IIT JEE 1985 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $z_1, z_2, z_3$ तीन सम्मिश्र संख्याएँ $A.P.$ में हैं।
तब $2z_2 = z_1 + z_3$ होगा।
इसका अर्थ है $z_2 = \frac{z_1 + z_3}{2}$।
अतः,सम्मिश्र संख्या $z_2$,बिंदुओं $z_1$ और $z_3$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,तीनों बिंदु $z_1, z_2$ और $z_3$ संरेख हैं और सम्मिश्र तल में एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(D) दिया गया है कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$,अतः ${z_1} = \cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}$ और ${z_2} = \cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}$ है।
यहाँ $a = \cos {\theta _1}, b = \sin {\theta _1}, c = \cos {\theta _2}, d = \sin {\theta _2}$ है।
$R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ होने के कारण,$\cos({\theta _1} - {\theta _2}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${\theta _1} - {\theta _2} = \pm \frac{\pi }{2}$।
अब,$|{w_1}|^2 = a^2 + c^2 = \cos^2 {\theta _1} + \cos^2 {\theta _2} = \cos^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _1} = 1$,अतः $|{w_1}| = 1$।
इसी प्रकार,$|{w_2}|^2 = b^2 + d^2 = \sin^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _2} = 1$,अतः $|{w_2}| = 1$।
अंत में,$R({w_1}\overline {{w_2}} ) = ab + cd = \cos {\theta _1}\sin {\theta _1} + \cos {\theta _2}\sin {\theta _2} = 0$ सिद्ध होता है।
अतः,उपरोक्त सभी विकल्प सही हैं।

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद हैं।
$A.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) और (iii) से,हम देखते हैं कि $a, b, c$ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
अतः,$a \ge b \ge c$,जो विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
साथ ही,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
इसलिए,$ac - b^2 = 0$,जो विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) $P(x) = 0$ और $Q(x) = 0$ के विविक्तकर (discriminants) क्रमशः $D_1$ और $D_2$ हैं।
$D_1 = b^2 - 4ac$ और $D_2 = d^2 + 4ac$ है।
विविक्तकरों का योग: $D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ है।
चूंकि $b^2 \ge 0$ और $d^2 \ge 0$,इसलिए $D_1 + D_2 \ge 0$ है।
यदि $D_1 < 0$ और $D_2 < 0$ हो,तो $D_1 + D_2 < 0$ होगा,जो संभव नहीं है।
अतः,$D_1$ या $D_2$ में से कम से कम एक $0$ या उससे बड़ा होना चाहिए।
इसलिए,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल होंगे।

(A) चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो पुनरावृत्त मूल $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ देता है।
चूंकि यह एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ को संतुष्ट करता है।
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ प्राप्त होता है।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$ मिलता है।
चूंकि $b = \sqrt{ac}$ है,इसलिए यह $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ बन जाता है।
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n, n+1, n+2, \dots, n+r-1$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)\dots(n+r-1)$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $n+r-1$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांक $\binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ द्वारा दी जाती है।
इसे $\frac{(n+r-1)(n+r-2)\dots(n)}{r!} = \binom{n+r-1}{r}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
चूंकि $\binom{n+r-1}{r}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि गुणनफल $n(n+1)\dots(n+r-1)$ हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

(D) हम सूत्र $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ और $n = 4$ है।
$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$
$= \frac{\sin \frac{32\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$
चूँकि $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,इसलिए $\sin \frac{32\pi}{15} = \sin \frac{2\pi}{15}$ है।
$= \frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $l$ है।
प्रारंभिक स्थिति में,सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। दीवार से क्षैतिज दूरी $PA = l \cos \alpha$ है और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $AB = l \sin \alpha$ है।
अंतिम स्थिति में,सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\beta$ कोण बनाती है। दीवार से क्षैतिज दूरी $QA = l \cos \beta$ है और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $AC = l \sin \beta$ है।
सीढ़ी का निचला सिरा $x = QA - PA = l(\cos \beta - \cos \alpha)$ दूरी तक खींचा जाता है।
सीढ़ी $y = AB - AC = l(\sin \alpha - \sin \beta)$ दूरी नीचे फिसलती है।
अब,$\frac{y}{x}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{l(\sin \alpha - \sin \beta)}{l(\cos \beta - \cos \alpha)} = \frac{2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}$
$\frac{y}{x} = \cot \frac{\alpha + \beta}{2}$
अतः,$x = y \tan \frac{\alpha + \beta}{2}$.

(A) रेखाएँ $L_1: x + y - 1 = 0$,$L_2: 2x + 3y - 6 = 0$ और $L_3: 4x - y + 4 = 0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $L_1$ और $L_2$ से $A = (-3, 4)$ प्राप्त होता है।
$2$. $L_2$ और $L_3$ से $B = (-\frac{3}{7}, \frac{16}{7})$ प्राप्त होता है।
$3$. $L_1$ और $L_3$ से $C = (-\frac{3}{5}, \frac{8}{5})$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब के समीकरण ज्ञात करने पर:
$A$ से $BC$ पर लंब: $x + 4y = 13$।
$B$ से $AC$ पर लंब: $7x - 7y = -19$।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर लंबकेंद्र $(\frac{3}{7}, \frac{22}{7})$ प्राप्त होता है,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$ax + by + c = 0$ $(i)$
$bx + cy + a = 0$ $(ii)$
$cx + ay + b = 0$ $(iii)$
तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$
अतः,$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.

(C) दिया गया वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ है,जिसका विस्तार $x^2 + y^2 - 2x = 0$ है।
माना $(h, k)$ एक जीवा का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = xh + yk - (x + h)$ और $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ है।
अतः,जीवा का समीकरण $xh + yk - (x + h) = h^2 + k^2 - 2h$ है।
चूँकि जीवा मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0(h) + 0(k) - (0 + h) = h^2 + k^2 - 2h$
$-h = h^2 + k^2 - 2h$
$h^2 + k^2 - h = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0$ है।
केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $(4, 5)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{4^2 + 5^2 - 4(4) - 2(5) - 11} = 2$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= L \times r = 2 \times 4 = 8 \text{ sq. units}$.

(A) माना $(x', y')$ एक जीवा का मध्य बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ के लिए $(x', y')$ मध्य बिंदु वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$x x' + y y' - (x + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 + 0 - (0 + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$-x' = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$x'^2 + y'^2 - x' = 0$
$(x', y')$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(D) $\lim_{x \to 0} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$LHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x)$। जैसे $x \to 0^-$,$x$ का मान $0$ से थोड़ा कम है,इसलिए $[x] = -1$।
अतः,$f(x) = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$।
इसलिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(1)$।
$RHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^+} f(x)$। जैसे $x \to 0^+$,$x$ अंतराल $[0, 1)$ में है,इसलिए $[x] = 0$।
$f(x)$ की परिभाषा के अनुसार,जब $[x] = 0$,तो $f(x) = 0$।
इसलिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$।
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(1)$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$,वाम पक्ष सीमा दक्षिण पक्ष सीमा के बराबर नहीं है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि प्रायिकता का योग प्रमेय $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दी गई शर्त $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ को सूत्र में रखने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,उस विशिष्ट स्थिति के लिए जहाँ $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ है,इसका अर्थ है कि $P(A \setminus B) = 0$ और $P(B \setminus A) = 0$,जिसका अर्थ है $P(A) = P(A \cap B) = P(B)$।
अतः,सही संबंध $P(A) = P(B)$ है।

(A) हमें सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \\ b & b^2 & b^3 + 1 \\ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} \right|$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
पहले सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
दूसरे सारणिक में,पहले सारणिक से मिलान करने के लिए स्तंभों की अदला-बदली करें: $C_3 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_1$। इससे दो बार चिह्न बदलेंगे,इसलिए चिह्न धनात्मक ही रहेगा:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = (1 + abc) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$.
सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$ का मान $(a - b)(b - c)(c - a)$ होता है।
अतः,$\Delta = (1 + abc)(a - b)(b - c)(c - a) = 0$.
चूंकि $a, b, c$ असमान हैं,इसलिए $(a - b)(b - c)(c - a) \neq 0$.
इसलिए,शर्त $1 + abc = 0$ है।

(B) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि सारणिक समान हैं,जिसका अर्थ है कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
क्षेत्रफल समान होने का अर्थ यह नहीं है कि त्रिभुज सर्वांगसम या समरूप हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) अदिश त्रिक गुणन को $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] \neq 0$.
हम अदिश त्रिक गुणन के गुणों को जानते हैं: $[c, a, b] = [a, b, c]$ और $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(C) फलन $f(x) = x(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})$ पद $\sqrt{x}$ के कारण $x \ge 0$ के लिए परिभाषित है।
$x < 0$ के लिए,पद $\sqrt{x}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं है।
चूंकि फलन किसी भी $\delta > 0$ के लिए पड़ोस $(-\delta, 0)$ में परिभाषित नहीं है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत नहीं हो सकता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए फलन का उस बिंदु पर सतत होना आवश्यक है।
इसलिए,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) $x$ के सापेक्ष $\log(\log x)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
माना $y = \log(\log x)$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{d(\log x)} \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx} \log x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d}{du} \log u = \frac{1}{u}$ और $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$।
इसे $(x \log x)^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \log_{x}(\log x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log x}$.
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{\left(\frac{d}{dx}(\log(\log x))\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{d}{dx}(\log x))}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{1}{x})}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{x(\log x)^2}$.
अब,$x = e$ पर $f'(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f'(e) = \frac{1 - \log(\log e)}{e(\log e)^2}$.
चूंकि $\log e = 1$ और $\log(1) = 0$,इसलिए:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{e(1)^2} = \frac{1}{e}$.

(C) माना $I = \int \frac{x^5}{\sqrt{1 + x^3}} dx$.
$1 + x^3 = t^2$ रखने पर,$3x^2 dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{2}{3} t dt$.
साथ ही,$x^3 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{x^3 \cdot x^2 dx}{\sqrt{1 + x^3}} = \int \frac{(t^2 - 1) \cdot \frac{2}{3} t dt}{t}$
$I = \frac{2}{3} \int (t^2 - 1) dt$
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + c$
$I = \frac{2}{9} t^3 - \frac{2}{3} t + c$
चूंकि $t = (1 + x^3)^{1/2}$,इसलिए:
$I = \frac{2}{9} (1 + x^3)^{3/2} - \frac{2}{3} (1 + x^3)^{1/2} + c$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cos x \sin x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$
माना $\tan^2 x = t$,तब $2 \tan x \sec^2 x \, dx = dt$,अर्थात $\tan x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

(C) माना $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi {e^{\cos^2(\pi - x)} \cos^3((2n + 1)(\pi - x))} \, dx$.
चूंकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$.
साथ ही,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cos((2n + 1)x) + \sin((2n + 1)\pi) \sin((2n + 1)x)$.
चूंकि $(2n + 1)$ एक विषम पूर्णांक है,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ और $\sin((2n + 1)\pi) = 0$.
अतः,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = -\cos((2n + 1)x)$.
इसलिए,$\cos^3((2n + 1)(\pi - x)) = (-\cos((2n + 1)x))^3 = -\cos^3((2n + 1)x)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n + 1)x)) \, dx = -I$ प्राप्त होता है।
$2I = 0 \implies I = 0$.

(D) माना $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$ है।
दिया है $a \cdot b = 3$,अतः $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$।
दिया है $a \times b = c$,जहाँ $a = (1, 1, 1)$ और $c = (0, 1, -1)$ है,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$।
इसे $c = (0, 1, -1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ से,$b_2 = b_3$। इस मान को $(i)$ में रखने पर,$b_1 + 2b_2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ से,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$।
$b_1$ का मान $b_1 + 2b_2 = 3$ में रखने पर,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,अतः $3b_2 = 2$,जिसका अर्थ है $b_2 = \frac{2}{3}$।
अतः $b_3 = \frac{2}{3}$ और $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$।

(A) दिया गया है कि सदिश $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,और $(1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,इसलिए इन सदिशों द्वारा निर्मित आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
हमें समीकरण दिया गया है:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
दूसरे सारणिक में,पंक्तियों से $a, b, c$ को बाहर निकालने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
ध्यान दें कि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (दो स्तंभों की अदला-बदली के बाद)।
अतः,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए $1 + abc = 0$,जिसका अर्थ है $abc = -1$।

(A) माना $x = \cos^2 \theta$. तब $dx = -2 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta$
$= \int \tan(\theta/2) (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} (-4 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \cos \theta) \, d\theta$
$= -4 \int \sin^2(\theta/2) \cos \theta \, d\theta = -2 \int (1 - \cos \theta) \cos \theta \, d\theta$
$= -2 \int (\cos \theta - \cos^2 \theta) \, d\theta = -2 \int \cos \theta \, d\theta + \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$
$= -2 \sin \theta + \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + c = \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \sin \theta + c$
चूंकि $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{x}$ और $\sin \theta = \sqrt{1 - x}$ है।
मान वापस रखने पर: $\cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} + c = \cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x}(\sqrt{x} - 2) + c$.

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुने गए दो टिकटों पर अधिकतम संख्या $\le 10$ है। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि चुने गए दो टिकटों पर न्यूनतम संख्या $5$ है। हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,हम $n(A)$ निर्धारित करते हैं,जो दो अलग-अलग टिकटों को चुनने के तरीके हैं ताकि दोनों $\le 10$ हों। $10$ में से $2$ टिकट चुनने के तरीके $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
इसके बाद,हम $n(A \cap B)$ निर्धारित करते हैं,जो दो टिकटों को चुनने के तरीके हैं ताकि अधिकतम $\le 10$ हो और न्यूनतम $5$ हो। इसका मतलब है कि एक टिकट $5$ होना चाहिए,और दूसरा टिकट $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ सेट में होना चाहिए।
ऐसे $5$ जोड़े हैं: $(5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10)$।
अतः,$n(A \cap B) = 5$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $P(B|A) = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$ है।
अतः,सही उत्तर $(D)$ इनमें से कोई नहीं है।