IIT JEE 1985 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $z_1, z_2, z_3$ એ $A.P.$ માં રહેલી ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ છે.
તેથી $2z_2 = z_1 + z_3$.
આ સૂચવે છે કે $z_2 = \frac{z_1 + z_3}{2}$.
આમ,સંકર સંખ્યા $z_2$ એ $z_1$ અને $z_3$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,ત્રણેય બિંદુઓ $z_1, z_2$ અને $z_3$ સમરેખ છે અને સંકર સમતલમાં એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(D) આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$,તેથી ${z_1} = \cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}$ અને ${z_2} = \cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}$ મળે.
અહીં $a = \cos {\theta _1}, b = \sin {\theta _1}, c = \cos {\theta _2}, d = \sin {\theta _2}$ છે.
$R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ હોવાથી,$\cos({\theta _1} - {\theta _2}) = 0$ મળે,એટલે કે ${\theta _1} - {\theta _2} = \pm \frac{\pi }{2}$.
હવે,$|{w_1}|^2 = a^2 + c^2 = \cos^2 {\theta _1} + \cos^2 {\theta _2} = \cos^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _1} = 1$,તેથી $|{w_1}| = 1$.
તે જ રીતે,$|{w_2}|^2 = b^2 + d^2 = \sin^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _2} = 1$,તેથી $|{w_2}| = 1$.
અંતે,$R({w_1}\overline {{w_2}} ) = ab + cd = \cos {\theta _1}\sin {\theta _1} + \cos {\theta _2}\sin {\theta _2} = 0$ સાબિત થાય છે.
તેથી,ઉપરોક્ત તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $A.P.$,$G.P.$ અને $H.P.$ ના પ્રથમ અને $(2n - 1)^{th}$ પદો છે.
$A.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) અને (iii) પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ એ $\alpha$ અને $\beta$ ના સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
તેથી,$a \ge b \ge c$,જે વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
તેથી,$ac - b^2 = 0$,જે વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) $P(x) = 0$ અને $Q(x) = 0$ ના વિવેચકો અનુક્રમે $D_1$ અને $D_2$ છે.
$D_1 = b^2 - 4ac$ અને $D_2 = d^2 + 4ac$.
વિવેચકોનો સરવાળો: $D_1 + D_2 = b^2 + d^2$.
$b^2 \ge 0$ અને $d^2 \ge 0$ હોવાથી,$D_1 + D_2 \ge 0$.
જો $D_1 < 0$ અને $D_2 < 0$ હોય,તો $D_1 + D_2 < 0$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,$D_1$ અથવા $D_2$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $0$ કે તેથી મોટું હોવું જોઈએ.
આમ,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ એ $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ બને છે.
આને $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે પુનરાવર્તિત બીજ $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ આપે છે.
આ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે $dx^2 + 2ex + f = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ મૂકતા,આપણને $d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ મળે છે.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$ મળે છે.
$b = \sqrt{ac}$ હોવાથી,આ $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ બને છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n, n+1, n+2, \dots, n+r-1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)\dots(n+r-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n+r-1$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણક $\binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ દ્વારા મળે છે.
આને $\frac{(n+r-1)(n+r-2)\dots(n)}{r!} = \binom{n+r-1}{r}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જેથી $\binom{n+r-1}{r}$ હંમેશા પૂર્ણાંક હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે ગુણાકાર $n(n+1)\dots(n+r-1)$ એ $r!$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપણે સૂત્ર $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ અને $n = 4$.
$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$
$= \frac{\sin \frac{32\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$
કારણ કે $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,તેથી $\sin \frac{32\pi}{15} = \sin \frac{2\pi}{15}$.
$= \frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(A) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $l$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં,સીડી સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. દીવાલથી સમક્ષિતિજ અંતર $PA = l \cos \alpha$ છે અને ઊભું અંતર $AB = l \sin \alpha$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,સીડી સમક્ષિતિજ સાથે $\beta$ ખૂણો બનાવે છે. દીવાલથી સમક્ષિતિજ અંતર $QA = l \cos \beta$ છે અને ઊભું અંતર $AC = l \sin \beta$ છે.
સીડીનો પાયો $x = QA - PA = l(\cos \beta - \cos \alpha)$ અંતર જેટલો દૂર ખેંચાય છે.
સીડી $y = AB - AC = l(\sin \alpha - \sin \beta)$ અંતર જેટલી નીચે સરકે છે.
હવે,$\frac{y}{x}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y}{x} = \frac{l(\sin \alpha - \sin \beta)}{l(\cos \beta - \cos \alpha)} = \frac{2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}$
$\frac{y}{x} = \cot \frac{\alpha + \beta}{2}$
તેથી,$x = y \tan \frac{\alpha + \beta}{2}$.

(A) રેખાઓ $L_1: x + y - 1 = 0$,$L_2: 2x + 3y - 6 = 0$ અને $L_3: 4x - y + 4 = 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ થી $A = (-3, 4)$ મળે છે.
$2$. $L_2$ અને $L_3$ થી $B = (-\frac{3}{7}, \frac{16}{7})$ મળે છે.
$3$. $L_1$ અને $L_3$ થી $C = (-\frac{3}{5}, \frac{8}{5})$ મળે છે.
વેધના સમીકરણો શોધતા:
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ: $x + 4y = 13$.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ: $7x - 7y = -19$.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા લંબકેન્દ્ર $(\frac{3}{7}, \frac{22}{7})$ મળે છે,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.

(C) આપેલ રેખાઓ છે:
$ax + by + c = 0$ $(i)$
$bx + cy + a = 0$ $(ii)$
$cx + ay + b = 0$ $(iii)$
ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$
તેથી,$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ થાય છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = xh + yk - (x + h)$ અને $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ છે.
તેથી,જીવાનું સમીકરણ $xh + yk - (x + h) = h^2 + k^2 - 2h$ છે.
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$0(h) + 0(k) - (0 + h) = h^2 + k^2 - 2h$
$-h = h^2 + k^2 - 2h$
$h^2 + k^2 - h = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $(4, 5)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{4^2 + 5^2 - 4(4) - 2(5) - 11} = 2$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= L \times r = 2 \times 4 = 8 \text{ sq. units}$.

(A) ધારો કે $(x', y')$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ માટે $(x', y')$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x x' + y y' - (x + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$0 + 0 - (0 + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$-x' = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$x'^2 + y'^2 - x' = 0$
$(x', y')$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ મળે છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) $\lim_{x \to 0} f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ છીએ.
$LHL$ માટે: $\lim_{x \to 0^-} f(x)$. જેમ $x \to 0^-$,$x$ એ $0$ થી થોડું નાનું છે,તેથી $[x] = -1$.
આમ,$f(x) = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$.
તેથી,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(1)$.
$RHL$ માટે: $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. જેમ $x \to 0^+$,$x$ એ અંતરાલ $[0, 1)$ માં છે,તેથી $[x] = 0$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યારે $[x] = 0$,ત્યારે $f(x) = 0$.
તેથી,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(1)$ અને $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$,ડાબી બાજુનું લક્ષ એ જમણી બાજુના લક્ષ જેટલું નથી.
તેથી,$\lim_{x \to 0} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આપેલ શરત $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ મળે છે.
જોકે,$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ હોય તેવા કિસ્સામાં,તેનો અર્થ એ થાય છે કે $P(A \setminus B) = 0$ અને $P(B \setminus A) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) = P(A \cap B) = P(B)$.
તેથી,સાચો સંબંધ $P(A) = P(B)$ છે.

(A) આપણને નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \\ b & b^2 & b^3 + 1 \\ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} \right|$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ નિશ્ચાયક સાથે મેળ ખાવા માટે સ્તંભોની અદલાબદલી કરો: $C_3 \leftrightarrow C_2$ અને પછી $C_2 \leftrightarrow C_1$. આનાથી બે વાર ચિહ્ન બદલાશે,તેથી ચિહ્ન ધન જ રહેશે:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = (1 + abc) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય $(a - b)(b - c)(c - a)$ છે.
આમ,$\Delta = (1 + abc)(a - b)(b - c)(c - a) = 0$.
કારણ કે $a, b, c$ અસમાન છે,તેથી $(a - b)(b - c)(c - a) \neq 0$.
તેથી,શરત $1 + abc = 0$ છે.

(B) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નિશ્ચાયકો સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાનો અર્થ એ નથી કે ત્રિકોણ એકરૂપ કે સમરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારને $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી $[a, b, c] \neq 0$.
આપણે અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $[c, a, b] = [a, b, c]$ અને $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(C) વિધેય $f(x) = x(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})$ એ $\sqrt{x}$ પદને કારણે $x \ge 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x < 0$ માટે,$\sqrt{x}$ પદ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત નથી.
કારણ કે વિધેય કોઈપણ $\delta > 0$ માટે પડોશ $(-\delta, 0)$ માં વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી તે $x = 0$ આગળ સતત હોઈ શકે નહીં.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈ બિંદુએ વિકલનીય હોવા માટે વિધેયનું તે બિંદુએ સતત હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(C) $x$ ની સાપેક્ષમાં $\log(\log x)$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $y = \log(\log x)$.
સાંકળના નિયમ મુજબ,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{d(\log x)} \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx} \log x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{du} \log u = \frac{1}{u}$ અને $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$.
આને $(x \log x)^{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{x}(\log x)$.
આધાર પરિવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{\left(\frac{d}{dx}(\log(\log x))\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{d}{dx}(\log x))}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{1}{x})}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{x(\log x)^2}$.
હવે,$x = e$ આગળ $f'(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f'(e) = \frac{1 - \log(\log e)}{e(\log e)^2}$.
કારણ કે $\log e = 1$ અને $\log(1) = 0$,તેથી:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{e(1)^2} = \frac{1}{e}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^5}{\sqrt{1 + x^3}} dx$.
$1 + x^3 = t^2$ લેતા,$3x^2 dx = 2t dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{2}{3} t dt$.
વળી,$x^3 = t^2 - 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{x^3 \cdot x^2 dx}{\sqrt{1 + x^3}} = \int \frac{(t^2 - 1) \cdot \frac{2}{3} t dt}{t}$
$I = \frac{2}{3} \int (t^2 - 1) dt$
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + c$
$I = \frac{2}{9} t^3 - \frac{2}{3} t + c$
કારણ કે $t = (1 + x^3)^{1/2}$,તેથી:
$I = \frac{2}{9} (1 + x^3)^{3/2} - \frac{2}{3} (1 + x^3)^{1/2} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cos x \sin x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ .....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$
ધારો કે $\tan^2 x = t$,તેથી $2 \tan x \sec^2 x \, dx = dt$,એટલે કે $\tan x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi {e^{\cos^2(\pi - x)} \cos^3((2n + 1)(\pi - x))} \, dx$.
કારણ કે $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$.
વળી,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cos((2n + 1)x) + \sin((2n + 1)\pi) \sin((2n + 1)x)$.
કારણ કે $(2n + 1)$ એક એકી પૂર્ણાંક છે,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ અને $\sin((2n + 1)\pi) = 0$.
તેથી,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = -\cos((2n + 1)x)$.
તેથી,$\cos^3((2n + 1)(\pi - x)) = (-\cos((2n + 1)x))^3 = -\cos^3((2n + 1)x)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n + 1)x)) \, dx = -I$ મળે છે.
$2I = 0 \implies I = 0$.

(D) ધારો કે $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
આપેલ છે કે $a \cdot b = 3$,તેથી $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$.
આપેલ છે કે $a \times b = c$,જ્યાં $a = (1, 1, 1)$ અને $c = (0, 1, -1)$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$.
આને $c = (0, 1, -1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ પરથી,$b_2 = b_3$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$b_1 + 2b_2 = 3$.
$(iii)$ પરથી,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$.
$b_1$ ની કિંમત $b_1 + 2b_2 = 3$ માં મૂકતા,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,તેથી $3b_2 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $b_2 = \frac{2}{3}$.
તેથી $b_3 = \frac{2}{3}$ અને $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$.

(A) આપેલ છે કે સદિશો $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,અને $(1, c, c^2)$ અસમતલીય છે,તેથી આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
આપણને સમીકરણ આપેલ છે:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,હારમાંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
નોંધો કે $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (બે સ્તંભોની અદલાબદલી કર્યા પછી).
તેથી,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,$1 + abc = 0$,જેનો અર્થ છે કે $abc = -1$.

(A) ધારો કે $x = \cos^2 \theta$. તેથી $dx = -2 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta$
$= \int \tan(\theta/2) (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} (-4 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \cos \theta) \, d\theta$
$= -4 \int \sin^2(\theta/2) \cos \theta \, d\theta = -2 \int (1 - \cos \theta) \cos \theta \, d\theta$
$= -2 \int (\cos \theta - \cos^2 \theta) \, d\theta = -2 \int \cos \theta \, d\theta + \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$
$= -2 \sin \theta + \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + c = \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \sin \theta + c$
અહીં $x = \cos^2 \theta$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{x}$ અને $\sin \theta = \sqrt{1 - x}$ મળે.
કિંમતો પાછી મૂકતા: $\cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} + c = \cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x}(\sqrt{x} - 2) + c$.

(D) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે ટિકિટો પરનો મહત્તમ નંબર $\le 10$ છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે ટિકિટો પરનો ન્યૂનતમ નંબર $5$ છે. આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે $n(A)$ શોધીએ,જે એવી રીતે બે અલગ ટિકિટો પસંદ કરવાની રીતો છે કે જેથી બંને $\le 10$ હોય. $10$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
આગળ,આપણે $n(A \cap B)$ શોધીએ,જે એવી રીતે બે ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો છે કે જેથી મહત્તમ $\le 10$ હોય અને ન્યૂનતમ $5$ હોય. આનો અર્થ એ છે કે એક ટિકિટ $5$ હોવી જોઈએ,અને બીજી ટિકિટ $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ ગણમાં હોવી જોઈએ.
આવી $5$ જોડીઓ છે: $(5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10)$.
તેથી,$n(A \cap B) = 5$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$ છે.
આમ,સાચો જવાબ $(D)$ આમાંથી કોઈ નહીં છે.