IIT JEE 1996 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ વડે ગુણતા:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ માટે: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3)$ $\Rightarrow 2 = A(-1)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 2A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = 2$ માટે: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3)$ $\Rightarrow 3 = B(1)(-1)$ $\Rightarrow 3 = -B$ $\Rightarrow B = -3$.
$x = 3$ માટે: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2)$ $\Rightarrow 4 = C(2)(1)$ $\Rightarrow 4 = 2C$ $\Rightarrow C = 2$.
તેથી,આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.
$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$.
ધારો કે $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી, આવા બે પદોનો સરવાળો પણ હંમેશા વાસ્તવિક જ રહે છે.
તેથી, આ પદાવલિ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n_1$ અને $n_2$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = r[(r + 1) - \omega][(r + 1) - \omega^2]$ છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$T_r = r[(r + 1)^2 - (\omega + \omega^2)(r + 1) + \omega^3] = r[(r + 1)^2 + (r + 1) + 1] = r(r^2 + 3r + 3) = r^3 + 3r^2 + 3r$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$ છે.
$S = [\frac{(n-1)n}{2}]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$S = \frac{1}{4}(n-1)n(n^2 + 3n + 4)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,છેલ્લું પદ ${1^3}$ છે.
આપણે $S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{(n-1)/2} (2k)^3$ લખી શકીએ.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 16 \left[ \frac{\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} + 1)}{2} \right]^2$
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(D) વિધાન $P(n)$ એ $n^2 + n$ એકી સંખ્યા છે તે છે.
આપણે $n^2 + n = n(n + 1)$ લખી શકીએ.
કારણ કે $n$ અને $n + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે,તેમાંથી એક બેકી અને બીજી એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
બેકી સંખ્યા અને એકી સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા બેકી હોય છે.
તેથી,તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $n^2 + n$ હંમેશા બેકી હોય છે.
વિધાન દાવો કરે છે કે $n^2 + n$ એકી છે,તેથી વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે ખોટું છે.
આમ,એવું કોઈ $n$ નથી જેના માટે $P(n)$ સાચું હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$.
નિત્યસમ $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \theta + \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 1$.
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$. તો $x + \frac{1+x}{1-x} = 1$.
$x(1-x) + 1 + x = 1 - x$
$x - x^2 + 1 + x = 1 - x$
$3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$.
તેથી,$\tan^2 \theta = 0$ અથવા $\tan^2 \theta = 3$.
જો $\tan^2 \theta = 0$,તો $\tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = m\pi$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
જો $\tan^2 \theta = 3$,તો $\tan \theta = \pm \sqrt{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = m\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a:b:c = 4:5:6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k/\sqrt{7}}{k\sqrt{7}/2} = \frac{16}{7}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2\sin \alpha$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $\triangle PAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
તેથી,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ અને રેખા $y - x = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x^2 + y^2 - 2x + \lambda(y - x) = 0$
$x^2 + y^2 - (2 + \lambda)x + \lambda y = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( \frac{2 + \lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $y = x$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રના યામને $y = x$ માં મૂકતા:
$-\frac{\lambda}{2} = \frac{2 + \lambda}{2}
-\lambda = 2 + \lambda
2\lambda = -2
\lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - (2 - 1)x - 1y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને અતિવલય $x^2 - y^2 = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
આમાંથી, $x = 1$ એ બિંદુ $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ ની નજીક છે.
તેથી, જરૂરી ઉપવલયની નિયામિકા $x = 1$ છે.
ધારો કે $Q(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ, નાભિ $P$ થી અંતર $QP = e \times (\text{\text{નિયામિકાથી અંતર}})$.
$QP = \sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2}$ અને નિયામિકા $x = 1$ થી અંતર $|x - 1|$ છે.
$e = 1/2$ આપેલ હોવાથી, $\sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2} = \frac{1}{2} |x - 1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}(x - 1)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y - 1)^2}{1/12} = 1$.

(A) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + f(x))^{1/g(x)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$.
આપેલ પદ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + 5{x^2}}}{{1 + 3{x^2}}}} \right)^{1/{x^2}}}$ માટે,આપણે આધારને $1 + \left( \frac{1 + 5x^2}{1 + 3x^2} - 1 \right) = 1 + \frac{2x^2}{1 + 3x^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,લક્ષ $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \cdot \frac{2x^2}{1 + 3x^2}}$ બને છે.
ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{1 + 3x^2} = \frac{2}{1 + 0} = 2$.
તેથી,જવાબ $e^2$ છે.

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા,જ્યાં $x_i \ge i$ હોય,તે $(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ ના ગુણાકારમાં $t^n$ નો સહગુણક છે.
આ $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ માં $t^n$ નો સહગુણક છે.
ધારો કે $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$.
આ અભિવ્યક્તિ $(1-t)^{-k}$ માં $t^{n-r}$ નો સહગુણક બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ નો ઉપયોગ કરતા,$t^{n-r}$ નો સહગુણક $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ છે.
ધારો કે $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{m}{k-1}$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
બંને બાજુ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ વડે ગુણતા:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ માટે: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3) \implies 2 = 2A \implies A = 1$.
$x = 2$ માટે: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3) \implies 3 = -B \implies B = -3$.
$x = 3$ માટે: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2) \implies 4 = 2C \implies C = 2$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ છે.

(A) ધારો કે $b$ અને $c$ બે અસમરેખ એકમ સદિશો છે. તેઓ અસમરેખ હોવાથી,$b, c,$ અને $k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ એ $\mathbb{R}^3$ અવકાશ માટે એક ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે.
કોઈપણ સદિશ $a$ ને આ આધાર સદિશોના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k$
$k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + \left(a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|}\right) \frac{b \times c}{|b \times c|}$
અહીં,$\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|} (b \times c) = (a \cdot k) (|b \times c| k) = (a \cdot k) (\sin \alpha) k$ થાય,જ્યાં $\alpha$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|b \times c| = \sin \alpha$ હોવાથી,આ પદ $(a \cdot k)k$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$(a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k = a$.

(A) કારણ કે $f$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in (-5, 5)$ માટે $f(-x) = f(x).$
આપેલ છે કે $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right).$
$f(x) = f(-x)$ હોવાથી,સમીકરણ $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right)$ ત્યારે સંતોષાય છે જો $x = \frac{x + 1}{x + 2}$ અથવા $-x = \frac{x + 1}{x + 2}.$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow x^2 + 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0.$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
કિસ્સો $2$: $-x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow -x^2 - 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0.$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.$
આમ,$x$ ના ચાર મૂલ્યો $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ અને $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^2 x + \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [2 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \cos(-\frac{\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} [\cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(-\frac{\pi}{3})]$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
બધા $x \in R$ માટે $f(x) = \frac{5}{4}$ હોવાથી,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{5}{4})$.
આપેલ છે કે $g(\frac{5}{4}) = 1$,તેથી $(g \circ f)(x) = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x{e^{xy}} = y + {\sin ^2}x$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા $0 \cdot {e^0} = y + {\sin ^2}(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + {\sin ^2}x)$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \frac{dy}{dx} + 2\sin x \cos x$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) = \frac{dy}{dx} + \sin(2x)$
હવે $x = 0$ અને $y = 0$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
${e^0} + 0 \cdot {e^0} (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + \sin(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5$ ... $(i)$
$(i)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે: $af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf(x) = x - 5$ ... $(ii)$
$f\left( {\frac{1}{x}} \right)$ નો લોપ કરવા માટે,$(i)$ ને $a$ વડે અને $(ii)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{a}{x} - 5a$
$b^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = bx - 5b$
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a^2 - b^2) f(x) = \frac{a}{x} - bx - 5a + 5b$
બંને બાજુ $1$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા:
$(a^2 - b^2) \int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 \left( \frac{a}{x} - bx - 5(a - b) \right) dx$
$= \left[ a \log |x| - \frac{b x^2}{2} - 5(a - b)x \right]_1^2$
$= \left( a \log 2 - \frac{b(4)}{2} - 5(a - b)(2) \right) - \left( a \log 1 - \frac{b(1)}{2} - 5(a - b)(1) \right)$
$= a \log 2 - 2b - 10a + 10b - 0 + \frac{b}{2} + 5a - 5b$
$= a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b$
આમ,$\int_1^2 f(x) dx = \frac{1}{a^2 - b^2} \left[ a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b \right]$.

(C) આપેલ વિધેય $L(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને મળે છે $L(x) = [\ln |t|]_1^x$.
$L(x) = \ln |x| - \ln |1| = \ln |x|$.
હવે,$L(xy) = \ln |xy| = \ln |x| + \ln |y|$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $L(x) = \ln |x|$ અને $L(y) = \ln |y|$,તેથી $L(xy) = L(x) + L(y)$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સદિશો $i$ અને $i + j$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n_1 = i \times (i + j) = k$ છે. આ સમતલનું સમીકરણ $r \cdot k = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $z = 0.$
સદિશો $i - j$ અને $i + k$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n_2 = (i - j) \times (i + k) = -i - j + k$ છે. આ સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (-i - j + k) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y - z = 0.$
સદિશ $a$ આ બંને સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર છે,તેથી $a$ એ અભિલંબ $n_1$ અને $n_2$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ: $v = n_1 \times n_2 = k \times (-i - j + k) = i - j.$
આમ,$a$ એ $i - j$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $a = i - j$ અને $b = i - 2j + 2k$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{(1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
સદિશ $a$ એ $i - j$ અથવા $-(i - j)$ ની દિશામાં હોઈ શકે છે,તેથી $\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) વિધેય $f(x) = [x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ વ્યાખ્યાયિત છે જો $[x + 1] \neq 0$ હોય.
કારણ કે $[x + 1] = 0$ એ $0 \le x + 1 < 1$ માટે થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-1 \le x < 0$,તેથી $f$ નો પ્રદેશ $R - [-1, 0)$ છે.
આમ,પ્રદેશ $\left\{ x \in R \mid x \notin [-1, 0) \right\}$ છે.
વિધેય $[x]$ એ તમામ પૂર્ણાંકો $I$ પર અસતત છે.
$x \in I$ માટે,$f(x)$ અસતત છે સિવાય કે ગુણાકાર $[x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ સતત હોય.
$x = 0$ પર,$f(0) = [0]\sin \left( \frac{\pi}{[1]} \right) = 0$.
$x \to 0^+$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{1} \right) = 0$.
આમ,$f$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
અન્ય પૂર્ણાંકો $n \in I \setminus \{0\}$ માટે,વિધેય અસતત રહે છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $I - \{0\}$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.
ગુણધર્મ $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}(2\pi - x)}}{{{{\sin }^{2n}}(2\pi - x) + {{\cos }^{2n}}(2\pi - x)}}dx} $
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{2\pi } {\frac{{2\pi {{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I = \pi \int_0^{2\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} {f(x)dx = 2\int_0^a {f(x)dx} }$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય:
$I = 2\pi \int_0^{\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $
$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (સમીકરણ $i$)
તે જ રીતે,$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\cos }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (સમીકરણ $ii$)
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {1 dx} = 4\pi \left( \frac{\pi }{2} \right) = 2{\pi ^2}$
તેથી,$I = {\pi ^2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P$ (ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = p$ ..... $(i)$
તે જ રીતે,$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = p$ ..... $(ii)$
અને $P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = p$ ..... $(iii)$
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = 3p$
તેથી,$P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3p}{2}$ ..... $(iv)$
આપણને આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = p^2$ ..... $(v)$
ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$(iv)$ અને $(v)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3p}{2} + p^2 = \frac{3p + 2p^2}{2}$