int_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}} frac{1}{1+tan | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+	an^4 x} dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते ह

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$\frac{\pi}{12}$

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(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+	an^4 x} dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+	an^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\cot^4 x} dx$. $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{	an^4 x}{1+	an^4 x} dx$. $I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+	an^4 x}{1+	an^4 x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$. $2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

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$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ और $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx =$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(a+b+1-x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए है,जहाँ $a$ और $b$ निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ का मान क्या होगा?

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