IIT JEE 1981 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को एक ही मध्य बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $\frac{z_1 + z_3}{2}$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $\frac{z_2 + z_4}{2}$ है।
चूंकि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ होगा।
अतः,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$।

(C) मान लीजिए $r$ समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या है और $\omega$ इकाई का घनमूल है। मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A, B$ और $C$ क्रमशः $z_1, z_2$ और $z_3$ हैं,और परिकेंद्र $O'(z_0)$ है।
सदिश $O'A, O'B, O'C$ परिमाण में समान हैं और $\frac{2\pi}{3}$ के कोण से अलग हैं।
तब,हम लिख सकते हैं:
$z_1 - z_0 = r e^{i\theta}$
$z_2 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})} = r \omega e^{i\theta}$
$z_3 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})} = r \omega^2 e^{i\theta}$
अतः,$z_1 = z_0 + r e^{i\theta}$,$z_2 = z_0 + r \omega e^{i\theta}$,और $z_3 = z_0 + r \omega^2 e^{i\theta}$.
इनका वर्ग करके जोड़ने पर:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (z_0 + r e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega^2 e^{i\theta})^2$
$= 3z_0^2 + 2 z_0 r e^{i\theta} (1 + \omega + \omega^2) + r^2 e^{i2\theta} (1 + \omega^2 + \omega^4)$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$.

(A) चूँकि गुणांक $p$ और $q$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $x_1 = 2 + i\sqrt{3}$ है,इसलिए दूसरा मूल $x_2 = 2 - i\sqrt{3}$ होगा।
द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $x_1 + x_2 = (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $-p$ है। इसलिए,$-p = 4$,जिसका अर्थ है $p = -4$।
मूलों का गुणनफल $x_1 \times x_2 = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 7$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का गुणनफल $q$ है। इसलिए,$q = 7$।
अतः,$(p, q) = (-4, 7)$।

(C) मान लीजिए कि बक्से $A, B, C$ हैं। हमें यह सुनिश्चित करना है कि कोई भी बक्सा खाली न रहे और सभी पाँच गेंदें रखी जाएं।
$5$ गेंदों को $3$ बक्सों में इस प्रकार बांटने की दो संभावनाएं हैं कि कोई भी बक्सा खाली न रहे:
$(i)$ दो बक्सों में $1-1$ गेंद और तीसरे बक्से में $3$ गेंदें हों।
गेंदों को चुनने के तरीके $^5C_1 \times ^4C_1 \times ^3C_3 = 5 \times 4 \times 1 = 20$ हैं।
चूंकि $3$ गेंदों वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस मामले के लिए कुल तरीके $20 \times 3 = 60$ हैं।
$(ii)$ दो बक्सों में $2-2$ गेंदें और तीसरे बक्से में $1$ गेंद हो।
गेंदों को चुनने के तरीके $^5C_2 \times ^3C_2 \times ^1C_1 = 10 \times 3 \times 1 = 30$ हैं।
चूंकि $1$ गेंद वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस मामले के लिए कुल तरीके $30 \times 3 = 90$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $60 + 90 = 150$ है।

(B) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = 1$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है।
अतः,$\theta + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$।

(D) माना त्रिभुज के कोण $A-d, A, A+d$ हैं। त्रिभुज के कोणों का योग $180^o$ होता है,इसलिए $(A-d) + A + (A+d) = 180^o$,जिसका अर्थ है $3A = 180^o$,अतः $A = 60^o$।
दिया गया है $b:c = \sin B : \sin C = \sqrt{3} : \sqrt{2}$।
कोणों को $B-d, B, B+d$ मानने पर,$B = 60^o$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$B = 60^o$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin 60^o}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
यह $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ में सरल होता है,इसलिए $C = 45^o$।
चूंकि $A+B+C = 180^o$,हमारे पास $A + 60^o + 45^o = 180^o$ है,जिससे $A = 75^o$ प्राप्त होता है।

(B) माना $ABCD$ एक आयत है जिसके सम्मुख शीर्ष $A(1, 3)$ और $C(5, 1)$ हैं।
चूंकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य बिंदु है।
$AC$ का मध्य बिंदु $= \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (3, 2)$.
अन्य दो शीर्ष $B$ और $D$ रेखा $y = 2x + c$ पर स्थित हैं। चूंकि विकर्ण $BD$ विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ को रेखा $y = 2x + c$ पर स्थित होना चाहिए।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 2(3) + c$
$2 = 6 + c$
$c = 2 - 6 = -4$.
अतः,$c$ का मान $-4$ है।

(C) समीकरण $|x| + |y| = 1$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,और $(0, -1)$ हैं।
क्रमागत शीर्षों (जैसे $(1, 0)$ और $(0, 1)$) के बीच की दूरी भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,क्षेत्रफल $= (\sqrt{2})^2 = 2$ वर्ग इकाई है।
वैकल्पिक रूप से,$|x| + |y| = a$ द्वारा निर्मित वर्ग का क्षेत्रफल $2a^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए क्षेत्रफल $2(1)^2 = 2$ है।

(C) माना बिंदु $P(4, 3)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ है। त्रिज्या $r = 3$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ है,जो $4x + 3y = 9$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ है।
$\triangle OAQ$ में,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।
दूरी $PQ$ बिंदु $P(4, 3)$ से रेखा $4x + 3y - 9 = 0$ की दूरी है,जो $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(A) चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\Delta PQC$ और $\Delta PRC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $(PQCR) = 2 \times \text{Area}(\Delta PQC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times PQ \times QC) = PQ \times r$.
यहाँ,$r$ वृत्त की त्रिज्या है और $PQ$ बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा की लंबाई है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ है।
केंद्र $C$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1 + 4 + 20} = 5$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{225} = 15$.
अतः,चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल $= 15 \times 5 = 75 \text{ sq. units}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{1 - r} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ जहाँ $r > 1$ है।
चूँकि $r > 1$,मान लीजिए $r - 1 = p$,जहाँ $p > 0$ है। अतः $1 - r = -p$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{x^2}{-p} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{1 + r} = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि दो वर्गों का योग धनात्मक स्थिरांकों से विभाजित होकर एक ऋणात्मक मान $(-1)$ देता है,इसलिए कोई भी वास्तविक $(x, y)$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,यह समीकरण एक काल्पनिक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(C) माना $O(S)$ समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या है।
प्रत्येक अवयव $10$ $A_i$ में स्थित है,इसलिए $10 \times O(S) = \sum_{i=1}^{30} O(A_i) = 30 \times 5 = 150$।
अतः,$O(S) = \frac{150}{10} = 15$।
इसी प्रकार,प्रत्येक अवयव $9$ $B_j$ में स्थित है,इसलिए $9 \times O(S) = \sum_{j=1}^{n} O(B_j) = n \times 3 = 3n$।
$9 \times 15 = 3n$ का उपयोग करने पर,$135 = 3n$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 45$।

(B) दिया गया सर्वसमिका $p{\lambda ^4} + q{\lambda ^3} + r{\lambda ^2} + s\lambda + t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + 3\lambda }&{\lambda - 1}&{\lambda + 3}\\{\lambda + 1}&{2 - \lambda }&{\lambda - 4}\\{\lambda - 3}&{\lambda + 4}&{3\lambda }\end{array}} \right|$ है।
चूंकि यह $\lambda$ में एक सर्वसमिका है,इसलिए यह $\lambda$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
$t$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $\lambda = 0$ रखते हैं:
$t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}&3\\1&2&{ - 4}\\{ - 3}&4&0\end{array}} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$t = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - (-6))$
$t = 0 + 1(-12) + 3(10)$
$t = -12 + 30 = 18$.
अतः,$t$ का मान $18$ है।

(B) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\cos \left[ \cos^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}\frac{1}{5} + \sin^{-1}\frac{1}{5} \right]$ है।
गुणधर्म का उपयोग करने पर,यह सरल होकर $\cos \left[ \frac{\pi}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{5} \right]$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $-\sin \left( \cos^{-1}\frac{1}{5} \right)$।
मान लीजिए $\cos^{-1}\frac{1}{5} = \alpha$,तो $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ होगा।
तब $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ होगा।
अतः,अभिव्यक्ति का मान $-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ है।

(D) हमें व्यंजक $a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ दिया गया है।
क्रॉस उत्पाद के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने पर:
$(b + c) \times (a + b + c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस उत्पाद शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)$.
अब,$a$ के साथ डॉट उत्पाद लेने पर:
$a \cdot [(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (c \times b)$.
इसे अदिश त्रिक गुणन के रूप में लिखने पर:
$[a \, b \, a] + [a \, b \, c] + [a \, c \, a] + [a \, c \, b]$.
अदिश त्रिक गुणन में,यदि कोई भी दो सदिश समान हों,तो उसका मान $0$ होता है। अतः,$[a \, b \, a] = 0$ और $[a \, c \, a] = 0$.
साथ ही,$[a \, c \, b] = -[a \, b \, c]$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 + [a \, b \, c] + 0 - [a \, b \, c] = 0$.

(A) $f(x)$ को $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + x^2 - 16x + 20}{(x - 2)^2}$।
चूंकि $x = 2$ रखने पर $\frac{0}{0}$ का अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है,इसलिए हम अंश का गुणनखंड करते हैं।
बहुपद विभाजन द्वारा,$x^3 + x^2 - 16x + 20 = (x - 2)^2(x + 5)$।
अतः,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)^2(x + 5)}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2} (x + 5) = 2 + 5 = 7$।
इसलिए,$k = 7$।

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।
$y = 0$ रखने पर,हमें $f(x + 0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = f(x)f(0)$। चूंकि $f(5) = 2$,$f(x)$ शून्य नहीं है,इसलिए $f(0) = 1$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$।
$f(x + h) = f(x)f(h)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$,यह $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ हो जाता है।
दिया गया है कि $f(5) = 2$ और $f'(0) = 3$,इसलिए $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$।

(D) हमें समाकलन $I = \int_0^1 (1 + e^{-x^2}) \,dx$ दिया गया है।
निश्चित समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करके,हम इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_0^1 1 \,dx + \int_0^1 e^{-x^2} \,dx$.
पहला भाग $\int_0^1 1 \,dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$ है।
दूसरा भाग $\int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ है।
फलन $e^{-x^2}$ का कोई प्राथमिक प्रति-अवकलज (antiderivative) नहीं है। इसलिए,समाकलन $\int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ को सरल बीजगणितीय या पारलौकिक फलनों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,समाकलन का मान $1 + \int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A, B,$ या $C$ इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण से,$4y = x + 2$। इसे परवलय के समीकरण ${x^2} = 4y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^2} = x + 2$
${x^2} - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 2$ और $x = -1$।
जब $x = 2$,$4y = 4 \implies y = 1$। बिंदु $A(2, 1)$।
जब $x = -1$,$4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$। बिंदु $B(-1, \frac{1}{4})$।
वांछित क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \, \text{sq. unit}$.

(B) मान लीजिए $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$ है।
दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$ है।
इसका अर्थ है $\int_0^2 f(x) \, dx - \int_0^1 f(x) \, dx = 0$,जो सरल होकर $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$ हो जाता है।
चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है और अंतराल $(1, 2)$ पर इसका समाकलन शून्य है,इसलिए $f(x)$ को अंतराल $(1, 2)$ में अपना चिह्न बदलना होगा,जब तक कि सभी $x \in (1, 2)$ के लिए $f(x) = 0$ न हो।
चूंकि $a, b, c$ शून्येतर हैं,$ax^2 + bx + c$ सर्वसम शून्य नहीं है। साथ ही,सभी $x$ के लिए $(1 + \cos^8 x) \ge 1 > 0$ है।
अतः,$f(x)$ को $(1, 2)$ में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होंगे।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(1, 2)$ में कम से कम एक $x_0$ ऐसा मौजूद है कि $f(x_0) = 0$ हो।
चूंकि $(1 + \cos^8 x) \neq 0$,इसलिए $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ होना चाहिए।
अतः,द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(1, 2)$ में कम से कम एक मूल है,जो $(0, 2)$ में निहित है।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि फलक $1$ ऊपर आता है और $E_2$ वह घटना है कि फलक $2$ ऊपर आता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = 0.1$ और $P(E_2) = 0.32$ हैं।
हमें दिया गया है कि या तो फलक $1$ या $2$ ऊपर आया है। मान लीजिए यह घटना $A = E_1 \cup E_2$ है।
चूँकि $E_1$ और $E_2$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$P(A) = P(E_1) + P(E_2) = 0.1 + 0.32 = 0.42$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 | A)$ ज्ञात करनी है,जो कि यह प्रायिकता है कि फलक $1$ ऊपर आया है,यह देखते हुए कि $1$ या $2$ में से कोई एक फलक ऊपर आया है।
$P(E_1 | A) = \frac{P(E_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E_1)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.42}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$।

(A) माना $s^2 = \frac{a+b+c}{abc}$ है। तब व्यंजक $\theta = \tan^{-1}\sqrt{a^2 s^2} + \tan^{-1}\sqrt{b^2 s^2} + \tan^{-1}\sqrt{c^2 s^2}$ हो जाता है।
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक हैं,$\theta = \tan^{-1}(as) + \tan^{-1}(bs) + \tan^{-1}(cs)$।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \tan^{-1}\left(\frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{as+bs+cs - (as)(bs)(cs)}{1 - (asbs + bscs + csas)} = \frac{s(a+b+c) - s^3(abc)}{1 - s^2(ab+bc+ca)}$।
$s^2 = \frac{a+b+c}{abc}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $s^2(abc) = a+b+c$:
$\tan \theta = \frac{s(a+b+c) - s(s^2 abc)}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = \frac{s(a+b+c) - s(a+b+c)}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = \frac{0}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = 0$।
वैकल्पिक रूप से,$a=b=c=1$ लेने पर,$\theta = \tan^{-1}\sqrt{3} + \tan^{-1}\sqrt{3} + \tan^{-1}\sqrt{3} = 3 \times 60^\circ = 180^\circ = \pi$। अतः,$\tan \theta = \tan \pi = 0$।

(C) दिया गया है कि $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$ है।
चूँकि $a$ और $(b + c)$ परस्पर लंबवत हैं,$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
चूँकि $b$ और $(c + a)$ परस्पर लंबवत हैं,$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
चूँकि $c$ और $(a + b)$ परस्पर लंबवत हैं,$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$a + b + c$ का मापांक इस प्रकार है:
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a + b + c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0)$
$|a + b + c|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|a + b + c| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) दिया गया है $y = a \log |x| + b x^2 + x$.
चूंकि $\frac{d}{dx} \log |x| = \frac{1}{x}$ सभी $x \neq 0$ के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होना चाहिए।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$ (समीकरण $1$).
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = -\frac{1}{2}$।