IIT JEE 1981 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) जब तरल युक्त बर्तन को क्षैतिज रूप से $a$ त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो बर्तन के फ्रेम में तरल द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $-a$ (पीछे की ओर) का सदिश योग होता है।
तरल की मुक्त सतह शुद्ध प्रभावी त्वरण सदिश के लंबवत होनी चाहिए। सतह क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाती है,वह $\tan \theta = \frac{a}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि त्वरण $a$ दाईं ओर है,इसलिए छद्म-बल बाईं ओर कार्य करता है। परिणामस्वरूप,बर्तन के बाईं ओर पानी का स्तर बढ़ जाता है और दाईं ओर गिर जाता है। यह आरेख $C$ में दिखाए गए सतह प्रोफाइल के अनुरूप है।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है।
प्रतिक्रिया स्वरूप,जमीन उस व्यक्ति पर समान और विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया बल लगाती है।
इस प्रतिक्रिया बल का ऊर्ध्वाधर घटक व्यक्ति के वजन को संतुलित करता है,जिससे वह लंबवत गति नहीं करता है।
इस प्रतिक्रिया बल का क्षैतिज घटक (जो कि स्थैतिक घर्षण बल है) आगे की दिशा में कार्य करता है और व्यक्ति को आगे धकेलता है।
इसलिए,फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल ही उसकी आगे की गति के लिए जिम्मेदार है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) लेने पर,हमें $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि त्रिज्या $1\%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ प्राप्त होता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण में $2\%$ की वृद्धि होगी।

(A) माना गोली का द्रव्यमान $m \, g$ है। गोली को उसके गलनांक तक पहुँचने और पिघलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q_1 = mc\Delta\theta + mL$ है।
मान रखने पर: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m \, cal$.
इसे जूल में बदलने पर: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m \, J$.
गोली की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ है,जहाँ $M$ किलोग्राम में द्रव्यमान है $(M = m \times 10^{-3} \, kg)$।
चूंकि $25\%$ ऊष्मा बाधा द्वारा अवशोषित की जाती है,इसलिए गोली को पिघलाने के लिए गतिज ऊर्जा का $75\%$ भाग उपयोग किया जाता है।
अतः,$0.75 \times (\frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2) = 63m$.
सरल करने पर: $\frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$0.375 \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$v^2 = \frac{63}{0.375 \times 10^{-3}} = \frac{63000}{0.375} = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87 \, m/s \approx 410 \, m/s$.

(A) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। यदि $T = 0 \, K$ है,तो गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है,लेकिन अणुओं की स्थितिज ऊर्जा शून्य नहीं भी हो सकती है। अतः,परम शून्य तापमान शून्य ऊर्जा तापमान नहीं है। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
$(B)$ वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $RMS$ वेग अलग-अलग होगा। इसलिए,विकल्प $B$ गलत है।
$(C)$ विकल्प $B$ के समान,$RMS$ गति मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है। इसलिए,समान तापमान पर विभिन्न आदर्श गैसों के अणुओं की $RMS$ गति अलग-अलग होगी। इसलिए,विकल्प $C$ गलत है।
$(D)$ एवोगैड्रो के नियम के अनुसार,समान तापमान और दबाव पर,सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। चूंकि दोनों नमूनों का आयतन $NTP$ पर $1 \, cc$ है,इसलिए उनमें अणुओं की संख्या समान होगी। इसलिए,विकल्प $D$ गलत है।

(A) माना प्रत्येक परत की मोटाई $d$ है। माना तांबे की ऊष्मीय चालकता $K_c$ है और पीतल की ऊष्मीय चालकता $K_b$ है। दिया गया है कि $K_c : K_b = 1 : 4$,इसलिए $K_b = 4K_c$.
स्थिर अवस्था में,तांबे की परत से ऊष्मा प्रवाह की दर पीतल की परत से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
माना इंटरफ़ेस का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$ है।
तांबे के लिए: $H_c = \frac{K_c A(\theta - 0)}{d}$.
पीतल के लिए: $H_b = \frac{K_b A(100 - \theta)}{d}$.
चूंकि $H_c = H_b$,इसलिए $\frac{K_c A \theta}{d} = \frac{4K_c A(100 - \theta)}{d}$.
समान पदों $K_c, A, d$ को काटने पर: $\theta = 4(100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^\circ C$.

(A) मान लीजिए कि पिस्टन को बाईं ओर $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है। गैस का आयतन कम हो जाता है और उसका दबाव बढ़ जाता है। मान लीजिए दबाव में वृद्धि $\Delta P$ है और आयतन में कमी $\Delta V$ है। यह मानते हुए कि प्रक्रिया समतापीय है,हमारे पास $P_1V_1 = P_2V_2$ है।
$PV = (P + \Delta P)(V - \Delta V)$
$PV = PV - P\Delta V + \Delta P V - \Delta P \Delta V$
छोटे पद $\Delta P \Delta V$ की उपेक्षा करने पर,हमें $P \Delta V = \Delta P V$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta V = A x$ और $V = A h$,इसलिए $P(Ax) = \Delta P(Ah)$ है।
$\Delta P = \frac{Px}{h}$।
यह अतिरिक्त दबाव $M$ द्रव्यमान वाले पिस्टन पर एक प्रत्यानयन बल $F$ उत्पन्न करता है:
$F = -(\Delta P)A = -\left(\frac{PA}{h}\right)x$।
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हम बल नियतांक $k = \frac{PA}{h}$ प्राप्त करते हैं।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{PA}{Mh}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{PA}}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_2 = 4\, \Omega + 6\, \Omega = 10\, \Omega$ है। निचली शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 5\, \Omega$ है।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए दोनों शाखाओं में विभवांतर $V$ समान होगा।
शाखाओं में धारा उनके प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$।
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा (शक्ति) $P = i^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$5\, \Omega$ के प्रतिरोध के लिए, $P_5 = i_1^2 \times 5 = 10\, \text{cal/s}$।
$4\, \Omega$ के प्रतिरोध के लिए, धारा $i_2$ है। ऊपरी शाखा में व्यय शक्ति $P_{\text{upper}} = i_2^2 \times R_2 = i_2^2 \times 10$ है।
अनुपात $\frac{i_1}{i_2} = 2$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $i_1 = 2i_2$ है। इस मान को $5\, \Omega$ के प्रतिरोध के शक्ति समीकरण में रखने पर: $(2i_2)^2 \times 5 = 10 \Rightarrow 20i_2^2 = 10 \Rightarrow i_2^2 = 0.5$।
$4\, \Omega$ के प्रतिरोध में व्यय शक्ति $P_4 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2\, \text{cal/s}$ है।

(C) जब ट्रेन पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में गति करती है,तो उसके एक्सल (धुरी) में उत्पन्न प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है: $e = B_v \cdot v \cdot l$
यहाँ,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक है।
ट्रेन की गति $v = 180 \ km/hr = 180 \times \frac{5}{18} \ m/s = 50 \ m/s$ है।
पटरियों के बीच की दूरी (एक्सल की लंबाई) $l = 1 \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = (0.2 \times 10^{-4}) \times 50 \times 1$
$e = 10 \times 10^{-4} \ V$
$e = 10^{-3} \ V$.

(C) निकटतम पहुँच की दूरी पर,$\alpha$-कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K.E. = P.E.$
$5 \; MeV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
दिया गया है:
$K.E. = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 8 \times 10^{-13} \; J$
$Z = 92$ (यूरेनियम के लिए)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$8 \times 10^{-13} = \frac{9 \times 10^9 \times 92 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r_0}$
$r_0$ के लिए हल करने पर:
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 184 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$r_0 \approx 5.3 \times 10^{-14} \; m = 5.3 \times 10^{-12} \; cm$
अतः,दूरी की कोटि $10^{-12} \; cm$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $N/N_0 = 1/20$ है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{0.6931}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{3.8 \ days}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{20} = e^{-\lambda t}$,जिसका अर्थ है $20 = e^{\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 20 = \lambda t$।
इसे $10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर: $2.303 \log_{10} 20 = \lambda t$।
दिया गया है कि $\log_{10} 20 = 1.3010$।
अतः,$t = \frac{2.303 \times 1.3010 \times 3.8}{0.6931} \approx 16.43 \ days$।
इस प्रकार,सही उत्तर $16.5 \ days$ है।

(A) सतह $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,सतह $AC$ पर आपतन कोण $i$ का मान कांच और पानी के बीच के क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$AB$ पर लंबवत आपतित प्रकाश किरण $AC$ सतह पर $i = \theta$ के कोण पर आपतित होती है।
$AC$ पर $TIR$ के लिए,हमें $i > C$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$i = \theta$ रखने पर,हमें $\sin \theta > \sin C$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_w = 4/3$ और $\mu_g = 1.5 = 3/2$ है।
अतः,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$।
इसलिए,$TIR$ होने के लिए,$\sin \theta > 8/9$ होना चाहिए। दिए गए विकल्पों के अनुसार,शर्त $\sin \theta \ge 8/9$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नई दूरी $D' = 2D$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल मान की चार गुनी हो जाएगी।

(C) मान लीजिए कि $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$.
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
अनुपात के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
अतः,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ और $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
उभयनिष्ठ केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ है।
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.

(C) $1$. प्रकाश किरण $AB$ सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है और $AC$ सतह से टकराती है।
$2$. मान लीजिए $AC$ सतह पर आपतन कोण $i$ है। प्रिज्म की ज्यामिति से,$AC$ सतह के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण प्रिज्म के कोण $\theta$ के बराबर होता है। अतः,$i = \theta$।
$3$. $AC$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण कांच-पानी इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
$4$. $TIR$ के लिए शर्त $i > C$ है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$5$. चूंकि $i = \theta$,इसलिए $\sin \theta > \sin C$।
$6$. क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
$7$. अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta > \frac{8}{9}$ है।