IIT JEE 1996 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ से गुणा करने पर:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3)$ $\Rightarrow 2 = A(-1)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 2A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = 2$ के लिए: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3)$ $\Rightarrow 3 = B(1)(-1)$ $\Rightarrow 3 = -B$ $\Rightarrow B = -3$.
$x = 3$ के लिए: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2)$ $\Rightarrow 4 = C(2)(1)$ $\Rightarrow 4 = 2C$ $\Rightarrow C = 2$.
अतः,आंशिक भिन्न अपघटन $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।
चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$।
माना $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$ है।
ध्रुवीय रूप $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ का उपयोग करने पर:
$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$।
चूँकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए ऐसे दो पदों का योग भी हमेशा वास्तविक होता है।
अतः, यह व्यंजक सभी धनात्मक पूर्णांकों $n_1$ और $n_2$ के लिए एक वास्तविक संख्या है।

(B) दी गई श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = r[(r + 1) - \omega][(r + 1) - \omega^2]$ है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है।
$T_r = r[(r + 1)^2 - (\omega + \omega^2)(r + 1) + \omega^3] = r[(r + 1)^2 + (r + 1) + 1] = r(r^2 + 3r + 3) = r^3 + 3r^2 + 3r$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$ है।
$S = [\frac{(n-1)n}{2}]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$ है।
सरल करने पर,$S = \frac{1}{4}(n-1)n(n^2 + 3n + 4)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.
चूँकि $n$ एक विषम संख्या है,अंतिम पद ${1^3}$ है।
हम $S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{(n-1)/2} (2k)^3$ लिख सकते हैं।
सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2$ का उपयोग करने पर:
$S = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 16 \left[ \frac{\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} + 1)}{2} \right]^2$
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(D) कथन $P(n)$ यह है कि $n^2 + n$ विषम है।
हम $n^2 + n = n(n + 1)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $n$ और $n + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
एक सम संख्या और एक विषम संख्या का गुणनफल हमेशा सम होता है।
इसलिए,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^2 + n$ हमेशा सम होता है।
चूंकि कथन का दावा है कि $n^2 + n$ विषम है,इसलिए कथन $P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए गलत है।
अतः,ऐसा कोई $n$ नहीं है जिसके लिए $P(n)$ सत्य हो।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$.
सर्वसमिका $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \theta + \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 1$.
माना $x = \tan^2 \theta$. तब $x + \frac{1+x}{1-x} = 1$.
$x(1-x) + 1 + x = 1 - x$
$x - x^2 + 1 + x = 1 - x$
$3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$.
अतः,$\tan^2 \theta = 0$ या $\tan^2 \theta = 3$.
यदि $\tan^2 \theta = 0$,तो $\tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = m\pi$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
यदि $\tan^2 \theta = 3$,तो $\tan \theta = \pm \sqrt{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,व्यापक हल $\theta = m\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिया है $a:b:c = 4:5:6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k/\sqrt{7}}{k\sqrt{7}/2} = \frac{16}{7}$.

(D) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ है।
केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2\sin \alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। $\triangle PAC$ में,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
अतः,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
इस प्रकार,बिंदुपथ का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ और रेखा $y - x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण है:
$x^2 + y^2 - 2x + \lambda(y - x) = 0$
$x^2 + y^2 - (2 + \lambda)x + \lambda y = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left( \frac{2 + \lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $y = x$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र के निर्देशांकों को $y = x$ में रखने पर:
$-\frac{\lambda}{2} = \frac{2 + \lambda}{2}
-\lambda = 2 + \lambda
2\lambda = -2
\lambda = -1$
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - (2 - 1)x - 1y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$.

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
इनमें से, $x = 1$ बिंदु $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ के निकट है।
अतः, अभीष्ट दीर्घवृत्त की नियता $x = 1$ है।
माना $Q(x, y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, नाभि $P$ से दूरी $QP = e \times (\text{\text{नियता से दूरी}})$.
$QP = \sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2}$ और नियता $x = 1$ से दूरी $|x - 1|$ है।
$e = 1/2$ दिया गया है, इसलिए $\sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2} = \frac{1}{2} |x - 1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}(x - 1)^2$.
सरल करने पर: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y - 1)^2}{1/12} = 1$.

(A) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + f(x))^{1/g(x)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$.
दिए गए व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + 5{x^2}}}{{1 + 3{x^2}}}} \right)^{1/{x^2}}}$ के लिए,हम आधार को $1 + \left( \frac{1 + 5x^2}{1 + 3x^2} - 1 \right) = 1 + \frac{2x^2}{1 + 3x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सीमा $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \cdot \frac{2x^2}{1 + 3x^2}}$ हो जाती है।
घातांक को सरल करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{1 + 3x^2} = \frac{2}{1 + 0} = 2$.
इसलिए,उत्तर $e^2$ है।

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t^n$ का गुणांक है।
यह $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ में $t^n$ का गुणांक है।
मान लीजिए $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$ है।
यह व्यंजक $(1-t)^{-k}$ में $t^{n-r}$ का गुणांक बन जाता है।
द्विपद विस्तार $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ का उपयोग करते हुए,$t^{n-r}$ का गुणांक $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ है।
मान लीजिए $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$ है।
अतः,हलों की संख्या $\binom{m}{k-1}$ है।

(C) माना $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ से गुणा करने पर:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3) \implies 2 = 2A \implies A = 1$.
$x = 2$ के लिए: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3) \implies 3 = -B \implies B = -3$.
$x = 3$ के लिए: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2) \implies 4 = 2C \implies C = 2$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ है।

(A) मान लीजिए $b$ और $c$ दो गैर-संरेख इकाई सदिश हैं। चूंकि वे गैर-संरेख हैं,$b, c,$ और $k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ अंतरिक्ष $\mathbb{R}^3$ के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।
किसी भी सदिश $a$ को इन आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k$
$k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + \left(a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|}\right) \frac{b \times c}{|b \times c|}$
यहाँ,$\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|} (b \times c) = (a \cdot k) (|b \times c| k) = (a \cdot k) (\sin \alpha) k$ होता है,जहाँ $\alpha$ सदिश $b$ और $c$ के बीच का कोण है।
चूंकि $|b \times c| = \sin \alpha$,यह पद $(a \cdot k)k$ में सरल हो जाता है।
अतः,$(a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k = a$.

(A) चूंकि $f$ एक सम फलन है,इसलिए सभी $x \in (-5, 5)$ के लिए $f(-x) = f(x).$
दिया गया है कि $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right).$
चूंकि $f(x) = f(-x)$,समीकरण $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right)$ तब संतुष्ट होता है यदि $x = \frac{x + 1}{x + 2}$ या $-x = \frac{x + 1}{x + 2}.$
स्थिति $1$: $x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow x^2 + 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0.$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
स्थिति $2$: $-x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow -x^2 - 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0.$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.$
अतः,$x$ के चार मान $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin^2 x + \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [2 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \cos(-\frac{\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} [\cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(-\frac{\pi}{3})]$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{5}{4}$ है,इसलिए $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{5}{4})$.
दिया गया है $g(\frac{5}{4}) = 1$,अतः $(g \circ f)(x) = 1$.

(C) दिया गया समीकरण $x{e^{xy}} = y + {\sin ^2}x$ है।
जब $x = 0$ है,तो समीकरण में मान रखने पर $0 \cdot {e^0} = y + {\sin ^2}(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + {\sin ^2}x)$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \frac{dy}{dx} + 2\sin x \cos x$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) = \frac{dy}{dx} + \sin(2x)$
अब अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
${e^0} + 0 \cdot {e^0} (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + \sin(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
अतः,$\frac{dy}{dx} = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5$ ... $(i)$
$(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है: $af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf(x) = x - 5$ ... $(ii)$
$f\left( {\frac{1}{x}} \right)$ को विलुप्त करने के लिए,$(i)$ को $a$ से और $(ii)$ को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{a}{x} - 5a$
$b^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = bx - 5b$
पहले में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(a^2 - b^2) f(x) = \frac{a}{x} - bx - 5a + 5b$
दोनों पक्षों का $1$ से $2$ तक समाकलन करने पर:
$(a^2 - b^2) \int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 \left( \frac{a}{x} - bx - 5(a - b) \right) dx$
$= \left[ a \log |x| - \frac{b x^2}{2} - 5(a - b)x \right]_1^2$
$= \left( a \log 2 - \frac{b(4)}{2} - 5(a - b)(2) \right) - \left( a \log 1 - \frac{b(1)}{2} - 5(a - b)(1) \right)$
$= a \log 2 - 2b - 10a + 10b - 0 + \frac{b}{2} + 5a - 5b$
$= a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b$
अतः,$\int_1^2 f(x) dx = \frac{1}{a^2 - b^2} \left[ a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b \right]$.

(C) दिया गया फलन $L(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $L(x) = [\ln |t|]_1^x$ प्राप्त होता है।
$L(x) = \ln |x| - \ln |1| = \ln |x|$.
अब,$L(xy) = \ln |xy| = \ln |x| + \ln |y|$ पर विचार करें।
चूंकि $L(x) = \ln |x|$ और $L(y) = \ln |y|$,इसलिए $L(xy) = L(x) + L(y)$ होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सदिशों $i$ और $i + j$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_1 = i \times (i + j) = k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot k = 0$ है,जिसका अर्थ है $z = 0.$
सदिशों $i - j$ और $i + k$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_2 = (i - j) \times (i + k) = -i - j + k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot (-i - j + k) = 0$ है,जिसका अर्थ है $x + y - z = 0.$
सदिश $a$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए $a$ को अभिलंबों $n_1$ और $n_2$ के सदिश गुणनफल के समांतर होना चाहिए: $v = n_1 \times n_2 = k \times (-i - j + k) = i - j.$
अतः,$a$ सदिश $i - j$ के समांतर है।
मान लीजिए $a = i - j$ और $b = i - 2j + 2k$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{(1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
चूंकि $a$ सदिश $i - j$ या $-(i - j)$ की दिशा में हो सकता है,इसलिए $\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) फलन $f(x) = [x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ परिभाषित है यदि $[x + 1] \neq 0$ हो।
चूंकि $[x + 1] = 0$ तब होता है जब $0 \le x + 1 < 1$,जिसका अर्थ है $-1 \le x < 0$,इसलिए $f$ का प्रांत $R - [-1, 0)$ है।
अतः,प्रांत $\left\{ x \in R \mid x \notin [-1, 0) \right\}$ है।
फलन $[x]$ सभी पूर्णांकों $I$ पर असंतत है।
$x \in I$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि गुणनफल $[x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ संतत न हो।
$x = 0$ पर,$f(0) = [0]\sin \left( \frac{\pi}{[1]} \right) = 0$ है।
$x \to 0^+$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = 0 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{1} \right) = 0$ है।
अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
अन्य पूर्णांकों $n \in I \setminus \{0\}$ के लिए,फलन असंतत रहता है।
इसलिए,असंततता के बिंदुओं का समुच्चय $I - \{0\}$ है।

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.
गुणधर्म $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}(2\pi - x)}}{{{{\sin }^{2n}}(2\pi - x) + {{\cos }^{2n}}(2\pi - x)}}dx} $
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{2\pi } {\frac{{2\pi {{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I = \pi \int_0^{2\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
गुणधर्म $\int_0^{2a} {f(x)dx = 2\int_0^a {f(x)dx} }$ का उपयोग करते हुए यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$I = 2\pi \int_0^{\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $i$)
इसी प्रकार,$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\cos }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $ii$)
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {1 dx} = 4\pi \left( \frac{\pi }{2} \right) = 2{\pi ^2}$
अतः,$I = {\pi ^2}$.

(A) हम जानते हैं कि $P$ ($A$ या $B$ में से ठीक एक घटना घटित होती है) = $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = p$ ..... $(i)$
इसी प्रकार,$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = p$ ..... $(ii)$
और $P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = p$ ..... $(iii)$
$(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = 3p$
अतः,$P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3p}{2}$ ..... $(iv)$
हमें दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = p^2$ ..... $(v)$
तीन घटनाओं $A, B$ और $C$ में से कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा दी गई है:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$(iv)$ और $(v)$ को इस व्यंजक में रखने पर:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3p}{2} + p^2 = \frac{3p + 2p^2}{2}$