IIT JEE 1979 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं।
माना ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ और ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$।
तब $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$।
साथ ही,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$।
इनकी तुलना करने पर,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$।
अतः,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,जो दर्शाता है कि $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$।

(A) दिया गया है $x + iy = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी (conjugate) लेने पर,हमें $x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$ प्राप्त होता है।
अब,इन दो समीकरणों का गुणा करने पर:
$(x + iy)(x - iy) = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \times \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$
$x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $(x - 1)^3 + 8 = 0$ है।
इसे $(x - 1)^3 = -8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,इसलिए $-8$ के घनमूल $-2, -2\omega, -2\omega^2$ होंगे।
अतः,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,मूल $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,और $c = -2(l - m)$ है।
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)(-2(l - m))$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $l$ और $m$ वास्तविक हैं और $l \neq m$,इसलिए $(l - m)^2 > 0$ और $(l + m)^2 \geq 0$ है।
अतः,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$ है।
चूंकि विविक्तकर $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(A) दिया गया है $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$u = \frac{1}{2}(2x^2 + 8y^2 + 18z^2 - 12yz - 6zx - 4xy)$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$u = \frac{1}{2}[(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 6zx + 9z^2) + (4y^2 - 12yz + 9z^2)]$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजकों को सरल करने पर:
$u = \frac{1}{2}[(x - 2y)^2 + (x - 3z)^2 + (2y - 3z)^2]$
चूंकि $x, y, z$ वास्तविक हैं,वर्गों का योग हमेशा अ-ऋणात्मक होता है। अतः,$u \geq 0$.

(B) माना गलत समीकरण $x^2 + 17x + q = 0$ है।
चूंकि मूल $-2$ और $-15$ हैं,इसलिए मूलों का गुणनफल $(-2) \times (-15) = 30$ है।
चूंकि अचर पद $q$ नहीं बदला गया था,इसलिए $q = 30$ है।
मूल समीकरण $x^2 + 13x + 30 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$।
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$।
$(x + 3)(x + 10) = 0$।
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -10$ हैं।

(C) हमें निम्नलिखित समीकरण दिए गए हैं:
$(1)$ $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
सूत्र $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{7} \implies 7r = 3n - 3r + 3 \implies 3n - 10r = -3$ प्राप्त होता है।
$(2)$ $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{84}{126} = \frac{2}{3}$
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{r+1}{n-r} = \frac{2}{3} \implies 3r + 3 = 2n - 2r \implies 2n - 5r = 3$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $4n - 10r = 6$ प्राप्त होता है।
इसमें से पहले समीकरण $(3n - 10r = -3)$ को घटाने पर,हमें $n = 9$ प्राप्त होता है।
$n = 9$ को $2n - 5r = 3$ में रखने पर,हमें $18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$ प्राप्त होता है।

(A) कुल पत्तों की संख्या $52$ है और उन्हें $4$ खिलाड़ियों में समान रूप से बांटना है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खिलाड़ी को $13$ पत्ते मिलेंगे।
पहले खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{52}C_{13}$ हैं।
शेष $39$ पत्तों में से दूसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{39}C_{13}$ हैं।
शेष $26$ पत्तों में से तीसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_{13}$ हैं।
शेष $13$ पत्तों में से चौथे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{13}C_{13}$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.

(A) $52$ पत्तों को चार खिलाड़ियों में बांटने के कुल तरीके:
$1$. पहले खिलाड़ी के लिए $52$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. दूसरे खिलाड़ी के लिए शेष $35$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. तीसरे खिलाड़ी के लिए शेष $18$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. चौथे खिलाड़ी के लिए शेष $1$ पत्ता: $^{1}C_{1} = 1$.
कुल तरीकों का गुणनफल:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.

(B) दिया गया है कि $\tan \theta = -\frac{4}{3}.$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}.$
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{9}{25}.$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}.$
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है,$\theta$ दूसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित है। दूसरे चतुर्थांश में $\sin \theta$ धनात्मक $(4/5)$ होता है और चौथे चतुर्थांश में $\sin \theta$ ऋणात्मक $(-4/5)$ होता है।
अतः,दोनों मान संभव हैं।

(B) दिया गया है $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}$ और $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$।
चूंकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ और $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$\sin (\alpha + \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$ और $\cos (\alpha - \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$।
हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )$।
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\alpha = \sin ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \sin (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$।
$\sin 2\alpha = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$।
सूत्र $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha = \cos ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \cos (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) - \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$।
$\cos 2\alpha = (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}) - (\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$।
इसलिए,$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{56/65}{33/65} = \frac{56}{33}$।

(A) दिया गया है $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}) = \tan(\pi) = 0$।
सर्वसमिका $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2}\tan \frac{\alpha}{2})} = 0$।
चूंकि हर शून्य नहीं है,इसलिए अंश शून्य होना चाहिए:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} = 0$।
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}$।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ और $D(a^2, ab)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम क्रमिक बिंदुओं के बीच ढाल (slope) की जांच कर सकते हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$।
$BC$ की ढाल $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$।
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,$CD$ की ढाल $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (मान लें $a \neq 1, 0$)।
चूंकि $AB, BC$ और $CD$ की ढाल समान है,इसलिए चारों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु संरेख हैं।

(B) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ में सरल होता है,अर्थात $\sqrt{5}(x - 2y + 4) = \pm (4x - 3y + 2)$।
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = 4x - 3y + 2$,जो $(4 - \sqrt{5})x - (3 - 2\sqrt{5})y + (2 - 4\sqrt{5}) = 0$ में बदल जाता है।
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = -4x + 3y - 2$,जो $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ में बदल जाता है।
अधिक कोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें। यहाँ $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$ है। चूँकि चिह्न धनात्मक है,ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण अधिक कोण का समद्विभाजक है।
अतः,समीकरण $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ है।

(B) दिया गया वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ है।
इसका केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(5, 5)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए यह बिंदु केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $r_1 : r_2 = 5 : 5 = 1 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$(5, 5) = (\frac{1+h}{2}, \frac{2+k}{2})$।
$h$ और $k$ के लिए हल करने पर:
$1 + h = 10 \Rightarrow h = 9$
$2 + k = 10 \Rightarrow k = 8$।
अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x - 9)^2 + (y - 8)^2 = 5^2$ है।
विस्तार करने पर,${x^2} - 18x + 81 + {y^2} - 16y + 64 = 25$।
${x^2} + {y^2} - 18x - 16y + 120 = 0$।

(A) $12$ लोगों को एक पंक्ति में बैठाने के कुल तरीके $n = 12!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर रूप से बैठने के लिए दो पैटर्न संभव हैं: $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ या $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$।
प्रत्येक पैटर्न में,$6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से और $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times 6! \times 6!$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!} = \frac{1}{462}$ है।

(B) दिया है $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. चूँकि $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,अतः $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$.
दिया है $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. अतः $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$.
अब,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$.
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(D) माना शीर्ष $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ और $C(h, k)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ का मान $(0, 0)$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ है।
शीर्षलंब $CH$ की ढाल $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ है।
$CH$ बिंदु $(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,जिसका अर्थ है $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
इसी प्रकार,$AH \perp BC$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
शीर्षलंब $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$AH \perp BC$ होने के कारण,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,इसलिए $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(1)$ से,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ में रखने पर: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(k(-1) - 3(-2)) - k(3(-1) - 2(-2)) + 3(3(3) - 2(k)) = 0$
$1(-k + 6) - k(-3 + 4) + 3(9 - 2k) = 0$
$-k + 6 - k(1) + 27 - 6k = 0$
$-k + 6 - k + 27 - 6k = 0$
$-8k + 33 = 0$
$8k = 33$
$k = \frac{33}{8}$
चूंकि $\frac{33}{8}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x \tan^{-1} x$।
अवकलन के लिए गुणन नियम $(uv)' = u'v + uv'$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x$ और $v = \tan^{-1} x$ है।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$।
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2}$।
$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$।
अब,अवकलज में $x = 1$ रखने पर:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2}$।
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$।

(A) माना $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}}$.
$t = a + bx$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = \frac{{t - a}}{b}$ और $dx = \frac{{dt}}{b}$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int {\frac{{{{(\frac{{t - a}}{b})}^2}}}{{{t^2}}} \cdot \frac{{dt}}{b}} = \frac{1}{{{b^3}}} \int {\frac{{{t^2} - 2at + {a^2}}}{{{t^2}}} dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} \int {(1 - \frac{{2a}}{t} + \frac{{{a^2}}}{{{t^2}}}) dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [t - 2a \log |t| - \frac{{{a^2}}}{t}] + C$
$t = a + bx$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [a + bx - 2a \log |a + bx| - \frac{{{a^2}}}{{a + bx}}] + C$
अचर $a$ को समाकलन अचर $C$ में समाहित करने पर,हमें विकल्प $A$ के अनुरूप उत्तर प्राप्त होता है।