AIPMT 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ભ્રમણાક્ષથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈ ધરાવતા પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dM = (M/L)dx$ છે.
આ ઘટકને $x$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dM)\omega^2 x$ છે.
$dM$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = (M/L)dx \cdot \omega^2 x = (M\omega^2/L)x dx$ મળે છે.
બાહ્ય છેડા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = L$ સુધીના આ કેન્દ્રગામી બળોનું સંકલન છે:
$F = \int_0^L \frac{M\omega^2}{L} x dx = \frac{M\omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M\omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2}ML\omega^2$.

(D) રિવર્બરેશન સમય એટલે તે સમયગાળો કે જેમાં ઓડિટોરિયમમાં અવાજની તીવ્રતા તેની પ્રારંભિક તીવ્રતાના દસ લાખમા ભાગની થઈ જાય છે. રિવર્બરેશન સમય માટે સેબિનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{0.16 V}{\sum a s}$
જ્યાં $V$ એ હોલનું કદ $m^3$ માં છે અને $\sum a s$ એ હોલનું કુલ શોષણ છે.
જ્યારે રૂમના પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ $V$ એ $V' = (2L)(2W)(2H) = 8V$ થાય છે.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S$ (જે $\sum a s$ ના પ્રમાણમાં છે) તે $S' = (2L)(2W) + (2W)(2H) + (2H)(2L) = 4S$ થાય છે.
રિવર્બરેશન સમયના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{V'}{S'} \times \frac{S}{V} = \frac{8V}{4S} \times \frac{S}{V} = \frac{8}{4} = 2$
આપેલ છે કે $T = 1 \; s$,તેથી $T' = 2 \times 1 = 2 \; s$.

(A) કણનું સ્થાન $x = 40 + 12t - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનમાં થતો ફેરફાર છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(40 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
કણ સ્થિર થાય ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $v = 0$.
$12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ s}$ (કારણ કે સમય ઋણ ન હોઈ શકે).
$t = 0$ થી $t = 2$ સુધી કણ દ્વારા કાપેલું અંતર સ્થાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$x(0) = 40 + 12(0) - (0)^3 = 40 \text{ m}$.
$x(2) = 40 + 12(2) - (2)^3 = 40 + 24 - 8 = 56 \text{ m}$.
કાપેલું અંતર = $x(2) - x(0) = 56 - 40 = 16 \text{ m}$.

(C) એક સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લેપમાં કાપેલું અંતર ટ્રેકના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2\pi r$ છે.
અહીં $r = 100\,m$ અને સમય $t = 62.8\,s$ આપેલ છે.
સરેરાશ ઝડપ એ કુલ અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2\pi r}{t} = \frac{2 \times 3.14 \times 100}{62.8} = \frac{628}{62.8} = 10\,m/s$.
કાર એક સંપૂર્ણ લેપ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન સમાન છે.
તેથી,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $0\,m$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ ચોખ્ખા સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{ચોખ્ખું સ્થાનાંતર}}{t} = \frac{0}{62.8} = 0\,m/s$.
આમ,સરેરાશ વેગ $0\,m/s$ અને સરેરાશ ઝડપ $10\,m/s$ છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થોને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે અને તેઓ સમાન ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ની અસર હેઠળ છે.
પદાર્થ $A$ ને લાગતો સમય $(t_A)$ અને પદાર્થ $B$ ને લાગતો સમય $(t_B)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{t_A}{t_B} = \frac{\sqrt{\frac{2h_A}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_B}{g}}} = \sqrt{\frac{h_A}{h_B}}$
અહીં $h_A = 16\,m$ અને $h_B = 25\,m$ આપેલ છે:
$\frac{t_A}{t_B} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$
આમ,લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $0.8$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\alpha$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ માટે:
$R_1 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ - \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ માટે:
$R_2 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ + \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બંને અવધિઓની સરખામણી કરતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}}{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}} = \frac{1}{1}$.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 0.5\, kg$
દડાની ઝડપ,$v = 12\, m/s$
દીવાલ સાથેનો ખૂણો,$\theta = 30^\circ$
સંપર્ક સમય,$\Delta t = 0.25\, s$
દીવાલને સમાંતર વેગમાનનો ઘટક બદલાતો નથી. દીવાલને લંબ વેગમાનનો ઘટક દિશા બદલે છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = -mv \sin \theta$ (દીવાલ તરફની દિશાને ઋણ લેતા).
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન: $p_f = mv \sin \theta$ (દીવાલથી દૂરની દિશાને ધન લેતા).
વેગમાનમાં ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = mv \sin \theta - (-mv \sin \theta) = 2mv \sin \theta$.
સરેરાશ બળ,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \sin \theta}{\Delta t}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times \sin 30^\circ}{0.25}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times 0.5}{0.25}$
$F = \frac{6}{0.25} = 24\, N$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 3\, kg$,સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{3}t^2$.
પ્રથમ,$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ મેળવો:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^2) = \frac{2}{3}t$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $a$ મેળવો:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{2}{3}t) = \frac{2}{3}\, m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = m \times a = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, N$.
થયેલું કાર્ય $W = \int F \, ds$. અહીં $ds = v \, dt$ હોવાથી,$W = \int_0^2 F \cdot v \, dt$.
$W = \int_0^2 2 \cdot (\frac{2}{3}t) \, dt = \frac{4}{3} \int_0^2 t \, dt$.
$W = \frac{4}{3} [\frac{t^2}{2}]_0^2 = \frac{4}{3} \times \frac{4}{2} = \frac{8}{3}\, J$.

(C) બ્લોક પર કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય $W_{total} = 300\, J$ છે.
આ કાર્ય બ્લોકની સ્થિતિ ઊર્જા વધારવા અને ઘર્ષણનો સામનો કરવા માટે વપરાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 200\, J$.
ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$ એ કુલ કાર્ય અને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલા કાર્ય વચ્ચેનો તફાવત છે:
$W_f = W_{total} - \Delta U$
$W_f = 300\, J - 200\, J = 100\, J$.

(B) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_{\max} T = b$ (અચળ)
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 1227^{\circ}C = 1227 + 273 = 1500\;K$
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max 1} = 5000\;\mathring{A}$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 1227^{\circ}C + 1000^{\circ}C = 2227^{\circ}C = 2227 + 273 = 2500\;K$
$\lambda_{\max 1} T_1 = \lambda_{\max 2} T_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\max 2} = \frac{\lambda_{\max 1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{\max 2} = \frac{5000 \times 1500}{2500}$
$\lambda_{\max 2} = 5000 \times 0.6 = 3000\;\mathring{A}$
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા $3000\;\mathring{A}$ પર જોવા મળશે.

(C) બિંદુ $A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે છે,જે $A$ થી $l/2$ અંતરે છે.
$\tau = mg \times \frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$
ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I\alpha$,જ્યાં $I$ એ $A$ ની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{ml^2}{3}$,તેથી:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{mgl}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર રહેલા પદાર્થ માટે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = 2R$ થાય છે.
આ અંતરથી પલાયન કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$-\frac{GMm}{2R} + \frac{1}{2}m(fv)^2 = 0$.
$R$ ઊંચાઈ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $(v')$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{GMm}{2R} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,આપણે લખી શકીએ $v' = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે પ્લેટફોર્મ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $fv$ છે,તેથી $fv = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_p} = \frac{7}{2}R$ આપેલ છે.
મેયરના સંબંધ ${C_p} - {C_V} = R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V}$ શોધી શકીએ છીએ.
${C_V} = {C_p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{{C_p}}{{C_V}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 40\% = 0.4$ અને $T_2 = 300\, K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.6 \implies T_1 = \frac{300}{0.6} = 500\, K$.
કાર્યક્ષમતામાં તેની મૂળ કાર્યક્ષમતાના $50\%$ જેટલો વધારો કરવાનો છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \eta + 0.5 \times \eta = 0.4 + 0.5(0.4) = 0.4 + 0.2 = 0.6 = 60\%$.
ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1'$ છે.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4 \implies T_1' = \frac{300}{0.4} = 750\, K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 - 500 = 250\, K$ છે.

(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીમાં ડૂબેલા બ્લોકની લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે બ્લોક તરે છે,ત્યારે બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg = A l \rho g$
જો બ્લોકને નીચેની તરફ થોડું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y$ આપવામાં આવે,તો ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ:
$F_{restoring} = -(A(l+y)\rho g - mg) = -(Al\rho g + Ay\rho g - mg)$
કારણ કે $mg = Al\rho g$,તેથી આપણને મળે છે:
$F_{restoring} = -A\rho g y$
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $F = -ky$ છે,જ્યાં સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = A\rho g$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A\rho g}}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$.

(A) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f$ એ સૂત્ર $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે: $f_1 = \frac{330}{5.0} = 66\, Hz$.
બીજા તરંગ માટે: $f_2 = \frac{330}{5.5} = 60\, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_1 - f_2|$.
બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ $= |66 - 60| = 6\, Hz$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 8.0 \sin \left( 0.5 \pi x - 4 \pi t - \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,તરંગ સંખ્યા $k = 0.5 \pi$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \pi$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{4 \pi}{0.5 \pi} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $8 \ m/s$ છે.

(C) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $c$ માટે: $c$ ને $t$ (સમય) માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $c$ નું પરિમાણ $t$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[c] = [T]$.
$2$. પદ $at$ માટે: $at$ નું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. આમ,$[a][T] = [LT^{-1}]$,જે $[a] = [LT^{-2}]$ આપે છે.
$3$. પદ $\frac{b}{t+c}$ માટે: સમગ્ર પદનું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[t+c] = [T]$,આપણી પાસે $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$ છે. તેથી,$[b] = [L]$.
આમ,પરિમાણો $a = LT^{-2}, b = L, c = T$ છે.

(B) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે. હવામાં,ધ્વનિ તરંગો સંગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે,જ્યાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે.
પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. તે લંબગત તરંગો છે,જ્યાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે હવામાં ધ્વનિ તરંગો સંગત છે જ્યારે પ્રકાશના તરંગો લંબગત છે.

(A) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{G} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = R$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ મળે છે.

(D) બે સદિશોના સરવાળાનું માન $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકીનું માન $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{A}|^2$ અને $|\vec{B}|^2$ ને દૂર કરતા,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ મળે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\vec{A}| \neq 0$ અને $|\vec{B}| \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) $x$ અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રારંભિક ખેંચાણ $x_1 = 2\,cm$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ છે.
અંતિમ ખેંચાણ $x_2 = 8\,cm$ માટે,નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U'$ એ $U' = \frac{1}{2} k (8)^2 = 32k$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{U'}{U} = \frac{\frac{1}{2} k (8)^2}{\frac{1}{2} k (2)^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = (4)^2 = 16$.
તેથી,$U' = 16\,U$.

(B) ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$T_C$ થી નીચેના તાપમાને,ચુંબકીય ડોમેન્સના ગોઠવણીને કારણે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે અને $T_C$ સુધી પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલન એટલું પ્રબળ બની જાય છે કે તે ડોમેન્સની ગોઠવણી જાળવી રાખતા એક્સચેન્જ કપલિંગને દૂર કરી શકે છે.
પરિણામે,ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર,પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,ત્યારે તેમાં પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે અને પ્રેરિત પ્રવાહ વહે છે. આ પ્રેરિત પ્રવાહો વાહકમાં બંધ ગાળાના સ્વરૂપમાં રચાય છે. આ પ્રવાહો વમળ જેવા દેખાતા હોવાથી તેને $Eddy$ પ્રવાહો (વમળ પ્રવાહો) કહેવામાં આવે છે. આ પ્રવાહો તેમના ઉદ્ભવના કારણનો વિરોધ કરે છે; તેથી,$Eddy$ પ્રવાહોને કારણે ઉષ્મા ઉર્જાના સ્વરૂપમાં ઘણી ઉર્જાનો વ્યય થાય છે. જો ટ્રાન્સફોર્મરનો ગર્ભ લેમિનેટેડ કરવામાં આવે,તો આ પ્રવાહોનો માર્ગ મર્યાદિત થાય છે અને તેમની અસર ઘટાડી શકાય છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} pE \sin \theta \, d\theta = pE (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં ડાયપોલ શરૂઆતમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = pE (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી:
$W = pE (1 - 0) = pE$.

(D) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ કાગળના સમતલમાં છે.
કાગળના સમતલમાં રહેલી સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ એ કાગળના સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = ES \cos 90^{\circ} = ES(0) = 0$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતભાર,કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $V = \frac{Q}{C}$ છે.
અહીં $Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધશે.

(C) આ સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. ઉપરની શાખામાં $1 \,\Omega$ અને $3 \,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $R_1 = 1 + 3 = 4 \,\Omega$ થાય. નીચેની શાખામાં $R_2 = 8 \,\Omega$ નો અવરોધ છે.
શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,બંને શાખાઓ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$8 \,\Omega$ ના અવરોધ માટે,$P_2 = \frac{V^2}{8} = 2 \,\text{W},$ જેનો અર્થ છે કે $V^2 = 16 \,\text{V}^2$ થાય.
ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{V}{4}$ છે.
$3 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_{3\Omega} = i_1^2 \times 3 = \left(\frac{V}{4}\right)^2 \times 3 = \frac{V^2}{16} \times 3$ થાય.
$V^2 = 16$ મૂકતા,આપણને $P_{3\Omega} = \frac{16}{16} \times 3 = 3 \,\text{W}$ મળે છે.

(C) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - I r_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - I r_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = I r_1$.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને જંકશનના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભાર એકઠો થઈ શકતો નથી.
કિર્ચોફનો બીજો નિયમ,જેને લૂપના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બંધ લૂપની આસપાસ એકમ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C$ છે અને બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે. ધારો કે $V_C - V_D = V$.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે: $CAD$ અને $CBD$.
શાખા $CAD$ માં,કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે. પ્રવાહ $I = \frac{V}{8} \, A$ છે.
$C$ ની સાપેક્ષે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C - V_A = I \times 4 \, \Omega = \frac{V}{8} \times 4 = \frac{V}{2}$ છે. તેથી,$V_A = V_C - \frac{V}{2}$.
શાખા $CBD$ માં,કુલ અવરોધ $1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે. પ્રવાહ $I' = \frac{V}{4} \, A$ છે.
$C$ ની સાપેક્ષે $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C - V_B = I' \times 1 \, \Omega = \frac{V}{4} \times 1 = \frac{V}{4}$ છે. તેથી,$V_B = V_C - \frac{V}{4}$.
સ્થિતિમાનની સરખામણી કરતા,$V_B = V_C - 0.25V$ અને $V_A = V_C - 0.5V$. કારણ કે $V_B > V_A$,તેથી જ્યારે તેમની વચ્ચે તાર જોડવામાં આવે ત્યારે પ્રવાહ $B$ થી $A$ તરફ વહેશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
આ બળનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F = qvB \sin \theta$
જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળ શૂન્ય ન હોય $(F \neq 0)$ તે માટે,$\sin \theta \neq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $\theta = 0^{\circ}$ અને $\theta = 180^{\circ}$ પર $\sin \theta = 0$ થાય છે,તેથી આ કિસ્સાઓમાં બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બળ શૂન્ય ન હોય તે માટે,ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અને $180^{\circ}$ સિવાયનું કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1} = +25\, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2} = -25\, cm$ છે.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટરમાં $P = \frac{100}{f(cm)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_{1} = \frac{100}{25} = +4\, D$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_{2} = \frac{100}{-25} = -4\, D$ છે.
જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P = P_{1} + P_{2}$ થાય છે.
તેથી,$P = 4\, D + (-4\, D) = 0\, D$ થાય છે.

(C) કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવે ત્યારે નિશાનની આભાસી ઊંડાઈ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu} = \frac{3\, cm}{1.5} = 2\, cm$.
નિશાનના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર (Shift) નીચે મુજબ છે: $\text{Shift} = \text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} - \text{આભાસી ઊંડાઈ} = 3\, cm - 2\, cm = 1\, cm$.
નિશાન માઇક્રોસ્કોપની તરફ $1\, cm$ જેટલું ઉપર આવેલું દેખાય છે,તેથી નિશાનને ફરીથી ફોકસમાં લાવવા માટે માઇક્રોસ્કોપને $1\, cm$ ઉપરની તરફ ખસેડવું આવશ્યક છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = 1 \, MeV = 1 \times 10^6 \, eV$ આપેલ છે.
ઊર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-13} \, J$.
ફોટોનનું વેગમાન $p$ અને ઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = E/c$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{1.6 \times 10^{-13} \, J}{3 \times 10^8 \, m/s}$.
$p \approx 0.533 \times 10^{-21} \, kg \, m/s$.
$p \approx 5.33 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$ છે.

(A) ધારો કે $f$ અને $2f$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત પ્રકાશ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અનુક્રમે $K$ અને $K^{\prime}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K = hf - E_0$ ....... $(i)$
બમણી આવૃત્તિ $2f$ માટે,નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$K^{\prime} = h(2f) - E_0$ ...... $(ii)$
આપણે સમીકરણ $(ii)$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$K^{\prime} = 2hf - E_0$
$K^{\prime} = hf + hf - E_0$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $hf = K + E_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$K^{\prime} = (K + E_0) + hf - E_0$
$K^{\prime} = K + hf$

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ ધાતુની સપાટી પર પડે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,પ્રકાશની તીવ્રતામાં થતો ફેરફાર ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહમાં અનુરૂપ ફેરફાર લાવે છે.

(D) બે ગૂંચળા વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ સૂત્ર $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ કપલિંગનો ગુણાંક છે.
કારણ કે એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું છે,તેથી ગૂંચળા સંપૂર્ણપણે જોડાયેલા છે,જેનો અર્થ છે કે $K = 1$.
અહીં $L_1 = 2 \, mH$ અને $L_2 = 8 \, mH$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 1 \times \sqrt{2 \, mH \times 8 \, mH}$
$M = \sqrt{16 \, mH^2}$
$M = 4 \, mH$.

(D) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = 31\,\Omega$
અવરોધ $R = 8\,\Omega$
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = 25\,\Omega$
શ્રેણી $LCR$ પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{8^{2} + (31 - 25)^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 6^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 36}$
$Z = \sqrt{100} = 10\,\Omega$
પરિપથનો પાવર ફેક્ટર નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
$R$ અને $Z$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$

(D) $LC$ ઓસિલેટરની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L$ અને કેપેસિટન્સ $C_1 = C$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2$ છે,જ્યાં નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L_2 = 2L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = 4C$ છે.
આવૃત્તિઓના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}} = \sqrt{\frac{L_1 C_1}{L_2 C_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{L \times C}{2L \times 4C}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2\sqrt{2}}$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુનું આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $13.6 \ eV$ છે. $n^{th}$ કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં રહેલો હાઇડ્રોજન પરમાણુ $12.1 \ eV$ ઉર્જાનો ફોટોન શોષે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n$ માં ઉત્તેજિત થાય છે. ઉર્જાનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$E = E_n - E_1$
$12.1 = -\frac{13.6}{n^2} - (-13.6)$
$12.1 = 13.6 - \frac{13.6}{n^2}$
$\frac{13.6}{n^2} = 13.6 - 12.1 = 1.5$
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06 \approx 9$
$n = 3$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n^{th}$ અવસ્થામાંથી પાછા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=3$ માટે,વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા = $\frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

(C) ન્યુક્લિયર સંલયન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $_{1}^{2}H + _{1}^{2}H \rightarrow _{2}^{4}He + Q$.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
$Q = B.E.(_{2}^{4}He) - 2 \times B.E.(_{1}^{2}H)$.
આપેલ છે:
$B.E.(_{2}^{4}He) = 28 \, MeV$
$B.E.(_{1}^{2}H) = 2.2 \, MeV$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 28 - 2(2.2) \, MeV$
$Q = 28 - 4.4 \, MeV$
$Q = 23.6 \, MeV$.
તેથી,મુક્ત થતી ઉર્જા $23.6 \, MeV$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,કોઈપણ સમયે $t$ એક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1$ સમયે,એક્ટિવિટી $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ છે.
$t_2$ સમયે,એક્ટિવિટી $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}} = e^{-\lambda t_1} \cdot e^{\lambda t_2} = e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$.
તેથી,$R_1 = R_2 e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું અવલોકન કરીને,આપણે ઇનપુટ $A$ અને $B$ તથા આઉટપુટ $C$ માટે સત્યતા કોષ્ટક (truth table) બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$C$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટકની સરખામણી લોજિક ગેટના પ્રમાણિત સત્યતા કોષ્ટકો સાથે કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $C$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. આ $AND$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે. તેથી,આપેલ લોજિક સર્કિટ ગેટ $AND$ ગેટ છે.

(D) બેઝ કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_B = 150 \, \mu A - 100 \, \mu A = 50 \, \mu A = 50 \times 10^{-6} \, A$ છે.
કલેક્ટર કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_C = 10 \, mA - 5 \, mA = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$ છે.
કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં કરંટ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \times 10^{-3} \, A}{50 \times 10^{-6} \, A} = \frac{5000 \times 10^{-6}}{50 \times 10^{-6}} = 100$.
તેથી,કરંટ ગેઇન $\beta$ નું મૂલ્ય $100$ છે.

(D) $p-n$ જંકશન ડાયોડને ફોરવર્ડ બાયસ કહેવામાં આવે છે જો $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $(V_p)$ એ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ $(V_n)$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $V_p > V_n$.
ચાલો દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $V_p = -4 \text{ V}$,$V_n = -3 \text{ V}$. અહીં,$-4 < -3$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$B$: $V_p = -2 \text{ V}$,$V_n = +2 \text{ V}$. અહીં,$-2 < +2$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$C$: $V_p = 3 \text{ V}$,$V_n = 5 \text{ V}$. અહીં,$3 < 5$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$D$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -2 \text{ V}$. અહીં,$0 > -2$,તેથી $V_p > V_n$ (ફોરવર્ડ બાયસ).
તેથી,વિકલ્પ $D$ ફોરવર્ડ બાયસ ડાયોડ દર્શાવે છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને ગૂંચળા માટે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે,તેથી:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો અવરોધ $R$ તેમની લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \rho \frac{l}{A})$.
લંબાઈઓ $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ અને $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = IR$,તેથી $I = V/R$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_{Ge} = 2 R_{Be}$ અને $A_{Be} = 9$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 = \left(\frac{A_{Ge}}{9}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે $2^3 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$8 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$A_{Ge} = 8 \times 9 = 72$.
આમ,જર્મેનિયમમાં ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા $72$ છે.