मान लीजिए कि P(n) यह कथन दर्शाता है कि n^2 + | vedclass

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Question

(D) कथन $P(n)$ यह है कि $n^2 + n$ विषम है।हम $n^2 + n = n(n + 1)$ लिख सकते हैं।चूंकि $n$ और $n + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम और दूसरा विषम

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इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) कथन $P(n)$ यह है कि $n^2 + n$ विषम है।हम $n^2 + n = n(n + 1)$ लिख सकते हैं।चूंकि $n$ और $n + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।एक सम संख्या और एक विषम संख्या का गुणनफल हमेशा सम होता है।इसलिए,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^2 + n$ हमेशा सम होता है।चूंकि कथन का दावा है कि $n^2 + n$ विषम है,इसलिए कथन $P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए गलत है।अतः,ऐसा कोई $n$ नहीं है जिसके लिए $P(n)$ सत्य हो।इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

मान लीजिए कि $P(n)$ यह कथन दर्शाता है कि $n^2 + n$ विषम है। यह देखा गया है कि $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$। $P(n)$ सभी के लिए सत्य है:

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गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 5$ के लिए $n^{2} < 2^{n}$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$4+8+12+\ldots+4n = 2n(n+1)$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.

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