मान लीजिए n और k ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि | vedclass

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Question

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t

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$^mC_{k-1}$

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(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t^n$ का गुणांक है।यह $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ में $t^n$ का गुणांक है।मान लीजिए $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$ है।यह व्यंजक $(1-t)^{-k}$ में $t^{n-r}$ का गुणांक बन जाता है।द्विपद विस्तार $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ का उपयोग करते हुए,$t^{n-r}$ का गुणांक $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ है।मान लीजिए $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$ है।अतः,हलों की संख्या $\binom{m}{k-1}$ है।

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