प्रथम 5 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से,यदि | vedclass

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Question

(C) प्रथम $5$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।$S$ से दो अलग संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = 10$ हैं।फर्मा के

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$\frac{3}{5}$

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(C) प्रथम $5$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।$S$ से दो अलग संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = 10$ हैं।फर्मा के प्रमेय के अनुसार,यदि $a$,$5$ से विभाज्य नहीं है,तो $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$।यदि $a$,$5$ से विभाज्य है,तो $a^4 \equiv 0 \pmod{5}$।हमें $x^4 - y^4$ को $5$ से विभाज्य बनाना है,अर्थात $x^4 \equiv y^4 \pmod{5}$।स्थिति $1$: $x$ और $y$ दोनों $5$ से विभाज्य नहीं हैं। तो $x^4 \equiv 1$ और $y^4 \equiv 1$,इसलिए $x^4 - y^4 \equiv 0 \pmod{5}$।$5$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं। इन $4$ संख्याओं में से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं।स्थिति $2$: यदि एक संख्या $5$ है,तो $x^4 - y^4$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए दूसरी संख्या भी $5$ होनी चाहिए,जो संभव नहीं है।अतः,अनुकूल परिणाम $6$ हैं।प्रायिकता $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।

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