IIT JEE 1979 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
આ શરત સૂચવે છે કે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુમાંથી નીકળતા એક જ કિરણ પર આવેલા છે.
ધારો કે ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ અને ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$.
તેથી $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$.
વળી,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$.
આમ,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$.

(A) આપેલ છે કે $x + iy = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$ મળે છે.
હવે,આ બે સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$(x + iy)(x - iy) = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \times \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$
$x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x - 1)^3 + 8 = 0$ છે.
આને $(x - 1)^3 = -8$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ મળે.
એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ હોવાથી,$-8$ ના ઘનમૂળ $-2, -2\omega, -2\omega^2$ થાય.
તેથી,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ મળે.
આમ,બીજ $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,અને $c = -2(l - m)$.
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)(-2(l - m))$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$.
કારણ કે $l$ અને $m$ વાસ્તવિક છે અને $l \neq m$,તેથી $(l - m)^2 > 0$ અને $(l + m)^2 \geq 0$.
આમ,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$.
વિવેચક $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ છે $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$u = \frac{1}{2}(2x^2 + 8y^2 + 18z^2 - 12yz - 6zx - 4xy)$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$u = \frac{1}{2}[(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 6zx + 9z^2) + (4y^2 - 12yz + 9z^2)]$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$u = \frac{1}{2}[(x - 2y)^2 + (x - 3z)^2 + (2y - 3z)^2]$
$x, y, z$ વાસ્તવિક હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે. તેથી,$u \geq 0$.

(B) ધારો કે ખોટું સમીકરણ $x^2 + 17x + q = 0$ છે.
આપેલ છે કે બીજ $-2$ અને $-15$ છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર $(-2) \times (-15) = 30$ થાય.
અચળ પદ $q$ બદલાયું ન હોવાથી,$q = 30$ મળે.
મૂળ સમીકરણ $x^2 + 13x + 30 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -10$ છે.

(C) આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો આપેલા છે:
$(1)$ $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
સૂત્ર $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{7} \implies 7r = 3n - 3r + 3 \implies 3n - 10r = -3$ મળે છે.
$(2)$ $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{84}{126} = \frac{2}{3}$
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{r+1}{n-r} = \frac{2}{3} \implies 3r + 3 = 2n - 2r \implies 2n - 5r = 3$ મળે છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4n - 10r = 6$ મળે છે.
આમાંથી પ્રથમ સમીકરણ $(3n - 10r = -3)$ બાદ કરતા,આપણને $n = 9$ મળે છે.
$n = 9$ ને $2n - 5r = 3$ માં મૂકતા,આપણને $18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$ મળે છે.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે અને તેને $4$ ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાના હોવાથી,દરેક ખેલાડીને $13$ પત્તા મળે.
પ્રથમ ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{52}C_{13}$ છે.
બાકીના $39$ પત્તામાંથી બીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{39}C_{13}$ છે.
બાકીના $26$ પત્તામાંથી ત્રીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_{13}$ છે.
બાકીના $13$ પત્તામાંથી ચોથા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{13}$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.

(A) $52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતો:
$1$. પ્રથમ ખેલાડી માટે $52$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. બીજા ખેલાડી માટે બાકીના $35$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. ત્રીજા ખેલાડી માટે બાકીના $18$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. ચોથા ખેલાડી માટે બાકી રહેલું $1$ પત્તું: $^{1}C_{1} = 1$.
કુલ રીતોનો ગુણાકાર:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = -\frac{4}{3}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}.$
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{9}{25}.$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}.$
$\tan \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ એ બીજા અથવા ચોથા ચરણમાં આવે છે. બીજા ચરણમાં $\sin \theta$ ધન $(4/5)$ હોય છે અને ચોથા ચરણમાં $\sin \theta$ ઋણ $(-4/5)$ હોય છે.
આમ,બંને કિંમતો શક્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}$ અને $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$.
$0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ અને $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ થાય.
તેથી,$\sin (\alpha + \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$ અને $\cos (\alpha - \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\alpha = (\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2\alpha = \sin ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \sin (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\sin 2\alpha = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha = \cos ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \cos (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) - \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\cos 2\alpha = (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}) - (\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$.
તેથી,$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{56/65}{33/65} = \frac{56}{33}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}) = \tan(\pi) = 0$.
નિત્યસમ $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2}\tan \frac{\alpha}{2})} = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોવાથી,અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} = 0$.
તેથી,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma }{2}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ અને $D(a^2, ab)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેના ઢાળ ચકાસી શકીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,$CD$ નો ઢાળ $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (ધારો કે $a \neq 1, 0$).
$AB, BC$ અને $CD$ ના ઢાળ સમાન હોવાથી,ચારેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(B) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ થાય છે,એટલે કે $\sqrt{5}(x - 2y + 4) = \pm (4x - 3y + 2)$.
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = 4x - 3y + 2$,જેનું સાદું રૂપ $(4 - \sqrt{5})x - (3 - 2\sqrt{5})y + (2 - 4\sqrt{5}) = 0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = -4x + 3y - 2$,જેનું સાદું રૂપ $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ થાય છે.
ગુરુકોણ દ્વિભાજક નક્કી કરવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો. અહીં $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$. નિશાની ધન હોવાથી,ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ ગુરુકોણનો દ્વિભાજક છે.
આમ,સમીકરણ $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 5$ છે.
બંને વર્તુળો બિંદુ $(5, 5)$ આગળ બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,આ બિંદુ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $r_1 : r_2 = 5 : 5 = 1 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$(5, 5) = (\frac{1+h}{2}, \frac{2+k}{2})$.
$h$ અને $k$ માટે ઉકેલતા:
$1 + h = 10 \Rightarrow h = 9$
$2 + k = 10 \Rightarrow k = 8$.
જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 9)^2 + (y - 8)^2 = 5^2$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,${x^2} - 18x + 81 + {y^2} - 16y + 64 = 25$.
${x^2} + {y^2} - 18x - 16y + 120 = 0$.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n = 12!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે તે માટે બે શક્યતાઓ છે: $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ અથવા $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$.
દરેક ભાતમાં,$6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે અને $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times 6! \times 6!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!} = \frac{1}{462}$ છે.

(B) આપેલ છે $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. તેથી $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$.
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ અને $C(h, k)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(0, 0)$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ છે.
વેધ $CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ થાય.
$CH$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,જેનો અર્થ છે $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
તે જ રીતે,$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
વેધ $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,તેથી $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(1)$ પરથી,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ માં મૂકતા: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
તેથી $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(k(-1) - 3(-2)) - k(3(-1) - 2(-2)) + 3(3(3) - 2(k)) = 0$
$1(-k + 6) - k(-3 + 4) + 3(9 - 2k) = 0$
$-k + 6 - k(1) + 27 - 6k = 0$
$-k + 6 - k + 27 - 6k = 0$
$-8k + 33 = 0$
$8k = 33$
$k = \frac{33}{8}$
આમ,$\frac{33}{8}$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x \tan^{-1} x$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ $(uv)' = u'v + uv'$ લાગુ પાડતા,જ્યાં $u = x$ અને $v = \tan^{-1} x$ છે.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2}$.
$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$.
હવે,વિકલિતમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2}$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,તેથી:
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}}$.
$t = a + bx$ આદેશ લેતા,$x = \frac{{t - a}}{b}$ અને $dx = \frac{{dt}}{b}$ મળે.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int {\frac{{{{(\frac{{t - a}}{b})}^2}}}{{{t^2}}} \cdot \frac{{dt}}{b}} = \frac{1}{{{b^3}}} \int {\frac{{{t^2} - 2at + {a^2}}}{{{t^2}}} dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} \int {(1 - \frac{{2a}}{t} + \frac{{{a^2}}}{{{t^2}}}) dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [t - 2a \log |t| - \frac{{{a^2}}}{t}] + C$
$t = a + bx$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [a + bx - 2a \log |a + bx| - \frac{{{a^2}}}{{a + bx}}] + C$
અચળાંક $a$ ને સંકલન અચળાંક $C$ માં સમાવી લેતા,આપણને વિકલ્પ $A$ મુજબનું સ્વરૂપ મળે છે.