IIT JEE 1981 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_1 + z_3}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_2 + z_4}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ થાય.
તેથી,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$.

(C) ધારો કે $r$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. ધારો કે $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે $z_1, z_2$ અને $z_3$ છે અને પરિકેન્દ્ર $O'(z_0)$ છે.
સદિશો $O'A, O'B, O'C$ ના મૂલ્યો સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$z_1 - z_0 = r e^{i\theta}$
$z_2 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})} = r \omega e^{i\theta}$
$z_3 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})} = r \omega^2 e^{i\theta}$
આમ,$z_1 = z_0 + r e^{i\theta}$,$z_2 = z_0 + r \omega e^{i\theta}$,અને $z_3 = z_0 + r \omega^2 e^{i\theta}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (z_0 + r e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega^2 e^{i\theta})^2$
$= 3z_0^2 + 2 z_0 r e^{i\theta} (1 + \omega + \omega^2) + r^2 e^{i2\theta} (1 + \omega^2 + \omega^4)$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$.

(A) કારણ કે સહગુણકો $p$ અને $q$ વાસ્તવિક છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $x_1 = 2 + i\sqrt{3}$ છે,તેથી બીજું બીજ $x_2 = 2 - i\sqrt{3}$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,બીજોનો સરવાળો $x_1 + x_2 = (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$ થાય.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજોનો સરવાળો $-p$ છે. તેથી,$-p = 4$,જેનો અર્થ છે કે $p = -4$.
બીજોનો ગુણાકાર $x_1 \times x_2 = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 7$ થાય.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજોનો ગુણાકાર $q$ છે. તેથી,$q = 7$.
આમ,$(p, q) = (-4, 7)$.

(C) ધારો કે બોક્સ $A, B, C$ છે. આપણે ખાતરી કરવી પડશે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે અને પાંચેય દડા મૂકવામાં આવે.
$5$ દડાઓને $3$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની બે શક્યતાઓ છે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે:
$(i)$ બે બોક્સમાં $1-1$ દડો અને ત્રીજા બોક્સમાં $3$ દડા હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો $^5C_1 \times ^4C_1 \times ^3C_3 = 5 \times 4 \times 1 = 20$ છે.
કારણ કે $3$ દડા ધરાવતું બોક્સ $3$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $20 \times 3 = 60$ છે.
$(ii)$ બે બોક્સમાં $2-2$ દડા અને ત્રીજા બોક્સમાં $1$ દડો હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો $^5C_2 \times ^3C_2 \times ^1C_1 = 10 \times 3 \times 1 = 30$ છે.
કારણ કે $1$ દડો ધરાવતું બોક્સ $3$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $30 \times 3 = 90$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $60 + 90 = 150$ છે.

(B) આપેલ છે $\sin \theta + \cos \theta = 1$.
બંને બાજુ $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A-d, A, A+d$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ હોવાથી,$(A-d) + A + (A+d) = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $3A = 180^o$,તેથી $A = 60^o$.
આપેલ છે કે $b:c = \sin B : \sin C = \sqrt{3} : \sqrt{2}$.
ખૂણાઓ $B-d, B, B+d$ લેતા,$B = 60^o$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$B = 60^o$ મૂકતા,$\frac{\sin 60^o}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આથી $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^o$.
$A+B+C = 180^o$ હોવાથી,$A + 60^o + 45^o = 180^o$,જે $A = 75^o$ આપે છે.

(B) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેના સામસામેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$ અને $C(5, 1)$ છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણોનું છેદબિંદુ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (3, 2)$.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ રેખા $y = 2x + c$ પર આવેલા છે. વિકર્ણ $BD$ એ વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુ $(3, 2)$ એ રેખા $y = 2x + c$ પર હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 2(3) + c$
$2 = 6 + c$
$c = 2 - 6 = -4$.
આમ,$c$ ની કિંમત $-4$ છે.

(C) સમીકરણ $|x| + |y| = 1$ એ $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે.
ક્રમિક શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (દા.ત.,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$) એ બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= (\sqrt{2})^2 = 2$ ચોરસ એકમ.
વૈકલ્પિક રીતે,$|x| + |y| = a$ દ્વારા બનતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2a^2$ છે. અહીં $a = 1$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $2(1)^2 = 2$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(4, 3)$ છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ છે. ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
સ્પર્શક જીવાની સમીકરણ $AB$ એ $T = 0$ છે,જે $4x + 3y = 9$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ છે.
$\triangle OAQ$ માં,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ છે.
સ્પર્શક જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ છે.
અંતર $PQ$ એ બિંદુ $P(4, 3)$ થી રેખા $4x + 3y - 9 = 0$ નું અંતર છે,જે $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(A) ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQC$ અને $\Delta PRC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $(PQCR) = 2 \times \text{Area}(\Delta PQC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times PQ \times QC) = PQ \times r$.
અહીં,$r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $PQ$ એ બિંદુ $P$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1 + 4 + 20} = 5$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{225} = 15$.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 15 \times 5 = 75 \text{ sq. units}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2}{1 - r} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ જ્યાં $r > 1$.
$r > 1$ હોવાથી,ધારો કે $r - 1 = p$,જ્યાં $p > 0$. તેથી $1 - r = -p$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{x^2}{-p} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{1 + r} = -1$.
બે વર્ગોનો સરવાળો ધન અચળાંકો વડે ભાગતા ઋણ કિંમત $(-1)$ મળે છે,તેથી કોઈ પણ વાસ્તવિક $(x, y)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરતા નથી.
તેથી,આ સમીકરણ એક કાલ્પનિક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ નિત્યસમ $p{\lambda ^4} + q{\lambda ^3} + r{\lambda ^2} + s\lambda + t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + 3\lambda }&{\lambda - 1}&{\lambda + 3}\\{\lambda + 1}&{2 - \lambda }&{\lambda - 4}\\{\lambda - 3}&{\lambda + 4}&{3\lambda }\end{array}} \right|$ છે.
આ $\lambda$ માં એક નિત્યસમ હોવાથી,તે $\lambda$ ની દરેક કિંમત માટે સાચું છે.
$t$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $\lambda = 0$ મૂકીએ:
$t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}&3\\1&2&{ - 4}\\{ - 3}&4&0\end{array}} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$t = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - (-6))$
$t = 0 + 1(-12) + 3(10)$
$t = -12 + 30 = 18$.
આમ,$t$ ની કિંમત $18$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $\cos \left[ \cos^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}\frac{1}{5} + \sin^{-1}\frac{1}{5} \right]$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિ $\cos \left[ \frac{\pi}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{5} \right]$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta$,તેથી આપણને મળે: $-\sin \left( \cos^{-1}\frac{1}{5} \right)$.
ધારો કે $\cos^{-1}\frac{1}{5} = \alpha$,તો $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ થાય.
તેથી $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ થાય છે.

(D) આપણને પદ $a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,કૌંસમાં રહેલા પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(b + c) \times (a + b + c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$),પદ આ મુજબ સાદું થાય છે:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)$.
હવે,$a$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$a \cdot [(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (c \times b)$.
આને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સ્વરૂપમાં લખતા:
$[a \, b \, a] + [a \, b \, c] + [a \, c \, a] + [a \, c \, b]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારમાં,જો કોઈપણ બે સદિશ સમાન હોય,તો તેની કિંમત $0$ થાય છે. તેથી,$[a \, b \, a] = 0$ અને $[a \, c \, a] = 0$.
વળી,$[a \, c \, b] = -[a \, b \, c]$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$0 + [a \, b \, c] + 0 - [a \, b \, c] = 0$.

(A) $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,આપણે $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + x^2 - 16x + 20}{(x - 2)^2}$.
જ્યારે $x = 2$ મૂકતા $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે,તેથી અંશના અવયવ પાડીએ.
બહુપદીના ભાગાકારની મદદથી,$x^3 + x^2 - 16x + 20 = (x - 2)^2(x + 5)$.
આમ,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)^2(x + 5)}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2} (x + 5) = 2 + 5 = 7$.
તેથી,$k = 7$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ છે.
$y = 0$ લેતા,આપણને $f(x + 0) = f(x)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = f(x)f(0)$. કારણ કે $f(5) = 2$,તેથી $f(x)$ શૂન્ય નથી,માટે $f(0) = 1$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
$f(x + h) = f(x)f(h)$ મૂકતા,આપણને $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 1$,આ $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $f(5) = 2$ અને $f'(0) = 3$,તેથી $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$.

(D) આપણને સંકલન $I = \int_0^1 (1 + e^{-x^2}) \,dx$ આપેલું છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \int_0^1 1 \,dx + \int_0^1 e^{-x^2} \,dx$.
પ્રથમ ભાગ $\int_0^1 1 \,dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$ છે.
બીજો ભાગ $\int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ છે.
વિધેય $e^{-x^2}$ નું કોઈ પ્રાથમિક પ્રતિ-વિકલિત (antiderivative) નથી. તેથી,સંકલન $\int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ ને સાદા બીજગણિતીય અથવા ત્રિકોણમિતીય વિધેયો દ્વારા દર્શાવી શકાતું નથી.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $1 + \int_0^1 e^{-x^2} \,dx$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A, B,$ કે $C$ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વક્ર ${x^2} = 4y$ અને રેખા $x = 4y - 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$4y = x + 2$. આને પરવલયના સમીકરણ ${x^2} = 4y$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
${x^2} = x + 2$
${x^2} - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 2$ અને $x = -1$.
જ્યારે $x = 2$,$4y = 4 \implies y = 1$. બિંદુ $A(2, 1)$.
જ્યારે $x = -1$,$4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$. બિંદુ $B(-1, \frac{1}{4})$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \, \text{sq. unit}$.

(B) ધારો કે $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$.
આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^2 f(x) \, dx - \int_0^1 f(x) \, dx = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$ થાય છે.
કારણ કે $f(x)$ એ સતત વિધેય છે અને અંતરાલ $(1, 2)$ પર તેનું સંકલન શૂન્ય છે,તેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં ચિહ્ન બદલવું જ જોઈએ,સિવાય કે તમામ $x \in (1, 2)$ માટે $f(x) = 0$ હોય.
$a, b, c$ શૂન્યતર હોવાથી,$ax^2 + bx + c$ એ શૂન્ય નથી. વળી,તમામ $x$ માટે $(1 + \cos^8 x) \ge 1 > 0$ છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(1, 2)$ માં ધન અને ઋણ બંને કિંમતો લેવી જ જોઈએ.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક $x_0$ એવો મળે કે જેથી $f(x_0) = 0$ થાય.
કારણ કે $(1 + \cos^8 x) \neq 0$,તેથી $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ થવું જ જોઈએ.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે,જે $(0, 2)$ માં સમાવિષ્ટ છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ સપાટી $1$ ઉપર આવવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સપાટી $2$ ઉપર આવવાની ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.1$ અને $P(E_2) = 0.32$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે કાં તો સપાટી $1$ અથવા $2$ ઉપર આવી છે. ધારો કે આ ઘટના $A = E_1 \cup E_2$ છે.
$E_1$ અને $E_2$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A) = P(E_1) + P(E_2) = 0.1 + 0.32 = 0.42$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E_1 | A)$ શોધવાની છે,જે એ સંભાવના છે કે સપાટી $1$ ઉપર આવી છે,જ્યારે આપેલ છે કે $1$ અથવા $2$ માંથી કોઈ એક સપાટી ઉપર આવી છે.
$P(E_1 | A) = \frac{P(E_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E_1)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.42}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$.

(A) ધારો કે $s^2 = \frac{a+b+c}{abc}$. તેથી પદાવલિ $\theta = \tan^{-1}\sqrt{a^2 s^2} + \tan^{-1}\sqrt{b^2 s^2} + \tan^{-1}\sqrt{c^2 s^2}$ બને છે.
$a, b, c$ ધન હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(as) + \tan^{-1}(bs) + \tan^{-1}(cs)$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \tan^{-1}\left(\frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{as+bs+cs - (as)(bs)(cs)}{1 - (asbs + bscs + csas)} = \frac{s(a+b+c) - s^3(abc)}{1 - s^2(ab+bc+ca)}$.
$s^2 = \frac{a+b+c}{abc}$ મૂકતા,જેનો અર્થ છે કે $s^2(abc) = a+b+c$:
$\tan \theta = \frac{s(a+b+c) - s(s^2 abc)}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = \frac{s(a+b+c) - s(a+b+c)}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = \frac{0}{1 - s^2(ab+bc+ca)} = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,$a=b=c=1$ લેતા,$\theta = \tan^{-1}\sqrt{3} + \tan^{-1}\sqrt{3} + \tan^{-1}\sqrt{3} = 3 \times 60^\circ = 180^\circ = \pi$. તેથી,$\tan \theta = \tan \pi = 0$.

(C) આપેલ છે કે $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$.
સદિશ $a$ અને $(b + c)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
સદિશ $b$ અને $(c + a)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
સદિશ $c$ અને $(a + b)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે,$a + b + c$ નું માન નીચે મુજબ મળે:
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a + b + c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0)$
$|a + b + c|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|a + b + c| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે $y = a \log |x| + b x^2 + x$.
કારણ કે $\frac{d}{dx} \log |x| = \frac{1}{x}$ તમામ $x \neq 0$ માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x = -1$ અને $x = 2$ પર હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -\frac{1}{2}$.