IIT JEE 1985 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ફોટોનની ઉર્જા સમીકરણ $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
$h$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $h = \frac{E}{\nu}$ મળે છે.
ઉર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $[h] = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [M L^2 T^{-1}]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જ્યારે બ્લોક $m$ ને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) $F_B$ લાગે છે.
બેલેન્સ $A$ માટે,રીડિંગ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે. શરૂઆતમાં,$T = mg = 2 \, kg \cdot g$. જ્યારે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે $T = mg - F_B$. કારણ કે $F_B > 0$,તેથી બેલેન્સ $A$ નું રીડિંગ $2 \, kg$ કરતા ઓછું હશે.
બેલેન્સ $B$ માટે,તે બીકર દ્વારા પૅન પર લાગતું લંબબળ માપે છે. શરૂઆતમાં,તે બીકર અને પ્રવાહીનું વજન દર્શાવે છે. જ્યારે બ્લોકને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી બ્લોક પર ઉપરની તરફ $F_B$ બળ લગાડે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પ્રવાહી પર નીચેની તરફ એટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં $F_B$ બળ લગાડે છે. આમ,બેલેન્સ $B$ પર લાગતું કુલ નીચેની તરફનું બળ $F_B$ જેટલું વધે છે. તેથી,બેલેન્સ $B$ નું રીડિંગ $5 \, kg$ કરતા વધારે હશે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) સાંકળના લટકતા ભાગનું દળ $m = M/3$ છે।
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/3$ છે।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = l/2 = L/6$ અંતરે નીચે છે।
ટેબલની સપાટીની સાપેક્ષમાં લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mgh = -(M/3)g(L/6) = -MgL/18$ છે।
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે, બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોવું જોઈએ, જે $W = \Delta U = U_{final} - U_{initial} = 0 - (-MgL/18) = MgL/18$ છે।

(B) આપેલ છે: $\mu = 2 \, moles$,$(\Delta Q)_P = 70 \, cal$,$\Delta T = 35^{\circ}C - 30^{\circ}C = 5 \, K$,$R = 2 \, cal/mol \cdot K$.
અચળ દબાણે,પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = \mu C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $70 = 2 \times C_P \times 5$.
$70 = 10 \times C_P$,જે $C_P = 7 \, cal/mol \cdot K$ આપે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $C_P - C_V = R$.
$C_V = C_P - R = 7 - 2 = 5 \, cal/mol \cdot K$.
હવે,અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = \mu C_V \Delta T$ છે.
$(\Delta Q)_V = 2 \times 5 \times 5 = 50 \, cal$.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ રેખીય વેગમાન છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = p \times d$ છે,જ્યાં $d$ એ ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
અહીં,દળ $m$ અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહે છે.
ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર $d$ અચળ છે અને તે $a$ જેટલું છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L = mv \times a = mva$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે.

(D) જ્યારે બેટરી જોડાયેલી હોય ત્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે,એટલે કે $V = {V_0}$.
કેપેસિટન્સ $C$ એ $K$ ના ગુણાંકમાં વધે છે $(C = KC_0)$,તેથી પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV = K C_0 V_0 = K Q_0$ મુજબ વધે છે. આમ,$Q > {Q_0}$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V$ અને $d$ અચળ રહેતા હોવાથી,$E = {E_0}$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે. $C$ વધે છે અને $V$ અચળ રહે છે,તેથી $U$ વધે છે,એટલે કે $U > {U_0}$.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની હાજરીમાં $\overrightarrow{v}$ વેગથી ગતિ કરતા પ્રોટોન પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
પ્રોટોન અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,ચોખ્ખું બળ $\overrightarrow{F}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = 0$. પ્રોટોન સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
કિસ્સો $2$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$. જો $\overrightarrow{B}$ એ $\overrightarrow{v}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$ થાય,તેથી $\overrightarrow{F} = 0$.
કિસ્સો $3$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો જો $q\overrightarrow{E} = -q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ એટલે કે $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ હોય તો બળો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે. આ વેગ પસંદગીકાર (velocity selector) નો સિદ્ધાંત છે.
આમ,આપેલી તમામ શરતો શક્ય છે.

(C) લાંબા સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની નજીકની લૂપની બાજુ માટે,જે $r_1$ અંતરે છે,પ્રવાહ તારની દિશામાં જ વહે છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,આ બાજુ પર લાગતું બળ $F_1$ આકર્ષી (તાર તરફ) હોય છે.
તારથી દૂરની લૂપની બાજુ માટે,જે $r_2$ અંતરે છે,પ્રવાહ તારની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. આ બાજુ પર લાગતું બળ $F_2$ અપાકર્ષી (તારથી દૂર) હોય છે.
$r_1 < r_2$ હોવાથી,નજીકની બાજુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ દૂરની બાજુ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ કરતા વધારે હોય છે $(B_1 > B_2)$.
પરિણામે,આકર્ષી બળ $F_1$ એ અપાકર્ષી બળ $F_2$ કરતા વધારે હોય છે $(F_1 > F_2)$.
તેથી,પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2$ તાર તરફ લાગે છે,અને લૂપ તાર તરફ ગતિ કરશે.

(C) $X-$રે ટ્યુબમાં,ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે અને તે ધાતુના લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે.
આ પ્રક્રિયા બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ (બ્રેકિંગ રેડિયેશન) ને કારણે $X-$કિરણોનો સતત વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ધીમો પડે છે,તેમ તે $E = hf = hc/\lambda$ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાને અનુરૂપ હોય છે,$E_{max} = eV = hc/\lambda_{min}$.
તેથી,ઉત્સર્જિત $X-$રે વર્ણપટમાં આ લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min} = hc/eV$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી તમામ તરંગલંબાઇઓ હોય છે.
આમ,કિરણપુંજ ચોક્કસ લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ કરતા મોટી તમામ તરંગલંબાઇઓ ધરાવે છે.

(C) લાક્ષણિક $X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપાત ઇલેક્ટ્રોન પાસે ટાર્ગેટ પરમાણુની અંદરની કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી ઉર્જા હોવી આવશ્યક છે.
આ માટે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા તે કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની બંધન ઉર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
$V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સૌથી અંદરની કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે (બંધન ઉર્જા $E_b = 40 \text{ keV}$),શરત $eV > E_b$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$eV > 40 \text{ keV}$,જેનો અર્થ છે કે $V > 40 \text{ kV}$.

(A) લાક્ષણિક $X$-કિરણો ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતી કક્ષા (જેમ કે $L, M, N, \dots$ કક્ષાઓ) માંથી ઇલેક્ટ્રોન સૌથી અંદરની કક્ષા (એટલે કે $K$-કક્ષા) માં રહેલી ખાલી જગ્યામાં સંક્રમણ કરે છે.
ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક $X$-કિરણ ફોટોનની ઉર્જા સંક્રમણમાં સામેલ બે કક્ષાઓ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી હોય છે: $E_{X-ray} = E_{higher} - E_{lower}$.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર (જે $0 \, eV$ ની નજીક હોય છે) થી સૌથી અંદરની કક્ષામાં (જેની બંધન ઉર્જા $40 \, keV$ છે,એટલે કે તેનું ઉર્જા સ્તર $-40 \, keV$ છે) સંક્રમણ કરે છે,તેથી મુક્ત થતી ઉર્જા સૌથી અંદરની કક્ષાની બંધન ઉર્જા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,લાક્ષણિક $X$-કિરણોની ઉર્જા હંમેશા સૌથી અંદરના ઇલેક્ટ્રોનની બંધન ઉર્જા કરતા ઓછી હોય છે.

(B) ટ્રાયોડમાં,પ્લેટ પ્રવાહ કેથોડ $K$ માંથી પ્લેટ $P$ સુધી પહોંચતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે ગ્રીડ $G$ ને ધન સ્થિતિમાન આપવામાં આવે છે,ત્યારે તે કેથોડમાંથી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન પર આકર્ષણ બળ લગાડે છે,જે તેમને ગ્રીડની જાળીમાંથી પસાર થઈને પ્લેટ તરફ જવામાં મદદ કરે છે.
પ્લેટ $P$ એ પણ ધન સ્થિતિમાન પર હોવી જોઈએ જેથી તે આ ઇલેક્ટ્રોનને આકર્ષી શકે,તેથી ગ્રીડ અને પ્લેટ બંને ધન સ્થિતિમાન પર હોય ત્યારે પ્લેટ તરફ ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવાહ મહત્તમ થાય છે,જેનાથી પ્લેટ પ્રવાહ મહત્તમ બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બે લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રહે તે માટે,પ્રથમ લેન્સનું બીજું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એકબીજા પર સંપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $f_1 = 20 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ) અને $f_2 = -5 \, cm$ (અંતર્ગોળ લેન્સ).
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = f_1 + f_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 20 \, cm + (-5 \, cm) = 15 \, cm$ મળે છે.
આમ,અંતર $d$ નું મૂલ્ય $15 \, cm$ છે.