IIT JEE 1981 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા પાત્રને આડા દિશામાં $a$ પ્રવેગ આપવામાં આવે છે,ત્યારે પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્રવાહી દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $-a$ (પાછળની તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી ચોખ્ખા અસરકારક પ્રવેગ સદિશને લંબ હોવી જોઈએ. સપાટી આડા સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{a}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેহেতু પ્રવેગ $a$ જમણી તરફ છે,તેથી સ્યુડો-બળ ડાબી તરફ કાર્ય કરે છે. પરિણામે,પાત્રની ડાબી બાજુએ પાણીનું સ્તર વધે છે અને જમણી બાજુએ ઘટે છે. આ આકૃતિ $C$ માં દર્શાવેલ સપાટી પ્રોફાઇલને અનુરૂપ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે.
પ્રતિક્રિયા રૂપે,જમીન તે વ્યક્તિ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે.
આ પ્રતિક્રિયા બળનો શિરોલંબ ઘટક વ્યક્તિના વજનને સંતુલિત કરે છે,જેથી તે ઊભી દિશામાં ગતિ કરતો નથી.
આ પ્રતિક્રિયા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક (જે સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે) આગળની દિશામાં કાર્ય કરે છે અને વ્યક્તિને આગળ ધકેલે છે.
તેથી,જમીન દ્વારા વ્યક્તિ પર લગાડવામાં આવતું પ્રતિક્રિયા બળ તેની આગળની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
આથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ મળે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $1\%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$ લેતા.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ મળે છે.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $2\%$ નો વધારો થશે.

(A) ધારો કે ગોળીનું દળ $m \, g$ છે. ગોળીને તેના ગલનબિંદુ સુધી પહોંચવા અને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q_1 = mc\Delta\theta + mL$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m \, cal$.
આને જુલમાં ફેરવતા: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m \, J$.
ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ છે,જ્યાં $M$ એ કિલોગ્રામમાં દળ છે $(M = m \times 10^{-3} \, kg)$.
કારણ કે $25\%$ ઉષ્મા અવરોધ દ્વારા શોષાય છે,તેથી ગોળીને ઓગળવા માટે ગતિઊર્જાનો $75\%$ ભાગ વપરાય છે.
તેથી,$0.75 \times (\frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2) = 63m$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$0.375 \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$v^2 = \frac{63}{0.375 \times 10^{-3}} = \frac{63000}{0.375} = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87 \, m/s \approx 410 \, m/s$.

(A) આદર્શ વાયુની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $T = 0 \, K$ હોય,તો ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે,પરંતુ અણુઓની સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય ન પણ હોય. આમ,પરમ શૂન્ય તાપમાન એ શૂન્ય ઉર્જા તાપમાન નથી. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$(B)$ સરેરાશ વર્ગિત $(RMS)$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે મોલર દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી સમાન તાપમાને બે અલગ-અલગ વાયુઓનો $RMS$ વેગ અલગ-અલગ હશે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$(C)$ વિકલ્પ $B$ ની જેમ જ,$RMS$ ઝડપ મોલર દળ પર આધાર રાખે છે. તેથી,સમાન તાપમાને વિવિધ આદર્શ વાયુઓના અણુઓની $RMS$ ઝડપ અલગ-અલગ હશે. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$(D)$ એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,સમાન તાપમાન અને દબાણે,તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે. બંને નમૂનાઓ $NTP$ પર $1 \, cc$ કદ ધરાવતા હોવાથી,તેમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હશે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $d$ છે. ધારો કે તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા $K_c$ અને પિત્તળની ઉષ્મીય વાહકતા $K_b$ છે. આપેલ છે કે $K_c : K_b = 1 : 4$,તેથી $K_b = 4K_c$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,તાંબાના સ્તરમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર પિત્તળના સ્તરમાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હોય છે.
ધારો કે આંતરપૃષ્ઠનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$.
તાંબા માટે: $H_c = \frac{K_c A(\theta - 0)}{d}$.
પિત્તળ માટે: $H_b = \frac{K_b A(100 - \theta)}{d}$.
$H_c = H_b$ હોવાથી,$\frac{K_c A \theta}{d} = \frac{4K_c A(100 - \theta)}{d}$.
સામાન્ય પદો $K_c, A, d$ ને દૂર કરતા: $\theta = 4(100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^\circ C$.

(A) ધારો કે પિસ્ટનને ડાબી તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે ખસેડવામાં આવે છે. વાયુનું કદ ઘટે છે અને તેનું દબાણ વધે છે. ધારો કે દબાણમાં વધારો $\Delta P$ છે અને કદમાં ઘટાડો $\Delta V$ છે. પ્રક્રિયા સમતાપી છે તેમ ધારતા,આપણી પાસે $P_1V_1 = P_2V_2$ છે.
$PV = (P + \Delta P)(V - \Delta V)$
$PV = PV - P\Delta V + \Delta P V - \Delta P \Delta V$
નાના પદ $\Delta P \Delta V$ ને અવગણતા,આપણને $P \Delta V = \Delta P V$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta V = A x$ અને $V = A h$,તેથી $P(Ax) = \Delta P(Ah)$.
$\Delta P = \frac{Px}{h}$.
આ વધારાનું દબાણ $M$ દળ ધરાવતા પિસ્ટન પર પુનઃસ્થાપક બળ $F$ ઉત્પન્ન કરે છે:
$F = -(\Delta P)A = -\left(\frac{PA}{h}\right)x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને બળ અચળાંક $k = \frac{PA}{h}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{PA}{Mh}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{PA}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) આ સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_2 = 4\, \Omega + 6\, \Omega = 10\, \Omega$ છે. નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_1 = 5\, \Omega$ છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, બંને શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
શાખાઓમાં વહેતો પ્રવાહ તેમના અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$.
દર સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા (પાવર) $P = i^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5\, \Omega$ ના અવરોધ માટે, $P_5 = i_1^2 \times 5 = 10\, \text{cal/s}$.
$4\, \Omega$ ના અવરોધ માટે, પ્રવાહ $i_2$ છે. ઉપરની શાખામાં વપરાતો પાવર $P_{\text{upper}} = i_2^2 \times R_2 = i_2^2 \times 10$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{i_1}{i_2} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $i_1 = 2i_2$ મળે છે. આ કિંમત $5\, \Omega$ ના અવરોધના પાવર સમીકરણમાં મૂકતા: $(2i_2)^2 \times 5 = 10 \Rightarrow 20i_2^2 = 10 \Rightarrow i_2^2 = 0.5$.
$4\, \Omega$ ના અવરોધમાં વપરાતો પાવર $P_4 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2\, \text{cal/s}$ છે.

(C) જ્યારે ટ્રેન પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેના એક્સલ (ધરી) માં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $e = B_v \cdot v \cdot l$
અહીં,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v = 180 \ km/hr = 180 \times \frac{5}{18} \ m/s = 50 \ m/s$.
પાટાઓ વચ્ચેનું અંતર (એક્સલની લંબાઈ) $l = 1 \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (0.2 \times 10^{-4}) \times 50 \times 1$
$e = 10 \times 10^{-4} \ V$
$e = 10^{-3} \ V$.

(C) નજીકના અભિગમ અંતર (distance of closest approach) પર,$\alpha$-કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K.E. = P.E.$
$5 \; MeV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આપેલ છે:
$K.E. = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 8 \times 10^{-13} \; J$
$Z = 92$ (યુરેનિયમ માટે)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$
કિંમતો મૂકતા:
$8 \times 10^{-13} = \frac{9 \times 10^9 \times 92 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r_0}$
$r_0$ માટે ઉકેલતા:
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 184 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$r_0 \approx 5.3 \times 10^{-14} \; m = 5.3 \times 10^{-12} \; cm$
આમ,અંતરનો ક્રમ $10^{-12} \; cm$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $N/N_0 = 1/20$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{0.6931}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{3.8 \ days}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{20} = e^{-\lambda t}$,જેનો અર્થ થાય છે $20 = e^{\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln 20 = \lambda t$.
આને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા: $2.303 \log_{10} 20 = \lambda t$.
આપેલ છે કે $\log_{10} 20 = 1.3010$.
તેથી,$t = \frac{2.303 \times 1.3010 \times 3.8}{0.6931} \approx 16.43 \ days$.
આમ,સાચો જવાબ $16.5 \ days$ છે.

(A) સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,સપાટી $AC$ પરનો આપાતકોણ $i$ એ કાચ અને પાણી વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AB$ પર લંબરૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ $AC$ સપાટી પર $i = \theta$ જેટલા ખૂણે આપાત થાય છે.
$AC$ પર $TIR$ માટે,આપણે $i > C$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$i = \theta$ મૂકતા,આપણને $\sin \theta > \sin C$ મળે છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_w = 4/3$ અને $\mu_g = 1.5 = 3/2$ છે.
આમ,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$TIR$ થવા માટે,$\sin \theta > 8/9$ હોવું જોઈએ. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,શરત $\sin \theta \ge 8/9$ છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને નવું અંતર $D' = 2D$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ થશે: $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થઈ જશે.

(C) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
ગુણોત્તરના નિયમ મુજબ,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
તેથી,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ અને $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.

(C) $1$. પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને $AC$ સપાટી પર અથડાય છે.
$2$. ધારો કે $AC$ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AC$ સપાટીના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો પ્રિઝમના ખૂણા $\theta$ જેટલો થાય છે. તેથી,$i = \theta$.
$3$. $AC$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$4$. $TIR$ માટેની શરત $i > C$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$5$. કારણ કે $i = \theta$,તેથી $\sin \theta > \sin C$.
$6$. ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ દ્વારા મળે છે.
$7$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta > \frac{8}{9}$ છે.