GSEB 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$ax - y = -2$
$x + ay = -3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
અહીં,$a_1 = a$,$b_1 = -1$,$a_2 = 1$,અને $b_2 = a$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{a}$
$a^2 \neq -1$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે $a^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $a^2$ ક્યારેય $-1$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં.
તેથી,શરત $a^2 \neq -1$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ માટે સંતોષાય છે.
આમ,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $R$ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-7, 8)$ અને $(x_2, y_2) = (5, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{5 - (-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $(-7, 8)$ માટે:
$y - 8 = -\frac{1}{2}(x - (-7))$
$2(y - 8) = -(x + 7)$
$2y - 16 = -x - 7$
$x + 2y - 9 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ થાય છે.
તેથી,$f(x) = \sin(3x)$.
હવે,$x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(3 \times \frac{\pi}{3}\right) = \sin(\pi)$.
કારણ કે $\sin(\pi) = 0$ થાય છે,તેથી જવાબ $0$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કયું વિધાન સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I$.
આમ,$A^2 = 4I$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આપણે નિશ્ચાયક પણ ચકાસી શકીએ છીએ: $|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 2(0 - 4) = -2(-4) = 8$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક નથી કારણ કે તેના મુખ્ય વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય નથી.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$ ની ગણતરી કરો.
તે જ રીતે,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 A^2 = 2^2(2A) = 2^3 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આપણે કહી શકીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે $A^n = 2^{n-1} A$ થાય.
તેથી,$n = 100$ માટે,$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$.

(A) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ છે:
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 3] - 2[2(-\lambda) - 3] + 1[2 - (1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 3) - 2(-2\lambda - 3) + (1 + \lambda) = 0$.
$(\lambda^2 - \lambda - 3 - \lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda) + 4\lambda + 6 + 1 + \lambda = 0$.
$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda + 4 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0$ મળે છે.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$A^3 - 2A^2 - 7A - 4I_3 = 0$.
આ સમીકરણને આપેલા સમીકરણ $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -7$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x = \frac{1}{m}$ અને $y = \frac{1}{n}$.
તેથી આપેલા સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$5x + 2y = 9$ --- $(1)$
$3x + 4y = 11$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$10x + 4y = 18$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરો:
$(10x - 3x) + (4y - 4y) = 18 - 11$
$7x = 7 \implies x = 1$
$x = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(1) + 2y = 9$
$5 + 2y = 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
કારણ કે $x = \frac{1}{m} = 1$,તેથી $m = 1$ મળે છે.
કારણ કે $y = \frac{1}{n} = 2$,તેથી $n = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$m = 1$ અને $n = \frac{1}{2}$ એ માંગેલ કિંમતો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot A^{-1} = I$ થાય,જ્યાં $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} (2x)(1) + (0)(-1) & (2x)(0) + (0)(2) \\ (x)(1) + (x)(-1) & (x)(0) + (x)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2x = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયકો અનુક્રમે $D_1, D_2$ અને $D_3$ છે.
$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}x & 4 & 6 \\ 2 & 3 & -9 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = x(3+54) - 4(2+45) + 6(12-15) = 57x - 188 - 18 = 57x - 206$.
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}5 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & -9\end{array}\right| = 5(-36-15) - 6(-54-10) + 1(18-8) = 5(-51) - 6(-64) + 10 = -255 + 384 + 10 = 139$.
$D_3 = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & -9 \\ 1-2x & -8 & -11 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = 2(-8+66) - 3(1-2x+55) - 9(6-12x+40) = 2(58) - 3(56-2x) - 9(46-12x) = 116 - 168 + 6x - 414 + 108x = 114x - 466$.
આપેલ છે કે $D_1 + D_2 = D_3$,તેથી $(57x - 206) + 139 = 114x - 466$.
$57x - 67 = 114x - 466$.
$466 - 67 = 114x - 57x$.
$399 = 57x$.
$x = \frac{399}{57} = 7$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ મૂલ્યોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 & 0 \\ 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 \\ 0 & 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{3} \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = \sqrt{3} ((\sqrt{3})(\sqrt{3}) - (1)(1)) - 1 ((1)(\sqrt{3}) - (1)(0)) + 0
= \sqrt{3} (3 - 1) - 1 (\sqrt{3})
= \sqrt{3} (2) - \sqrt{3}
= 2\sqrt{3} - \sqrt{3}
= \sqrt{3}$.
આમ,સાચો જવાબ $\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5x & 10 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
શ્રેણિક $A$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$|A| = (5x)(7) - (10)(8)$
$|A| = 35x - 80$
આપણને આપેલ છે કે $|A| = 25$. તેથી:
$35x - 80 = 25$
$35x = 25 + 80$
$35x = 105$
$x = \frac{105}{35}$
$x = 3$
આમ,સાચી કિંમત $3$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = \alpha^2 - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
આપણને આપેલ છે કે $|A^3| = 125$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|A^n| = |A|^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A|^3 = 125$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$ મળે.
હવે,$|A|$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\alpha^2 - 4 = 5$.
$\alpha^2 = 9$.
$\alpha = \pm 3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = 5 \sin x + 6 \cos x$.
પ્રથમ,વિકલન $y_1 = \frac{dy}{dx} = 5 \cos x - 6 \sin x$ શોધો.
હવે,$y^2 + (y_1)^2$ ની ગણતરી કરો:
$y^2 = (5 \sin x + 6 \cos x)^2 = 25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x$.
$(y_1)^2 = (5 \cos x - 6 \sin x)^2 = 25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$y^2 + (y_1)^2 = (25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x) + (25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x)$.
$y^2 + (y_1)^2 = 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 36(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$y^2 + (y_1)^2 = 25(1) + 36(1) = 61$.

(A) ધારો કે $y = x^{2 x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\log y = \log(x^{2 x})$ મળે છે.
$\log(a^b) = b \log a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log y = 2 x \log x$ મળે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{d}{d x}(x \log x)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \left( x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2(1 + \log x)$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = y \cdot 2(1 + \log x)$.
$y = x^{2 x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = 2 x^{2 x}(1 + \log x)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = (\cos^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y_1 = 2(\cos^{-1} x) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ મળે.
તેથી,$\sqrt{1-x^2} y_1 = -2 \cos^{-1} x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1-x^2) y_1^2 = 4 (\cos^{-1} x)^2 = 4y$ મળે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 4y_1$ મળે.
$2y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને),$(1-x^2) y_2 - x y_1 = 2$ મળે.
આમ,$(1-x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0$.
આને $(1-x^2) y_2 + p x y_1 + q = 0$ સાથે સરખાવતા,$p = -1$ અને $q = -2$ મળે.
તેથી,$p+q = -1 + (-2) = -3$.

(C) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{x}{1+6x^2} \right)$.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને $\frac{3x - 2x}{1 + (3x)(2x)}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(2x))$.
ચેઈન રૂલ $\frac{d}{dx} (\tan^{-1}(u)) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 - \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2} - \frac{2}{1+4x^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $y = e^{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}+\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ પદ $e^{\pi/2}$ બને છે,જે એક અચળ છે. અચળનું વિકલન $0$ થાય છે.
હવે,બાકીના પદોનું વિકલન કરો: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right]$.
પ્રથમ ભાગ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
બીજા ભાગ માટે: $\frac{d}{dx} \left( \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $\frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \sqrt{a^2-x^2}$.

(A) $f(x) = \sin(x^2) + \cos(x^2)$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $u = x^2$,તો $\frac{du}{dx} = 2x$ થાય.
વિકલન આ મુજબ મળે: $\frac{d}{dx}(\sin(u) + \cos(u)) = \frac{d}{du}(\sin(u) + \cos(u)) \cdot \frac{du}{dx}$.
$= (\cos(u) - \sin(u)) \cdot 2x$.
$u = x^2$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= 2x(\cos(x^2) - \sin(x^2))$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $y = \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$
$y = x + 2 + \frac{1}{x}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2) + \frac{d}{d x}(x^{-1})$
$\frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{-2}$
$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{1}{x^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = x^x$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન શોધીએ.
ધારો કે $y = x^x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(y) = x \ln(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ મળે છે.
આમ,$f'(x) = \frac{dy}{dx} = y(\ln(x) + 1) = x^x(\ln(x) + 1)$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) < 0$ ની જરૂર છે.
બધા $x \in R^{+}$ માટે $x^x > 0$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $\ln(x) + 1 < 0$.
આનાથી $\ln(x) < -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x < e^{-1}$ અથવા $x < 1/e$.
$x \in R^{+}$ આપેલ હોવાથી,અંતરાલ $(0, 1/e)$ છે.

(A) કોઈપણ વિધેય $f(x)$ અંતરાલ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલિત $f'(x)$ તે અંતરાલના તમામ $x$ માટે $0$ કે તેથી મોટું હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = x^2 + ax + 1$ આપેલ છે,તેથી તેનું વિકલિત $f'(x) = 2x + a$ થાય.
વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[1, 2]$ પર વધતું હોય તે માટે $x \in [1, 2]$ માટે $f'(x) \ge 0$ હોવું જરૂરી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2x + a \ge 0$ તમામ $x \in [1, 2]$ માટે.
$2x + a$ એ વધતું સુરેખ વિધેય હોવાથી,અંતરાલ $[1, 2]$ પર તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x$ ની સૌથી નાની કિંમત એટલે કે $x = 1$ આગળ મળે.
તેથી,આપણે $f'(1) \ge 0$ ની શરત તપાસવી પડે.
$x = 1$ મૂકતા: $2(1) + a \ge 0$.
$2 + a \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \ge -2$.
આમ,$a \ge -2$ માટે વિધેય અંતરાલ $[1, 2]$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log_{10} \cos x$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\log_{10} \cos x) = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.
અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં,$\tan x > 0$ અને $\ln 10 > 0$ છે.
તેથી,દરેક $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $f'(x) = -\frac{\tan x}{\ln 10} < 0$ થાય છે.
આપેલ અંતરાલમાં વિકલિત ઋણ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
ઘનફળમાં તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$
હવે,આપણે આ વિકલિતનું મૂલ્ય $r = 7 \ cm$ આગળ શોધીએ:
$\frac{dV}{dr} \Big|_{r=7} = 4 \pi (7)^2 = 4 \pi (49) = 196 \pi$
ઘનફળમાં ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે થતા ફેરફારના દરનો એકમ $\frac{cm^3}{cm} = cm^2$ છે.
તેથી,ફેરફારનો દર $196 \pi \ cm^2$ છે.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{3\pi} |\cos x| \, dx$
કારણ કે $\cos x$ વિધેય $x = \frac{\pi}{2}$,$x = \frac{3\pi}{2}$ અને $x = \frac{5\pi}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x \, dx + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} \cos x \, dx - \int_{5\pi/2}^{3\pi} \cos x \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$|\sin x|_{0}^{\pi/2} = |1 - 0| = 1$
$|\sin x|_{\pi/2}^{3\pi/2} = |-1 - 1| = |-2| = 2$
$|\sin x|_{3\pi/2}^{5\pi/2} = |1 - (-1)| = |2| = 2$
$|\sin x|_{5\pi/2}^{3\pi} = |0 - 1| = |-1| = 1$
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $A = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $5y = 5 - x$ છે,જેને $y = 1 - \frac{x}{5}$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 1$ તથા $x = 4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (1 - \frac{x}{5}) \, dx$
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\text{Area} = [x - \frac{x^2}{10}]_{1}^{4}$
સીમાઓ મૂકતા:
$\text{Area} = (4 - \frac{16}{10}) - (1 - \frac{1}{10})$
$\text{Area} = (4 - 1.6) - (1 - 0.1)$
$\text{Area} = 2.4 - 0.9 = 1.5$
આમ,ક્ષેત્રફળ $1.5$ ચોરસ એકમ છે,જે $\frac{3}{2}$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = |x - 3|$ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 2]$ માટે,પદ $(x - 3)$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (3 - x) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = [3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = (3(2) - \frac{2^2}{2}) - (3(0) - \frac{0^2}{2})$.
$A = (6 - 2) - 0 = 4$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે, જેને $x^2 + y^2 = 4^2$ તરીકે લખી શકાય। આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે।
પ્રથમ ચરણમાં, વર્તુળનું સમીકરણ $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે।
આ પ્રદેશ $x = 0$ અને $x = 4$ રેખાઓ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં આવૃત છે।
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
$A = [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
$A = [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0 + 0] = 4\pi$.
આમ, ક્ષેત્રફળ $4\pi$ ચોરસ એકમ છે।

(B) વક્ર $y = x^2 - x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ $(0, 1)$ માં વક્ર $y = x^2 - x$ એ $X$-અક્ષની નીચે આવેલું છે કારણ કે કોઈપણ $x \in (0, 1)$ માટે,$x^2 < x$,તેથી $y < 0$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) \right|$
$A = \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2y = -x + 8$ છે,તેથી $y = \frac{-x + 8}{2} = -\frac{1}{2}x + 4$ લખી શકાય.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 3$ તથા $x = 5$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીશું:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{3}^{5} y \, dx = \int_{3}^{5} (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx$.
વિધેયનું સંકલન કરતા:
$\int (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx = [-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 4x] = [-\frac{x^2}{4} + 4x]$.
હવે,$3$ થી $5$ સુધીની સીમાઓ લાગુ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{5^2}{4} + 4(5)] - [-\frac{3^2}{4} + 4(3)]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{25}{4} + 20] - [-\frac{9}{4} + 12]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{25}{4} + \frac{80}{4}] - [-\frac{9}{4} + \frac{48}{4}]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{55}{4} - \frac{39}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપેલ વક્ર $y = 2x^2$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 1$ છે,તેથી પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ ની વચ્ચે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx$.
સંકલન કરતા: $A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.