्र प्रेरित होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) अभिलक्षणिक $X$-किरण रेखा,जैसे कि ${K_\alpha }$ रेखा $({\lambda _k})$,की तरंगदैर्ध्य केवल लक्ष्य (target) के पदार्थ पर निर्भर करती है और त्वरक वोल्टेज $(V)$ से स्वतंत्र होती है।
सतत $X$-किरण स्पेक्ट्रम की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $({\lambda _c})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: ${\lambda _c} = \frac{hc}{eV}$।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ${\lambda _c}$ त्वरक वोल्टेज $(V)$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
जैसे-जैसे त्वरक वोल्टेज $(V)$ बढ़ाया जाता है,${\lambda _c}$ घटता है,जबकि ${\lambda _k}$ स्थिर रहता है।
इसलिए,अंतर $({\lambda _K} - {\lambda _C})$ बढ़ जाएगा।

(C) $\beta$-क्षय के दौरान,नाभिक के भीतर एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है। इस प्रक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जाता है: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$। चूंकि इलेक्ट्रॉन इस रूपांतरण प्रक्रिया के दौरान नाभिक के भीतर ही उत्पन्न होता है,इसलिए यह बीटा विकिरण के रूप में उत्सर्जित होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रजाति के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। समय $t$ पर पहली प्रजाति के रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-t/\tau}$ है।
समय $t$ पर दूसरी प्रजाति के रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-t/(5\tau)}$ है।
रेडियोधर्मी नाभिकों की कुल संख्या $N(t) = N_1(t) + N_2(t) = N_0(e^{-t/\tau} + e^{-t/(5\tau)})$ है।
$t = 0$ पर,$N(0) = 2N_0$ है। जैसे-जैसे $t \to \infty$,$N(t) \to 0$ होता है।
चूंकि $e^{-t/\tau}$ और $e^{-t/(5\tau)}$ दोनों समय के साथ घटते हुए फलन हैं,इसलिए उनका योग $N(t)$ भी समय के साथ निरंतर घटता हुआ फलन होना चाहिए।
अतः,रेडियोधर्मी नाभिकों की कुल संख्या समय के साथ निरंतर घटती जाएगी,जिसे विकल्प $(d)$ में दिए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) कई समानांतर अंतरापृष्ठों के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि पहले माध्यम में आपतन कोण $\theta_1$ है और चौथे माध्यम में अपवर्तन कोण $\theta_4$ है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
चूंकि निर्गत किरण $CD$,आपतित किरण $AB$ के समानांतर है,इसलिए आपतन कोण $\theta_1$ का मान निर्गत कोण $\theta_4$ के बराबर होना चाहिए (अर्थात $\theta_1 = \theta_4$)।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
अतः,$\mu_1 = \mu_4$।

(B) प्रिज्म $Q$ और $R$ समान पदार्थ के हैं और उनका आकार प्रिज्म $P$ के समान है।
जब इन प्रिज्मों को चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जाता है,तो प्रिज्म $Q$ और $R$ का संयोजन प्रभावी रूप से समानांतर फलकों वाले कांच के स्लैब के रूप में कार्य करता है।
समानांतर फलकों वाले कांच के स्लैब से गुजरने वाली प्रकाश की किरण पार्श्व विस्थापन का अनुभव करती है लेकिन इसमें कोई शुद्ध कोणीय विचलन नहीं होता है।
इसलिए,प्रकाश किरण द्वारा अनुभव किया गया कुल विचलन केवल प्रिज्म $P$ द्वारा उत्पन्न विचलन के समान रहता है,जो कि न्यूनतम विचलन है।

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलान्तर वाली दो व्यतिकरण करने वाली किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलान्तर $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 0 = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलान्तर $\phi_B = \pi$ है।
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
अतः $A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $|I_A - I_B| = |5I - I| = 4I$ है।

(B) स्क्रीन पर खंड की चौड़ाई $W = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ फ्रिंजों की संख्या है और $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
चूँकि $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,इसलिए खंड की चौड़ाई $W = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
एक निश्चित खंड $W$ के लिए,$n \lambda$ का गुणनफल स्थिर रहता है क्योंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं।
इसलिए,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$।
मान रखने पर: $12 \times 600 = n_2 \times 400$।
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400} = 12 \times 1.5 = 18$।
अतः,$18$ फ्रिंज देखे जाएंगे।

(D) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी विकिरण उच्च ऊर्जा संक्रमणों (लाइमैन श्रेणी) के अनुरूप है,जबकि अवरक्त विकिरण कम ऊर्जा संक्रमणों (पाशन,ब्रैकेट,या फंड श्रेणी) के अनुरूप है।
यह दिया गया है कि इस परमाणु के लिए $n=4 \rightarrow n=3$ संक्रमण से पराबैंगनी विकिरण प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा अंतराल $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ काफी बड़ा है।
अवरक्त विकिरण प्राप्त करने के लिए,हमें $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ की तुलना में बहुत कम ऊर्जा अंतराल वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: यह निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: यह भी निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: इसमें क्वांटम संख्याओं में बड़ा अंतर है,जिसके परिणामस्वरूप बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: यह संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों के बीच होता है जहाँ क्रमिक स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर बहुत कम होता है। अतः,$5 \rightarrow 4$ में सबसे कम ऊर्जा अंतराल होगा और यह अवरक्त विकिरण उत्पन्न करेगा।

(C) एक धनात्मक आवेश के कारण विद्युत बल रेखाएं त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं और गोलाकार रूप से सममित होती हैं। चूंकि तीनों आवेश धनात्मक और परिमाण में समान हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाते हैं। परिणामस्वरूप,विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक आवेश से उत्पन्न होती हैं और एक-दूसरे से दूर जाती हैं। आवेशों के बीच के क्षेत्र में कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखा प्रवेश नहीं कर सकती क्योंकि तीनों आवेशों के क्षेत्र एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,जिससे त्रिभुज के केंद्रक पर एक उदासीन बिंदु बनता है। विद्युत क्षेत्र रेखाओं का परिणामी पैटर्न दिए गए समाधान चित्र में दिखाया गया है।