यदि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,तो समीकरणों $ax^2 + 2bx + c = 0$ और $dx^2 + 2ex + f = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल होगा यदि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ किसमें हैं?

दो भिन्न बहुपद $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $f(x)=x^2+ax+2$ और $g(x)=x^2+2x+a$। यदि समीकरणों $f(x)=0$ और $g(x)=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो समीकरण $f(x)+g(x)=0$ के मूलों का योग क्या है?

यदि $ax^2 + bx + c = 0$ और $bx^2 + cx + a = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है और $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = $

कथन-$I$: यदि $a, b, c \in R$ और समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ और $x^2 + 3x + 4 = 0$ का एक मूल उभयनिष्ठ है,तो $\frac{a+c}{b} = \frac{4}{3}$ है।
कथन-$II$: यदि $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ और $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ के दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं,तो $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$,जहाँ $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in R$ है।

यदि वास्तविक संख्या $a > 0$ जिसके लिए $x^2 - 5ax + 1 = 0$ और $x^2 - ax - 5 = 0$ का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल $\frac{3}{\sqrt{2\beta}}$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरणों $x^3+ax+1=0$ और $x^4+ax^2+1=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।