GSEB 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$ax - y = -2$
$x + ay = -3$
रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
यहाँ,$a_1 = a$,$b_1 = -1$,$a_2 = 1$,और $b_2 = a$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{a}$
$a^2 \neq -1$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए $a^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $a^2$ कभी भी $-1$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः,शर्त $a^2 \neq -1$ सभी वास्तविक संख्याओं $a$ के लिए संतुष्ट होती है।
इस प्रकार,$a$ के मानों का समुच्चय $R$ है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (-7, 8)$ और $(x_2, y_2) = (5, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{5 - (-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,बिंदु $(-7, 8)$ के लिए:
$y - 8 = -\frac{1}{2}(x - (-7))$
$2(y - 8) = -(x + 7)$
$2y - 16 = -x - 7$
$x + 2y - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ है।
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ होती है।
अतः,$f(x) = \sin(3x)$।
अब,$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(3 \times \frac{\pi}{3}\right) = \sin(\pi)$।
चूंकि $\sin(\pi) = 0$ होता है,इसलिए मान $0$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन सत्य है,हम पहले $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I$.
चूंकि $A^2 = 4I$,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
हम सारणिक की भी जाँच कर सकते हैं: $|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 2(0 - 4) = -2(-4) = 8$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ एक विकर्ण आव्यूह नहीं है क्योंकि इसके मुख्य विकर्ण के बाहर भी गैर-शून्य तत्व मौजूद हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$ की गणना करें।
इसी प्रकार,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 A^2 = 2^2(2A) = 2^3 A$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए $A^n = 2^{n-1} A$ होता है।
अतः,$n = 100$ के लिए,$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$।

(A) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण है:
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 3] - 2[2(-\lambda) - 3] + 1[2 - (1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 3) - 2(-2\lambda - 3) + (1 + \lambda) = 0$.
$(\lambda^2 - \lambda - 3 - \lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda) + 4\lambda + 6 + 1 + \lambda = 0$.
$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda + 4 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - 2A^2 - 7A - 4I_3 = 0$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ से करने पर,हमें $k = -7$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x = \frac{1}{m}$ और $y = \frac{1}{n}$ है।
तब दिए गए समीकरण इस प्रकार होंगे:
$5x + 2y = 9$ --- $(1)$
$3x + 4y = 11$ --- $(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$10x + 4y = 18$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाएं:
$(10x - 3x) + (4y - 4y) = 18 - 11$
$7x = 7 \implies x = 1$
$x = 1$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करें:
$5(1) + 2y = 9$
$5 + 2y = 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
चूंकि $x = \frac{1}{m} = 1$,इसलिए $m = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \frac{1}{n} = 2$,इसलिए $n = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 1$ और $n = \frac{1}{2}$ अभीष्ट मान हैं।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot A^{-1} = I$ होता है,जहाँ $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} (2x)(1) + (0)(-1) & (2x)(0) + (0)(2) \\ (x)(1) + (x)(-1) & (x)(0) + (x)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{bmatrix}$।
इसे तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना कि दिए गए सारणिक क्रमशः $D_1, D_2$ और $D_3$ हैं।
$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}x & 4 & 6 \\ 2 & 3 & -9 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = x(3+54) - 4(2+45) + 6(12-15) = 57x - 188 - 18 = 57x - 206$.
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}5 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & -9\end{array}\right| = 5(-36-15) - 6(-54-10) + 1(18-8) = 5(-51) - 6(-64) + 10 = -255 + 384 + 10 = 139$.
$D_3 = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & -9 \\ 1-2x & -8 & -11 \\ 5 & 6 & 1\end{array}\right| = 2(-8+66) - 3(1-2x+55) - 9(6-12x+40) = 2(58) - 3(56-2x) - 9(46-12x) = 116 - 168 + 6x - 414 + 108x = 114x - 466$.
दिया गया है कि $D_1 + D_2 = D_3$,इसलिए $(57x - 206) + 139 = 114x - 466$.
$57x - 67 = 114x - 466$.
$466 - 67 = 114x - 57x$.
$399 = 57x$.
$x = \frac{399}{57} = 7$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सबसे पहले,त्रिकोणमितीय मानों की गणना करें:
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 & 0 \\ 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) & 1 \\ 0 & 1 & 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{3} \end{array} \right|$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \sqrt{3} ((\sqrt{3})(\sqrt{3}) - (1)(1)) - 1 ((1)(\sqrt{3}) - (1)(0)) + 0
= \sqrt{3} (3 - 1) - 1 (\sqrt{3})
= \sqrt{3} (2) - \sqrt{3}
= 2\sqrt{3} - \sqrt{3}
= \sqrt{3}$.
अतः,सही उत्तर $\sqrt{3}$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5x & 10 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सारणिक $|A| = ad - bc$ के रूप में परिकलित किया जाता है।
आव्यूह $A$ पर इसे लागू करने पर:
$|A| = (5x)(7) - (10)(8)$
$|A| = 35x - 80$
हमें दिया गया है कि $|A| = 25$ है। इसलिए:
$35x - 80 = 25$
$35x = 25 + 80$
$35x = 105$
$x = \frac{105}{35}$
$x = 3$
अतः,सही मान $3$ है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = \alpha^2 - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 125$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करते हुए,हमें $|A|^3 = 125$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$|A|$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\alpha^2 - 4 = 5$.
$\alpha^2 = 9$.
$\alpha = \pm 3$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $y = 5 \sin x + 6 \cos x$।
सबसे पहले,अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = 5 \cos x - 6 \sin x$ ज्ञात करें।
अब,$y^2 + (y_1)^2$ की गणना करें:
$y^2 = (5 \sin x + 6 \cos x)^2 = 25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x$।
$(y_1)^2 = (5 \cos x - 6 \sin x)^2 = 25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$y^2 + (y_1)^2 = (25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x) + (25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x)$।
$y^2 + (y_1)^2 = 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 36(\cos^2 x + \sin^2 x)$।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 + (y_1)^2 = 25(1) + 36(1) = 61$।

(A) माना $y = x^{2 x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log y = \log(x^{2 x})$ प्राप्त होता है।
$\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log y = 2 x \log x$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{d}{d x}(x \log x)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \left( x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2(1 + \log x)$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = y \cdot 2(1 + \log x)$.
$y = x^{2 x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = 2 x^{2 x}(1 + \log x)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $y = (\cos^{-1} x)^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y_1 = 2(\cos^{-1} x) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1-x^2} y_1 = -2 \cos^{-1} x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1-x^2) y_1^2 = 4 (\cos^{-1} x)^2 = 4y$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 4y_1$ प्राप्त होता है।
$2y_1$ से भाग देने पर ($y_1 \neq 0$ मानते हुए),$(1-x^2) y_2 - x y_1 = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(1-x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0$।
इसकी तुलना $(1-x^2) y_2 + p x y_1 + q = 0$ से करने पर,$p = -1$ और $q = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p+q = -1 + (-2) = -3$।

(C) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{x}{1+6x^2} \right)$.
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को $\frac{3x - 2x}{1 + (3x)(2x)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(2x))$.
श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{d}{dx} (\tan^{-1}(u)) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 - \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2} - \frac{2}{1+4x^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $y = e^{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}+\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}$.
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,पहला पद $e^{\pi/2}$ हो जाता है,जो एक अचर है। अचर का अवकलज $0$ होता है।
अब,शेष पदों का अवकलन करें: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right]$.
पहले भाग के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
दूसरे भाग के लिए: $\frac{d}{dx} \left( \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $\frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \sqrt{a^2-x^2}$.

(A) $f(x) = \sin(x^2) + \cos(x^2)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = x^2$,तो $\frac{du}{dx} = 2x$ होगा।
अवकलन इस प्रकार है: $\frac{d}{dx}(\sin(u) + \cos(u)) = \frac{d}{du}(\sin(u) + \cos(u)) \cdot \frac{du}{dx}$.
$= (\cos(u) - \sin(u)) \cdot 2x$.
$u = x^2$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2x(\cos(x^2) - \sin(x^2))$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $y = \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$ है।
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करने पर:
$y = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$
$y = x + 2 + \frac{1}{x}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2) + \frac{d}{d x}(x^{-1})$
$\frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{-2}$
$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{1}{x^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^x$ किस अंतराल में ह्रासमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
माना $y = x^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(y) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ मिलता है।
अतः,$f'(x) = \frac{dy}{dx} = y(\ln(x) + 1) = x^x(\ln(x) + 1)$ है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि सभी $x \in R^{+}$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ की शर्त का अर्थ है कि $\ln(x) + 1 < 0$ है।
इससे $\ln(x) < -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x < e^{-1}$ या $x < 1/e$ है।
चूंकि $x \in R^{+}$ दिया गया है,इसलिए अंतराल $(0, 1/e)$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के अंतराल पर वर्धमान होने के लिए,उसका अवकलज $f'(x)$ उस अंतराल के सभी $x$ के लिए $0$ या उससे अधिक होना चाहिए।
दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + 1$ है,जिसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।
$f(x)$ के अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \ge 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $2x + a \ge 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
चूंकि $2x + a$ एक वर्धमान रैखिक फलन है,इसलिए अंतराल $[1, 2]$ पर इसका न्यूनतम मान $x$ के सबसे छोटे मान यानी $x = 1$ पर प्राप्त होगा।
अतः,हमें $f'(1) \ge 0$ की आवश्यकता है।
$x = 1$ रखने पर: $2(1) + a \ge 0$.
$2 + a \ge 0$,जिससे $a \ge -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \ge -2$ के लिए फलन अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान है।

(B) फलन $f(x) = \log_{10} \cos x$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\log_{10} \cos x) = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan x > 0$ और $\ln 10 > 0$ है।
इसलिए,सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) = -\frac{\tan x}{\ln 10} < 0$ है।
चूंकि दिए गए अंतराल में अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
आयतन में उसकी त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$
अब,हम इस अवकलज का मान $r = 7 \ cm$ पर ज्ञात करते हैं:
$\frac{dV}{dr} \Big|_{r=7} = 4 \pi (7)^2 = 4 \pi (49) = 196 \pi$
त्रिज्या के सापेक्ष आयतन में परिवर्तन की दर की इकाई $\frac{cm^3}{cm} = cm^2$ है।
अतः,परिवर्तन की दर $196 \pi \ cm^2$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{3\pi} |\cos x| \, dx$
चूंकि फलन $\cos x$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$,$x = \frac{3\pi}{2}$ और $x = \frac{5\pi}{2}$ पर चिन्ह बदलता है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x \, dx + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} \cos x \, dx - \int_{5\pi/2}^{3\pi} \cos x \, dx$
प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर:
$|\sin x|_{0}^{\pi/2} = |1 - 0| = 1$
$|\sin x|_{\pi/2}^{3\pi/2} = |-1 - 1| = |-2| = 2$
$|\sin x|_{3\pi/2}^{5\pi/2} = |1 - (-1)| = |2| = 2$
$|\sin x|_{5\pi/2}^{3\pi} = |0 - 1| = |-1| = 1$
इन मानों को जोड़ने पर: $A = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया वक्र $5y = 5 - x$ है,जिसे $y = 1 - \frac{x}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (1 - \frac{x}{5}) \, dx$
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\text{Area} = [x - \frac{x^2}{10}]_{1}^{4}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = (4 - \frac{16}{10}) - (1 - \frac{1}{10})$
$\text{Area} = (4 - 1.6) - (1 - 0.1)$
$\text{Area} = 2.4 - 0.9 = 1.5$
अतः,क्षेत्रफल $1.5$ वर्ग इकाई है,जो $\frac{3}{2}$ वर्ग इकाई के बराबर है।

(D) दिया गया वक्र $y = |x - 3|$ है।
अंतराल $x \in [0, 2]$ के लिए,व्यंजक $(x - 3)$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ होगा।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} (3 - x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $A = [3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = (3(2) - \frac{2^2}{2}) - (3(0) - \frac{0^2}{2})$।
$A = (6 - 2) - 0 = 4$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है, जिसे $x^2 + y^2 = 4^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
प्रथम चतुर्थांश में, वृत्त का समीकरण $y = \sqrt{16 - x^2}$ है।
यह क्षेत्र $x = 0$ और $x = 4$ रेखाओं द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
$A = [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
$A = [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0 + 0] = 4\pi$.
अतः, क्षेत्रफल $4\pi$ वर्ग इकाई है।

(B) वक्र $y = x^2 - x$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल $(0, 1)$ में वक्र $y = x^2 - x$,$X$-अक्ष के नीचे स्थित है क्योंकि किसी भी $x \in (0, 1)$ के लिए,$x^2 < x$,इसलिए $y < 0$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) \right|$
$A = \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण $2y = -x + 8$ है,जिसे $y = \frac{-x + 8}{2} = -\frac{1}{2}x + 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 3$ तथा $x = 5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम निश्चित समाकलन का उपयोग करेंगे:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{3}^{5} y \, dx = \int_{3}^{5} (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx$.
फलन का समाकलन करने पर:
$\int (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx = [-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 4x] = [-\frac{x^2}{4} + 4x]$.
अब,$3$ से $5$ तक की सीमाएं लागू करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{5^2}{4} + 4(5)] - [-\frac{3^2}{4} + 4(3)]$.
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{25}{4} + 20] - [-\frac{9}{4} + 12]$.
$\text{क्षेत्रफल} = [-\frac{25}{4} + \frac{80}{4}] - [-\frac{9}{4} + \frac{48}{4}]$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{55}{4} - \frac{39}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
अतः,क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया वक्र $y = 2x^2$,$X$-अक्ष और रेखा $x = 1$ है,अतः क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ तक है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx$.
समाकलन करने पर: $A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।