int_0^{pi /2} frac{x sin x cos x}{cos^4 x + s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cos x \sin x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ .....$(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{	an x \sec^2 x}{1 + 	an^4 x} \, dx$ધારો કે $	an^2 x = t$,તેથી $2 	an x \sec^2 x \, dx = dt$,એટલે કે $	an x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t 	o \infty$.$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{\pi}{8} [	an^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

$\int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx = $

Similar Questions

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$,જો $f(x) = f(a-x)$ અને $g(x) + g(a-x) = 4$ હોય.

ધારો કે $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$,જ્યાં $R > 0$. તો,

$\frac{\int_{0}^{\pi/2} (x \cos x + 1) e^{\sin x} dx}{\int_{0}^{\pi/2} (x \sin x + 1) e^{\cos x} dx}$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય - ની બરાબર છે.

જો $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,હોય,તો
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module