$5$ विभिन्न रंगों की गेंदों को तीन विभिन्न आकार के सन्दूकों में रखना है। प्रत्येक सन्दूक पाँचों गेंदों को रख सकता है। अत: हम इन गेंदों को सन्दूकों में कुल कितने प्रकार से रख सकते हैं, यदि कोई भी सन्दूक खाली न रहे

यदि $^{n}{P_4} = 24.{\,^n}{C_5},$ तो $n$ का मान होगा  

एक परीक्षा में गणित के प्रश्नपत्र में बराबर अंकों के $20$ प्रश्न हैं तथा प्रश्नपत्र में तीन खंड : $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ है। एक विद्यार्थी को कुल $15$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जिनमें प्रत्येक खंड से कम से कम 4 प्रश्न होने चाहिए। यदि खंड $\mathrm{A}$ में $8$ प्रश्न, खंड $\mathrm{B}$ में $6$ प्रश्न तथा खंड $\mathrm{C}$ में $6$ प्रश्न तथा खंड $\mathrm{C}$ में $6$ प्रश्न हैं, तो एक विद्यार्थी द्वारा $15$ प्रश्न चुनने के तरीकों की कुल संख्या है .............

कक्षा $10$ में $5$ छात्र, कक्षा $11$ में $6$ छात्र तथा कक्षा $12$ में $8$ छात्र है। यदि $10$ छात्रों को चुनने के तरीकों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक कक्षा में से कम से कम $2$ छात्र हो तथा कक्षाओं $10$ और $11$ के $11$ छात्रों में से अधिक से अधिक $5$ छात्र हो, $100 \,k$ है, तो $k$ बराबर है ........ |

यदि  $^{2n}{C_3}:{\,^n}{C_2} = 44:3$ हो, तो $r$ के किस मान के लिये $^n{C_r}$ का मान 15 होगा

माना समुच्चयों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ में अवयवों की संख्या क्रमशः पाँच तथा दो है। तो $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$ के उपसमुच्चयों, जिनमें कम से कम $3$ तथा अधिक से अधिक $6$ अवयव हो, की संख्या है :