IIT JEE 1996 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ $(T^2)$ એ સૂર્યથી તેના સરેરાશ અંતરના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે $T_1 = 365$ દિવસ અને $r_1$ એ વર્તમાન અંતર છે.
આપેલ છે કે $r_2 = \frac{1}{2} r_1$.
તેથી,$\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2\sqrt{2}} = \frac{365}{2 \times 1.414} \approx \frac{365}{2.828} \approx 129$ દિવસ.

(A) ખેંચાયેલી દોરીમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,દોરીમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $T \propto x$.
આને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v \propto \sqrt{x}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે જ્યારે વિસ્તરણ $x_1 = x$ છે,અને નવી ઝડપ $v_2$ છે જ્યારે વિસ્તરણ $x_2 = 1.5x$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\sqrt{1.5} \approx 1.22$.
તેથી,$v_2 = 1.22 \,v$.

(B) આદર્શ વાયુનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.$
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (મોલર દળ) અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 120 \ K$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 480 \ K$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}} = \sqrt{4} = 2.$
તેથી,$v_2 = 2v$ થાય.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સમઘન $A$ માંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર સમઘન $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ઇન્ટરફેસનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘન સમાન કદના હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $L$ સમાન છે.
સમઘન $A$ માટે: $H_A = \frac{K_A A (100 - T)}{L}$
સમઘન $B$ માટે: $H_B = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$H_A = H_B$ ને સરખાવતા:
$\frac{K_A A (100 - T)}{L} = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$K_A (100 - T) = K_B T$
$300(100 - T) = 200T$
$3(100 - T) = 2T$
$300 - 3T = 2T$
$5T = 300$
$T = 60^{\circ}C$
આમ,ઇન્ટરફેસનું તાપમાન $60^{\circ}C$ છે.

(C) આંતરિક ત્રિજ્યા $a$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b$ ધરાવતા નળાકાર કેપેસિટર માટે,અક્ષથી $r$ અંતરે $(a < r < b)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા નળાકાર સ્વરૂપની ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda L$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
$E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$.
આમ,$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$.
આ દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય અક્ષથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે,એટલે કે $E \propto 1/r$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ વાહકની સપાટી પર દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ. ધાતુના વાહકની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,ક્ષેત્ર રેખાઓ ગોળામાંથી પસાર થઈ શકતી નથી; તેઓ સપાટી પર સમાપ્ત થાય છે અને બીજી બાજુથી બહાર આવે છે,જે હંમેશા સપાટીને લંબ દિશા જાળવી રાખે છે. માર્ગ $4$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં રેખાઓ ગોળાની સપાટીને લંબ રૂપે મળવા માટે વળે છે.

(A) બ્લોક ધાતુનો હોવાથી,વિદ્યુતભાર વાહકો ઇલેક્ટ્રોન છે. ધન $x$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે,એટલે કે $\overrightarrow{v} = -v\hat{i}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં છે,એટલે કે $\overrightarrow{B} = B\hat{j}$.
લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\overrightarrow{F} = (-e)(-v\hat{i} \times B\hat{j}) = evB(\hat{i} \times \hat{j}) = evB\hat{k}$.
ઇલેક્ટ્રોન પરનું બળ ધન $z$-દિશામાં હોવાથી,તેઓ $ABCD$ સપાટી પર એકઠા થાય છે (આકૃતિમાં દર્શાવેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ મુજબ). $ABCD$ સપાટી પર ઋણ વિદ્યુતભારોના જમા થવાને કારણે તેનું પોટેન્શિયલ ઘટે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ ગતિકીય $emf$ ના સૂત્ર $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે જે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ $V$ વેગથી ગતિ કરે છે,છેડાઓ $M$ અને $Q$ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ $l$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2R$ છે.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $e = B(2R)V = 2RBV$ થશે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે. જેમ રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ઘટે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ બાહ્ય ક્ષેત્રની દિશામાં (કાગળની અંદરની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ $M$ થી $Q$ તરફ વહેતા પ્રવાહને અનુરૂપ છે,જે $Q$ ને ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર બનાવે છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા અને પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઉર્જાના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
પ્રક્રિયક માટે,બે ડ્યુટેરોન $(1^2H)$ સામેલ છે. દરેક ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિયોન હોય છે.
બે ડ્યુટેરોનની કુલ બંધન ઉર્જા $= 2 \times (2 \times 1.112 \, MeV) = 4 \times 1.112 \, MeV = 4.448 \, MeV$.
નીપજ માટે,એક $\alpha$-કણ $(2^4He)$ બને છે. તેમાં $4$ ન્યુક્લિયોન હોય છે.
એક $\alpha$-કણની કુલ બંધન ઉર્જા $= 4 \times 7.047 \, MeV = 28.188 \, MeV$.
સંલયન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$Q = 28.188 \, MeV - 4.448 \, MeV = 23.74 \, MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $Q \approx 23.8 \, MeV$ છે.

(D) આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર્સમાં,ઉષ્મીય ઉત્તેજનાને કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ બંને વિદ્યુતભાર વાહકો તરીકે કાર્ય કરે છે.
$P-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર્સમાં,હોલ્સ એ મેજોરિટી (બહુમતી) વિદ્યુતભાર વાહકો છે.
તેથી,હોલ્સ એ આંતરિક અને $P-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર્સ બંનેમાં વિદ્યુતભાર વાહકો છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) અંતર્ગોળ લેન્સ એ અપસારી લેન્સ છે જે તેની સામે મૂકેલી વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
તે જ રીતે,બહિર્ગોળ અરીસો એ અપસારી અરીસો છે જે તેની સામે મૂકેલી વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સ અને બહિર્ગોળ અરીસો બંને આપેલી શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.