IIT JEE 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે બ્લોકની પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે અને ટ્રેકની ઊંચાઈ $h$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટ્રેકના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર બ્લોકની ઝડપ $v'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v')^2 + mgh$
$v' = \sqrt{v^2 - 2gh}$
તમામ ટ્રેક માટે $v$ અને $h$ સમાન હોવાથી,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર ઝડપ $v'$ પણ તમામ ટ્રેક માટે સમાન રહેશે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર,બ્લોક પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (નીચેની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે. આ બળો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$N + mg = \frac{m(v')^2}{r}$
$N = \frac{m(v')^2}{r} - mg$
જ્યાં $r$ એ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
$N$ મહત્તમ હોવા માટે,પદ $\frac{m(v')^2}{r}$ મહત્તમ હોવું જોઈએ. $m$ અને $v'$ અચળ હોવાથી,જ્યારે વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે $N$ મહત્તમ થાય છે.
ચાર ટ્રેકની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ ટ્રેકની વક્રતા ત્રિજ્યા તેના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર સૌથી ઓછી છે. તેથી,ટ્રેક $A$ માં લંબ પ્રતિક્રિયા મહત્તમ હશે.

(C) બાજુના દળ $m$ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ એ દળના વજનબળ જેટલું હોવું જોઈએ: $T = mg$.
હવે,મધ્યના દળ $\sqrt{2}m$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\sqrt{2}mg$ અને બે દોરીઓ દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતા તણાવબળ $T$ ના ઘટકો છે.
તણાવબળ $T$ ને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,આપણને મળે છે: $2T \cos \theta = \sqrt{2}mg$.
સમીકરણમાં $T = mg$ મૂકતા:
$2(mg) \cos \theta = \sqrt{2}mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = 45^\circ$.

(D) ગરગડી પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીના આડા ભાગમાં તણાવ $T$,જ્યાં $T = Mg$.
$2$. દોરીના ઉભા ભાગમાં તણાવ $T$,જ્યાં $T = Mg$.
$3$. ગરગડીનું વજન $mg$,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$4$. ક્લેમ્પ દ્વારા ગરગડી પર લાગતું બળ $F_{pc}$.
ગરગડી સંતુલનમાં રહે તે માટે,બધા બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. ગરગડી પર લાગતા બળો આડા તણાવ $T$ (ડાબી તરફ),ઉભા તણાવ $T$ (નીચેની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
કુલ આડું બળ $F_x = T = Mg$.
કુલ ઉભું બળ $F_y = T + mg = Mg + mg = (M + m)g$.
ક્લેમ્પ દ્વારા ગરગડી પર લાગતા બળનું મૂલ્ય આ બે લંબ બળોનું પરિણામી બળ છે:
$F_{pc} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
$F_{pc} = \sqrt{(Mg)^2 + ((M + m)g)^2}$
$F_{pc} = \sqrt{M^2 + (M + m)^2} g$

(C) $t = 0$ સમયે બે કણોની સિસ્ટમનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$ છે.
બે કણો વચ્ચેની અથડામણ એ આંતરિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે અને તે સિસ્ટમના કુલ વેગમાનને અસર કરતી નથી.
સિસ્ટમ પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે $\vec{F}_{ext} = (m_1 + m_2)g$ નીચેની તરફ લાગે છે.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P}$ એ બાહ્ય બળના આઘાત જેટલો હોય છે: $\Delta \vec{P} = \int_{0}^{2t_0} \vec{F}_{ext} dt$.
બળ અચળ હોવાથી,$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2)g \times (2t_0 - 0) = 2(m_1 + m_2)gt_0$.
તેથી,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|(m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2') - (m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2)| = 2(m_1 + m_2)gt_0$ થાય છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે. તેથી,$T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$h = R$ મૂકતા,આપણને $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ મળે છે.
$R$ ઊંચાઈ પર આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g'} = 2\pi \sqrt{l/(g/4)} = 2 \times 2\pi \sqrt{l/g}$ થાય છે.
તેથી,$T_2/T_1 = 2$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = dQ - dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $dW = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા) અને $dQ < 0$ (તંત્ર દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત થાય છે) આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $dU = dQ - 0 = dQ$ મળે છે.
જેથી $dQ < 0$ હોવાથી,$dU < 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U \propto T)$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો $(dU < 0)$ એ તાપમાનમાં ઘટાડો $(dT < 0)$ સૂચવે છે.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા $B$ અને $C$ એ સળિયા $A$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,આપણે $B$ અને $C$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ ગણી શકીએ છીએ.
ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
સળિયા $B$ અને $C$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ એ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_p = \frac{R}{2}$.
હવે,આ તંત્ર બે અવરોધો $R$ અને $\frac{R}{2}$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે વર્તે છે.
જંકશનમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સંરક્ષિત રહેવો જોઈએ.
આમ,$90^{\circ}C$ ના છેડાઓમાંથી સમાંતર જોડાણ દ્વારા વહેતી ઉષ્મા એ $0^{\circ}C$ ના છેડા તરફ સળિયા $A$ માંથી વહેતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{90 - \theta}{R/2} = \frac{\theta - 0}{R}$
$2(90 - \theta) = \theta$
$180 - 2\theta = \theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(A) ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x = A/2$ માટે,$\sin(\omega T_1) = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $\omega T_1 = \pi/6$,તેથી $T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$.
કણ $x = A$ સુધી પહોંચે તે માટેનો કુલ સમય $T_1 + T_2$ છે. તેથી,$\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,તેથી $T_1 + T_2 = \frac{\pi}{2\omega}$.
$T_1$ ની કિંમત મૂકતા,$T_2 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - \pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$ અને $T_2 = \frac{\pi}{3\omega}$,આપણને મળે છે કે ${T_1} < {T_2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સરળ આવર્ત ગતિમાં,કણની ઝડપ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર મહત્તમ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ પર શૂન્ય હોય છે. કણ મધ્યમાન સ્થાનની નજીક ઝડપથી ગતિ કરતો હોવાથી,તે $0$ થી $A/2$ સુધીનું અંતર કાપવા માટે $A/2$ થી $A$ સુધીના અંતર કરતા ઓછો સમય લે છે.

(C) સ્થિત તરંગની કુલ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $m$ એ તારનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
પ્રથમ પ્રયોગમાં,આવૃત્તિ $\omega_1 = \omega$ છે અને કંપવિસ્તાર $A_1 = A$ છે. તેથી,$E_1 = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.
બીજા પ્રયોગમાં,આવૃત્તિ $\omega_2 = 2\omega$ છે અને કંપવિસ્તાર $A_2 = A$ છે. તેથી,$E_2 = \frac{1}{4} m (2\omega)^2 A^2 = 4 \times (\frac{1}{4} m \omega^2 A^2) = 4E_1$.
આમ,બીજા પ્રયોગમાં ઊર્જા એ પ્રથમ પ્રયોગની ઊર્જા કરતા ચાર ગણી છે,એટલે કે ${E_2} = 4{E_1}$.

(B) બે પલ્સના કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 8 \ cm$ છે.
દરેક પલ્સ $v = 2 \ cm/s$ ની ઝડપથી એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.
બે પલ્સની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v + v = 2 + 2 = 4 \ cm/s$ છે.
પલ્સને મળવા માટે લાગતો સમય $t = d / v_{rel} = 8 \ cm / 4 \ cm/s = 2 \ s$ છે.
$2 \ s$ પછી,બંને પલ્સ સંપૂર્ણપણે એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે.
પલ્સ વિરુદ્ધ કળામાં હોવાથી (એક શૃંગ છે અને બીજું સમાન મૂલ્યનું ગર્ત છે),તેમનું સ્થાનાંતર દરેક બિંદુએ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેનાથી દોરી ક્ષણિક રીતે સીધી થઈ જાય છે.
દોરી સીધી હોવાથી,તેમાં કોઈ વિકૃતિ નથી,અને તેથી સ્થિતિજ ઉર્જા શૂન્ય છે.
જોકે,આ ક્ષણે દોરીના કણો પાસે હજુ પણ વેગ હોય છે,તેથી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિજ હોય છે.

(A) ધારો કે સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_{total}$ છે. કારણ કે આ ભાગ તકતીનો ચોથો ભાગ છે,તેથી તેનું દળ $M = \frac{M_{total}}{4}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_{total} = 4M$.
$M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I_{total} = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ છે.
સૂત્રમાં $M_{total} = 4M$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_{total} = \frac{1}{2}(4M)R^2 = 2MR^2$.
સંમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,આ ચતુર્થાંશ ભાગની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_{sector})$ એ સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાના ચોથા ભાગની હોય છે:
$I_{sector} = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2MR^2}{4} = \frac{1}{2}MR^2$.

(A) ધારો કે જીવજંતુનું દળ $m$ છે. જીવજંતુ પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f$ (સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ) છે.
શિરોલંબ સાથે કોઈપણ ખૂણે $\alpha$,વજનના ઘટકો $mg \cos \alpha$ (ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ) અને $mg \sin \alpha$ (સ્પર્શકની દિશામાં નીચેની તરફ) છે.
જીવજંતુ લપસ્યા વિના સંતુલનમાં રહે તે માટે,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$R = mg \cos \alpha$ $(i)$
$f = mg \sin \alpha$ (ii)
ઘર્ષણની સીમાંત સ્થિતિ માટે,$f = \mu R$,જ્યાં $\mu = 1/3$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સીમાંત ઘર્ષણની સ્થિતિમાં મૂકતા:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$
$\tan \alpha = \mu = 1/3$
તેથી,$\cot \alpha = 3$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A$ ના પરિમાણો $L^2$ છે અને $d$ ના પરિમાણો $L$ છે,તેથી $\varepsilon_0 L$ ના પરિમાણો કેપેસિટન્સ $C$ ના પરિમાણોને સમાન થાય છે.
આ કિંમત $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = \frac{(\varepsilon_0 L) V}{t} = \frac{C V}{t}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = CV$,તેથી $X = \frac{Q}{t}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભાર $Q$ ના વહેવાના દરને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$X$ ના પરિમાણો વિદ્યુતપ્રવાહના પરિમાણો સમાન છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ધન $x$-દિશામાં હોવાથી,જેમ $x$ વધે તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે.
બિંદુ $A$ એ $x = 0$ પર છે અને બિંદુ $B$ એ $x = +1 \, cm$ પર છે. $A$ નો $x$-યામ $B$ કરતા ઓછો હોવાથી,$V_A > V_B$ થાય.
બિંદુઓ $A$ અને $C$ એક જ સમસ્થિતિમાન રેખા પર આવેલા છે (જે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને લંબ છે),તેથી $V_A = V_C$ થાય.
આમ,સાચો સંબંધ $V_A > V_B$ અને $V_A = V_C$ છે.

(A) કેપેસિટર $A$ ની પ્લેટો પરના $\pm q$ વિદ્યુતભારો તેમની વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે બંધાયેલા વિદ્યુતભારો છે.
કેપેસિટર $B$ શરૂઆતમાં વિદ્યુતભાર રહિત છે અને કોઈપણ બાહ્ય સ્ત્રોતથી અલગ હોવાથી,સ્વીચ $S$ બંધ કરવાથી $A$ ની અંદરની પ્લેટ $B$ ની અંદરની પ્લેટ સાથે જોડાય છે.
જો કે,$A$ ની પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો તેમની વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુત આકર્ષણને કારણે બંધાયેલા હોવાથી,તેઓ પ્લેટ $B$ પર જઈ શકતા નથી.
તેથી,કેપેસિટર $B$ પર કોઈ વિદ્યુતભાર વહેશે નહીં અને તે વિદ્યુતભાર રહિત રહેશે.
આમ,$B$ પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $R_6$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$R_6$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ,અથવા $R_6$ માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવો જોઈએ નહીં.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સર્કિટ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
આપેલ સર્કિટમાં,$R_1, R_2, R_3$ અને $R_4$ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની ભુજાઓ બનાવે છે અને $R_6$ એ મધ્યવર્તી ગેલ્વેનોમીટર ભુજા તરીકે કાર્ય કરે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત એ છે કે સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
આનો ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા આપણને $R_1 R_4 = R_2 R_3$ મળે છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર $C$ ધરાવતી વચ્ચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે અને ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_L$ છે.
બાહ્ય લૂપ (ઉપરની અને નીચેની શાખાઓ) માટે કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ કરતા:
પ્રવાહ $i$ ઉપરની શાખા (અવરોધ $R$) અને નીચેની શાખા (અવરોધ $2R$) માંથી વહે છે.
લૂપ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $V - iR - 2iR + 2V = 0$
$3V = 3iR$
$i = V / R$
હવે,જમણા જંકશન $(V_A)$ અને ડાબા જંકશન $(V_L)$ પરનો પોટેન્શિયલ શોધો.
ધારો કે જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે.
તો ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_L = V - iR = V - (V/R)R = 0$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$V_L = 2V - i(2R) = 2V - (V/R)(2R) = 0$.
તેથી,જમણા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે અને ડાબા જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $0$ છે.
વચ્ચેની શાખામાં પોટેન્શિયલ તફાવત એ કેપેસિટર $C$ અને બેટરી $V$ પરનો પોટેન્શિયલ છે.
વચ્ચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,કેપેસિટર $V_C$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તે શાખામાં રહેલી બેટરી $V$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
આમ,$V_C = V$.

(B) ધારો કે પ્રથમ તારનો અવરોધ $R$ અને દળ $m$ છે. બીજા તારની લંબાઈ $2L$ હોવાથી,તેનો અવરોધ $2R$ અને દળ $2m$ થશે.
ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને દ્રવ્યની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $S$ છે.
પ્રથમ તાર માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = \frac{3E}{R}$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = i_1^2 R t = m S \Delta T$ છે.
$i_1$ ની કિંમત મૂકતા,$(\frac{3E}{R})^2 R t = m S \Delta T \implies \frac{9E^2 t}{R} = m S \Delta T$.
બીજા તાર માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 = \frac{NE}{2R}$ છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2 = i_2^2 (2R) t = (2m) S \Delta T$ છે.
$i_2$ ની કિંમત મૂકતા,$(\frac{NE}{2R})^2 (2R) t = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{4R^2} \cdot 2R = 2m S \Delta T \implies \frac{N^2 E^2 t}{2R} = 2m S \Delta T$.
બંને ઉષ્માના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{9E^2 t / R}{N^2 E^2 t / 2R} = \frac{m S \Delta T}{2m S \Delta T} \implies \frac{18}{N^2} = \frac{1}{2} \implies N^2 = 36 \implies N = 6$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં બંને કણો માટે વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,$r \propto mv$ થાય.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કણ $A$ ના ગતિપથની ત્રિજ્યા,કણ $B$ ના ગતિપથની ત્રિજ્યા કરતા મોટી છે,એટલે કે $r_A > r_B$.
તેથી,$m_A v_A > m_B v_B$.

(C) એકમ પહોળાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{b - a}$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક સૂક્ષ્મ રીંગનો વિચાર કરો.
આ રીંગમાં આંટાની સંખ્યા $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b - a} dx$ છે.
આ સૂક્ષ્મ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 (dN) I}{2x}$ છે.
$dN$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $dB = \frac{\mu_0 I}{2x} \cdot \frac{N}{b - a} dx = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \cdot \frac{dx}{x}$.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે,આપણે $x = a$ થી $x = b$ સુધી $dB$ નું સંકલન કરીશું:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \int_a^b \frac{dx}{x}$.
$B = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} [\ln x]_a^b = \frac{\mu_0 NI}{2(b - a)} \ln \frac{b}{a}$.

(D) બિંદુ $P(a, 0, a)$ પર સમગ્ર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,લૂપને બે સમતલીય લૂપના સંયોજન તરીકે ગણીને શોધી શકાય છે: $ABCDA$ ($xz$-સમતલમાં) અને $AFEBA$ ($xy$-સમતલમાં).
$1$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$ABCDA$ લૂપ દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં (એટલે કે $\hat{i}$ દિશામાં) હોય છે.
$2$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$AFEBA$ લૂપ દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $z$-અક્ષની દિશામાં (એટલે કે $\hat{k}$ દિશામાં) હોય છે.
$3$. બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષમાં બંને લૂપની ભૂમિતિ સમાન હોવાથી,બંને લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હશે.
$4$. ધારો કે દરેક લૂપના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0$ છે. તેથી $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B_0\hat{i} + B_0\hat{k}$ થશે.
$5$. પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{B_0\hat{i} + B_0\hat{k}}{\sqrt{B_0^2 + B_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ તેમની વચ્ચેના ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ પર આધાર રાખે છે. જ્યારે એક ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બીજા ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળમાંથી સૌથી વધુ અસરકારક રીતે પસાર થાય ત્યારે ફ્લક્સ લિંકેજ મહત્તમ હોય છે.
પરિસ્થિતિ $(A)$ માં,બંને ગૂંચળાઓના સમતલ એકબીજાને સમાંતર છે. આ ગોઠવણી મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થવા માટે મહત્તમ તક આપે છે,જેના પરિણામે સૌથી વધુ ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ મળે છે.
પરિસ્થિતિ $(B)$ માં,નાના ગૂંચળાનું સમતલ મોટા ગૂંચળાના સમતલને લંબ છે. આ કિસ્સામાં,મોટા ગૂંચળામાંથી આવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ નાના ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોય છે,જેનાથી ફ્લક્સ લિંકેજ ન્યૂનતમ થાય છે.
પરિસ્થિતિ $(C)$ માં,ગૂંચળાઓને એકબીજાની બાજુમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે તેમના સમતલ એકબીજાને લંબ છે,જે પણ ખૂબ જ ઓછું ફ્લક્સ લિંકેજ આપે છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ પરિસ્થિતિ $(A)$ માં મહત્તમ છે.

(D) જ્યારે કોઈ વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના છેડાઓ વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) પ્રેરિત થાય છે,જે $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગતિકીય emf વાહકની અંદર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$ સાથે સંકળાયેલું છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચોરસ લૂપ $ABCD$ એ લૂપના સમતલને લંબ એવા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરી રહી છે.
બાજુ $AD$ માટે,વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $AD$ ની સાથે વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
તે જ રીતે,બાજુ $BC$ માટે,વેગ $\vec{v}$ પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $BC$ ની સાથે પણ વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
આમ,$AD$ અને $BC$ બંને બાજુઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહી હોવાથી,બંને વાહકોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) લાક્ષણિક $X$-રેખા,જેમ કે ${K_\alpha }$ રેખા $({\lambda _k})$,ની તરંગલંબાઈ માત્ર ટાર્ગેટના દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે અને તે પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ થી સ્વતંત્ર છે.
સતત $X$-કિરણ વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $({\lambda _c})$ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${\lambda _c} = \frac{hc}{eV}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ${\lambda _c}$ એ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જેમ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ વધારવામાં આવે છે,તેમ ${\lambda _c}$ ઘટે છે,જ્યારે ${\lambda _k}$ અચળ રહે છે.
તેથી,તફાવત $({\lambda _K} - {\lambda _C})$ વધશે.

(C) $\beta$-ક્ષય દરમિયાન,કેન્દ્રની અંદર રહેલો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$. કારણ કે આ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રની અંદર ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી તે બીટા કિરણોત્સર્ગ તરીકે ઉત્સર્જિત થાય છે.

(D) ધારો કે દરેક જાતિના પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે. સમય $t$ પર પ્રથમ જાતિના રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-t/\tau}$ છે.
સમય $t$ પર બીજી જાતિના રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-t/(5\tau)}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા $N(t) = N_1(t) + N_2(t) = N_0(e^{-t/\tau} + e^{-t/(5\tau)})$ છે.
$t = 0$ સમયે,$N(0) = 2N_0$ છે. જેમ $t \to \infty$,તેમ $N(t) \to 0$ થાય છે.
કારણ કે $e^{-t/\tau}$ અને $e^{-t/(5\tau)}$ બંને સમયના ઘટતા વિધેયો છે,તેથી તેમનો સરવાળો $N(t)$ પણ સમય સાથે સતત ઘટતું વિધેય હોવું જોઈએ.
તેથી,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા સમય સાથે સતત ઘટતી જશે,જે વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) બહુવિધ સમાંતર આંતરપૃષ્ઠો માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈન (sine) નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ $\theta_1$ છે અને ચોથા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $\theta_4$ છે.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
કારણ કે નિર્ગમન કિરણ $CD$ એ આપાત કિરણ $AB$ ને સમાંતર છે,તેથી આપાતકોણ $\theta_1$ એ નિર્ગમન કોણ $\theta_4$ જેટલો જ હોવો જોઈએ (એટલે કે $\theta_1 = \theta_4$).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
તેથી,$\mu_1 = \mu_4$.

(B) પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે અને તેમનો આકાર પ્રિઝમ $P$ જેવો જ છે.
જ્યારે આ પ્રિઝમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ નું સંયોજન અસરકારક રીતે સમાંતર સપાટીઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સમાંતર સપાટીઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ પાર્શ્વ સ્થાનાંતર અનુભવે છે પરંતુ તેમાં કોઈ ચોખ્ખું કોણીય વિચલન થતું નથી.
તેથી,પ્રકાશના કિરણ દ્વારા અનુભવાતું કુલ વિચલન એ માત્ર પ્રિઝમ $P$ દ્વારા થતા વિચલન જેટલું જ રહે છે,જે લઘુત્તમ વિચલન છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 0 = 5I$.
બિંદુ $B$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$ છે.
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
તેથી $A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $|I_A - I_B| = |5I - I| = 4I$ થાય.

(B) પડદા પરના ભાગની પહોળાઈ $W = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાઓની સંખ્યા છે અને $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
કારણ કે $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,તેથી ભાગની પહોળાઈ $W = n \frac{\lambda D}{d}$ થાય.
નિશ્ચિત ભાગ $W$ માટે,$n \lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે કારણ કે $D$ અને $d$ અચળ છે.
તેથી,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $12 \times 600 = n_2 \times 400$.
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400} = 12 \times 1.5 = 18$.
આમ,$18$ શલાકાઓ જોવા મળશે.

(D) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ ઉચ્ચ ઉર્જાના સંક્રમણો (લાયમન શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે,જ્યારે ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણો (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અથવા ફંડ શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે આ પરમાણુ માટે $n=4 \rightarrow n=3$ સંક્રમણ અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ આપે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા તફાવત $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ ઘણો મોટો છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ મેળવવા માટે,આપણે $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ કરતા ઘણો ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવતું સંક્રમણ જોઈએ.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: આ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: આ પણ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: આમાં ક્વોન્ટમ નંબર્સમાં મોટો તફાવત છે,જે મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: આ સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે થાય છે જ્યાં ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘણો ઓછો હોય છે. તેથી,$5 \rightarrow 4$ સૌથી ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવશે અને ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ આપશે.

(C) ધન વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતી વિદ્યુત બળરેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે અને તે ગોલીય સંમિત હોય છે. ત્રણેય વિદ્યુતભારો ધન અને સમાન મૂલ્યના હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે. પરિણામે,વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ દરેક વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે. વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ પ્રવેશી શકતી નથી કારણ કે ત્રણેય વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્રો એકબીજાને અપાકર્ષે છે,જેનાથી ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર એક તટસ્થ બિંદુ રચાય છે. પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓની ભાત આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની હોય છે.