फलन  $L(x) = \int_1^x {\frac{{dt}}{t}} $ निम्न समीकरण को सन्तुष्ट करता है  

माना फलन $y=f(x)$ अंतराल $(-5,5)$ तीन बार अवकलनीय है। माना वक्र $y=f(x)$ के बिंदुओं $(1, f(1))$ तथा $(3, f(3))$ पर स्पर्श रेखाएँ धनात्मक $\mathrm{x}$-अक्ष से क्रमशः $\frac{\pi}{6}$ तथा $\frac{\pi}{4}$ के कोण बनाती हैं। यदि $27 \int_1^3\left(\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right)^2+1\right) \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\alpha+\beta \sqrt{3}$ है, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तो $\alpha+\beta$ का मान बराबर है

माना $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$ के लिए $\mathrm{S}_0(\mathrm{x})=\mathrm{x}$,

$\mathrm{S}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}+\mathrm{k} \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$, हैं, जहाँ

$\mathrm{C}_0=1, \mathrm{C}_{\mathrm{k}}=1-\int_0^{\mathrm{l}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}, \mathrm{k}=1,2,3 \ldots$ हैं। 

तो $\mathrm{S}_2(3)+6 \mathrm{C}_3$ बराबर है

माना $f$ एक धनात्मक फलन है तथा

${I_1} = \int_{1 - k}^k {x\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$, ${I_2} = \int_{1 - k}^k {\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$

जहाँ $2k - 1 > 0$, तब ${I_1}/{I_2}$ का मान होगा

माना $\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{b}$ वास्तविक अचर इस प्रकार है कि फलन $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3 x+a, & x \leq 1 \\ b x+2, & x>1\end{array}, R\right.$ पर अवकलनीय है। तो $\int_{-2}^2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x$ का मान बराबर है

माना $f:[0,2] \rightarrow R$,

$f(x)= \begin{cases}e^{\min \left\{x^2, x-[x]\right\}}, & x \in[0,1) \\ e^{\left[x-\log _e x\right]}, & x \in[1,2]\end{cases}$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $[\mathrm{t}]$ का महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{t}$ है। तो समाकलन $\int_0^2 \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}$ का मान है -