यदि f(x) = begin{cases} frac{sin([x])}{[x]}, | vedclass

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Question

(D) $\lim_{x 	o 0} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$LHL$ के लिए: $\lim_

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अस्तित्व में नहीं है

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(D) $\lim_{x 	o 0} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$LHL$ के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} f(x)$। जैसे $x 	o 0^-$,$x$ का मान $0$ से थोड़ा कम है,इसलिए $[x] = -1$।अतः,$f(x) = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$।इसलिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \sin(1)$।$RHL$ के लिए: $\lim_{x 	o 0^+} f(x)$। जैसे $x 	o 0^+$,$x$ अंतराल $[0, 1)$ में है,इसलिए $[x] = 0$।$f(x)$ की परिभाषा के अनुसार,जब $[x] = 0$,तो $f(x) = 0$।इसलिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 0$।चूँकि $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \sin(1)$ और $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 0$,वाम पक्ष सीमा दक्षिण पक्ष सीमा के बराबर नहीं है।इसलिए,$\lim_{x 	o 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin([x])}{[x]}, & \text{जब } [x] \neq 0 \\ 0, & \text{जब } [x] = 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $\lim_{x \to 0} f(x) = $

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{2 x}-2^{x+1}+2-\cos 2 x}{x^2} = $

यदि $|x| < 1$ है,तो $\lim_{n \to \infty} \{(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dots (1 + x^{2^n})\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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