AIPMT 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव का द्रव्यमान $dM = (M/L)dx$ है।
इस अवयव को $x$ त्रिज्या के वृत्त में घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dM)\omega^2 x$ है।
$dM$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dF = (M/L)dx \cdot \omega^2 x = (M\omega^2/L)x dx$ प्राप्त होता है।
बाहरी सिरे पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L$ तक इन अभिकेंद्र बलों का समाकलन है:
$F = \int_0^L \frac{M\omega^2}{L} x dx = \frac{M\omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M\omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2}ML\omega^2$.

(D) अनुरणन काल वह समय है जिसके दौरान सभागार में ध्वनि की तीव्रता अपनी प्रारंभिक तीव्रता का दस लाखवां हिस्सा हो जाती है। अनुरणन काल के लिए सबाइन का सूत्र है:
$T = \frac{0.16 V}{\sum a s}$
जहाँ $V$ हॉल का आयतन $m^3$ में है और $\sum a s$ हॉल का कुल अवशोषण है।
चूंकि कमरे की विमाएँ दोगुनी कर दी गई हैं,इसलिए आयतन $V$ बढ़कर $V' = (2L)(2W)(2H) = 8V$ हो जाता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ (जो $\sum a s$ के समानुपाती है) $S' = (2L)(2W) + (2W)(2H) + (2H)(2L) = 4S$ हो जाता है।
अनुरणन काल के अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{T'}{T} = \frac{V'}{S'} \times \frac{S}{V} = \frac{8V}{4S} \times \frac{S}{V} = \frac{8}{4} = 2$
दिया गया है कि $T = 1 \; s$,इसलिए $T' = 2 \times 1 = 2 \; s$।

(A) कण की स्थिति $x = 40 + 12t - t^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(40 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,उसका वेग शून्य होना चाहिए: $v = 0$.
$12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ s}$ (क्योंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
$t = 0$ से $t = 2$ तक कण द्वारा तय की गई दूरी स्थिति में परिवर्तन के बराबर है:
$x(0) = 40 + 12(0) - (0)^3 = 40 \text{ m}$.
$x(2) = 40 + 12(2) - (2)^3 = 40 + 24 - 8 = 56 \text{ m}$.
तय की गई दूरी = $x(2) - x(0) = 56 - 40 = 16 \text{ m}$.

(C) एक पूर्ण वृत्ताकार चक्कर में तय की गई दूरी ट्रैक की परिधि के बराबर होती है,जो $2\pi r$ है।
यहाँ $r = 100\,m$ और समय $t = 62.8\,s$ दिया गया है।
औसत चाल कुल दूरी और कुल समय का अनुपात है:
$\text{औसत चाल} = \frac{2\pi r}{t} = \frac{2 \times 3.14 \times 100}{62.8} = \frac{628}{62.8} = 10\,m/s$.
चूंकि कार एक पूरा चक्कर लगाती है,इसलिए अंतिम स्थिति और प्रारंभिक स्थिति समान है।
अतः,कुल विस्थापन $0\,m$ है।
औसत वेग कुल विस्थापन और कुल समय का अनुपात है:
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{t} = \frac{0}{62.8} = 0\,m/s$.
इस प्रकार,औसत वेग $0\,m/s$ और औसत चाल $10\,m/s$ है।

(A) $h$ ऊँचाई से गिराए गए किसी पिंड द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि दोनों पिंडों को गिराया गया है,उनका प्रारंभिक वेग $0$ है और वे समान गुरुत्वीय त्वरण $g$ के प्रभाव में हैं।
पिंड $A$ द्वारा लिए गए समय $(t_A)$ और पिंड $B$ द्वारा लिए गए समय $(t_B)$ का अनुपात है:
$\frac{t_A}{t_B} = \frac{\sqrt{\frac{2h_A}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_B}{g}}} = \sqrt{\frac{h_A}{h_B}}$
यहाँ $h_A = 16\,m$ और $h_B = 25\,m$ दिया गया है:
$\frac{t_A}{t_B} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$
अतः,लिए गए समय का अनुपात $0.8$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\alpha$ प्रक्षेप कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रथम प्रक्षेप कोण $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ के लिए:
$R_1 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ - \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
द्वितीय प्रक्षेप कोण $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ के लिए:
$R_2 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ + \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
दोनों परासों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}}{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}} = \frac{1}{1}$.
अतः,क्षैतिज परास का अनुपात $1:1$ है।

(C) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 0.5\, kg$
गेंद की गति,$v = 12\, m/s$
दीवार के साथ कोण,$\theta = 30^\circ$
संपर्क समय,$\Delta t = 0.25\, s$
दीवार के समानांतर संवेग का घटक अपरिवर्तित रहता है। दीवार के लंबवत संवेग का घटक दिशा बदलता है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग: $p_i = -mv \sin \theta$ (दीवार की ओर की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग: $p_f = mv \sin \theta$ (दीवार से दूर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
संवेग में परिवर्तन,$\Delta p = p_f - p_i = mv \sin \theta - (-mv \sin \theta) = 2mv \sin \theta$.
औसत बल,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \sin \theta}{\Delta t}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times \sin 30^\circ}{0.25}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times 0.5}{0.25}$
$F = \frac{6}{0.25} = 24\, N$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3\, kg$,विस्थापन $s = \frac{1}{3}t^2$.
सबसे पहले,$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^2) = \frac{2}{3}t$.
इसके बाद,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{2}{3}t) = \frac{2}{3}\, m/s^2$.
वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = m \times a = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, N$.
किया गया कार्य $W = \int F \, ds$ है। चूँकि $ds = v \, dt$,इसलिए $W = \int_0^2 F \cdot v \, dt$.
$W = \int_0^2 2 \cdot (\frac{2}{3}t) \, dt = \frac{4}{3} \int_0^2 t \, dt$.
$W = \frac{4}{3} [\frac{t^2}{2}]_0^2 = \frac{4}{3} \times \frac{4}{2} = \frac{8}{3}\, J$.

(C) ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $W_{total} = 300\, J$ है।
यह कार्य ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाने और घर्षण को दूर करने के लिए उपयोग किया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta U = 2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 200\, J$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$ कुल कार्य और गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का अंतर है:
$W_f = W_{total} - \Delta U$
$W_f = 300\, J - 200\, J = 100\, J$.

(B) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर रहता है:
$\lambda_{\max} T = b$ (स्थिरांक)
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 1227^{\circ}C = 1227 + 273 = 1500\;K$
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max 1} = 5000\;\mathring{A}$
अंतिम तापमान $T_2 = 1227^{\circ}C + 1000^{\circ}C = 2227^{\circ}C = 2227 + 273 = 2500\;K$
$\lambda_{\max 1} T_1 = \lambda_{\max 2} T_2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\lambda_{\max 2} = \frac{\lambda_{\max 1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{\max 2} = \frac{5000 \times 1500}{2500}$
$\lambda_{\max 2} = 5000 \times 0.6 = 3000\;\mathring{A}$
अतः,अधिकतम तीव्रता $3000\;\mathring{A}$ पर देखी जाएगी।

(C) बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण $\tau$,छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है,जो $A$ से $l/2$ की दूरी पर है।
$\tau = mg \times \frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$
आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,$\tau = I\alpha$,जहाँ $I$,$A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
दिया गया है कि $I = \frac{ml^2}{3}$,इसलिए:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{mgl}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(C) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर स्थित पिंड के लिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = 2R$ है।
इस दूरी से पलायन करने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा शून्य होनी चाहिए:
$-\frac{GMm}{2R} + \frac{1}{2}m(fv)^2 = 0$.
$R$ ऊँचाई पर पलायन वेग $(v')$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{GMm}{2R} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,हम लिख सकते हैं $v' = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
यह दिया गया है कि प्लेटफॉर्म से पलायन वेग $fv$ है,इसलिए $fv = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
अतः,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_p} = \frac{7}{2}R$ दी गई है।
मेयर के संबंध ${C_p} - {C_V} = R$ का उपयोग करके,हम स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V}$ ज्ञात कर सकते हैं।
${C_V} = {C_p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{{C_p}}{{C_V}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$.

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
दिया गया है $\eta = 40\% = 0.4$ और $T_2 = 300\, K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.6 \implies T_1 = \frac{300}{0.6} = 500\, K$.
दक्षता को उसकी मूल दक्षता के $50\%$ तक बढ़ाया जाना है।
नई दक्षता $\eta' = \eta + 0.5 \times \eta = 0.4 + 0.5(0.4) = 0.4 + 0.2 = 0.6 = 60\%$.
माना नया स्रोत तापमान $T_1'$ है।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4 \implies T_1' = \frac{300}{0.4} = 750\, K$.
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 - 500 = 250\, K$ है।

(C) माना संतुलन की स्थिति में द्रव में डूबे हुए ब्लॉक की लंबाई $l$ है। जब ब्लॉक तैर रहा होता है,तो ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$mg = A l \rho g$
यदि ब्लॉक को नीचे की ओर थोड़ा ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ दिया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल है:
$F_{restoring} = -(A(l+y)\rho g - mg) = -(Al\rho g + Ay\rho g - mg)$
चूंकि $mg = Al\rho g$,हमें प्राप्त होता है:
$F_{restoring} = -A\rho g y$
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $F = -ky$ है,जहाँ स्प्रिंग नियतांक $k = A\rho g$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A\rho g}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$।

(A) ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{\lambda}$ है,जहाँ $v$ वेग है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
पहली तरंग के लिए: $f_1 = \frac{330}{5.0} = 66\, Hz$.
दूसरी तरंग के लिए: $f_2 = \frac{330}{5.5} = 60\, Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_1 - f_2|$.
विस्पंद प्रति सेकंड $= |66 - 60| = 6\, Hz$.

(A) दी गई तरंग समीकरण $y(x, t) = 8.0 \sin \left( 0.5 \pi x - 4 \pi t - \frac{\pi}{4} \right)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ से करने पर:
यहाँ,तरंग संख्या $k = 0.5 \pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \pi$ है।
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होती है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{4 \pi}{0.5 \pi} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s$.
अतः,तरंग की चाल $8 \ m/s$ है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. पद $c$ के लिए: चूँकि $c$ को $t$ (समय) में जोड़ा गया है,इसलिए $c$ की विमा $t$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[c] = [T]$.
$2$. पद $at$ के लिए: $at$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। अतः,$[a][T] = [LT^{-1}]$,जिससे $[a] = [LT^{-2}]$ प्राप्त होता है।
$3$. पद $\frac{b}{t+c}$ के लिए: पूरे पद की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[t+c] = [T]$,हमारे पास $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$ है। अतः,$[b] = [L]$.
इस प्रकार,विमाएँ $a = LT^{-2}, b = L, c = T$ हैं।

(B) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है। हवा में,ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों के रूप में चलती हैं,जहाँ माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। ये अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं,जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं जबकि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं।

(A) केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
समांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार,डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{G} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = R$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ प्राप्त होता है।

(D) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{A}|^2$ और $|\vec{B}|^2$ को हटाने पर,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,$|\vec{A}| \neq 0$ और $|\vec{B}| \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(A) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रारंभिक खिंचाव $x_1 = 2\,cm$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ है।
अंतिम खिंचाव $x_2 = 8\,cm$ के लिए,नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{1}{2} k (8)^2 = 32k$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{U'}{U} = \frac{\frac{1}{2} k (8)^2}{\frac{1}{2} k (2)^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = (4)^2 = 16$.
अतः,$U' = 16\,U$.

(B) क्यूरी तापमान $(T_C)$ लौहचुंबकीय पदार्थों का एक विशिष्ट गुण है।
$T_C$ से कम तापमान पर,चुंबकीय डोमेन के संरेखण के कारण पदार्थ लौहचुंबकीय गुण प्रदर्शित करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है और $T_C$ तक पहुँचता है,तापीय हलचल इतनी प्रबल हो जाती है कि वह उस एक्सचेंज कपलिंग को समाप्त कर देती है जो इन डोमेन के संरेखण को बनाए रखती है।
परिणामस्वरूप,क्यूरी तापमान से ऊपर,पदार्थ अपना स्वतःस्फूर्त चुंबकत्व खो देता है और अनुचुंबकीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) जब किसी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,तो उसमें प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है और प्रेरित धारा प्रवाहित होती है। ये प्रेरित धाराएँ चालक में बंद लूप के रूप में स्थापित होती हैं। ये धाराएँ भंवर या भंवर के समान दिखती हैं और इन्हें $Eddy$ धाराएँ कहा जाता है। ये धाराएँ अपने उत्पन्न होने के कारण का विरोध करती हैं; इसलिए,$Eddy$ धाराओं के कारण,ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में बड़ी मात्रा में ऊर्जा नष्ट हो जाती है। यदि ट्रांसफॉर्मर के क्रोड को पटलित (laminated) किया जाता है,तो इन धाराओं का मार्ग सीमित हो जाता है और उनके प्रभाव को कम किया जा सकता है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_1$ से अंतिम कोण $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} pE \sin \theta \, d\theta = pE (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
चूंकि द्विध्रुव प्रारंभ में विद्युत क्षेत्र के अनुदिश है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
अंतिम कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = pE (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए:
$W = pE (1 - 0) = pE$.

(D) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल होता है।
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ कागज के तल में स्थित है।
कागज के तल में स्थित सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ कागज के तल के लंबवत होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए सतह से संबद्ध विद्युत फ्लक्स $\phi$ होगा:
$\phi = ES \cos 90^{\circ} = ES(0) = 0$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
आवेश,धारिता और विभवांतर के बीच संबंध $V = \frac{Q}{C}$ है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ जाएगा।

(C) यह परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $1 \,\Omega$ और $3 \,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_1 = 1 + 3 = 4 \,\Omega$ है। निचली शाखा में $R_2 = 8 \,\Omega$ का प्रतिरोधक है।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए दोनों शाखाओं के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है।
प्रतिरोधक में व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$8 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के लिए,$P_2 = \frac{V^2}{8} = 2 \,\text{W},$ जिसका अर्थ है कि $V^2 = 16 \,\text{V}^2$ है।
ऊपरी शाखा से बहने वाली धारा $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{V}{4}$ है।
$3 \,\Omega$ के प्रतिरोधक में व्ययित शक्ति $P_{3\Omega} = i_1^2 \times 3 = \left(\frac{V}{4}\right)^2 \times 3 = \frac{V^2}{16} \times 3$ है।
$V^2 = 16$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P_{3\Omega} = \frac{16}{16} \times 3 = 3 \,\text{W}$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी संयोजन का कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले सेल (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ है) के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - I r_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - I r_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = I r_1$।
$I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे जंक्शन नियम के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश जमा नहीं हो सकता है।
किरचॉफ का द्वितीय नियम,जिसे लूप नियम के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में एक बंद लूप के चारों ओर एक इकाई आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(B) मान लीजिए बिंदु $C$ पर विभव $V_C$ है और बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है। मान लीजिए $V_C - V_D = V$ है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है: $CAD$ और $CBD$।
शाखा $CAD$ में,कुल प्रतिरोध $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है। धारा $I = \frac{V}{8} \, A$ है।
$C$ के सापेक्ष $A$ पर विभव $V_C - V_A = I \times 4 \, \Omega = \frac{V}{8} \times 4 = \frac{V}{2}$ है। अतः,$V_A = V_C - \frac{V}{2}$ है।
शाखा $CBD$ में,कुल प्रतिरोध $1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ है। धारा $I' = \frac{V}{4} \, A$ है।
$C$ के सापेक्ष $B$ पर विभव $V_C - V_B = I' \times 1 \, \Omega = \frac{V}{4} \times 1 = \frac{V}{4}$ है। अतः,$V_B = V_C - \frac{V}{4}$ है।
विभव की तुलना करने पर,$V_B = V_C - 0.25V$ और $V_A = V_C - 0.5V$ प्राप्त होता है। चूंकि $V_B > V_A$ है,इसलिए जब उनके बीच एक तार जोड़ा जाता है तो धारा $B$ से $A$ की ओर बहेगी।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान एक आवेशित कण पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
इस बल का परिमाण है:
$F = qvB \sin \theta$
जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
बल के शून्य न होने $(F \neq 0)$ के लिए,$\sin \theta \neq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\theta = 0^{\circ}$ और $\theta = 180^{\circ}$ पर $\sin \theta = 0$ होता है,इसलिए इन स्थितियों में बल शून्य होता है।
अतः,बल के शून्य न होने के लिए,कोण $\theta$ का मान $0^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के अलावा कुछ भी हो सकता है।

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{1} = +25\, cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{2} = -25\, cm$ है।
डायोप्टर में लेंस की शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{100}{f(cm)}$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_{1} = \frac{100}{25} = +4\, D$ है।
अवतल लेंस की शक्ति $P_{2} = \frac{100}{-25} = -4\, D$ है।
जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो संयोजन की कुल शक्ति $P = P_{1} + P_{2}$ होती है।
अतः,$P = 4\, D + (-4\, D) = 0\, D$।

(C) कांच के स्लैब के माध्यम से देखे जाने पर निशान की आभासी गहराई (apparent depth) इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\mu} = \frac{3\, cm}{1.5} = 2\, cm$.
निशान की स्थिति में विस्थापन (shift) इस प्रकार है: $\text{Shift} = \text{वास्तविक गहराई} - \text{आभासी गहराई} = 3\, cm - 2\, cm = 1\, cm$.
चूंकि निशान सूक्ष्मदर्शी की ओर $1\, cm$ ऊपर उठा हुआ दिखाई देता है,इसलिए निशान को वापस फोकस में लाने के लिए सूक्ष्मदर्शी को $1\, cm$ ऊपर की ओर ले जाना होगा।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = 1 \, MeV = 1 \times 10^6 \, eV$ दी गई है।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-13} \, J$.
फोटॉन का संवेग $p$ और ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $p = E/c$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$।
मान रखने पर: $p = \frac{1.6 \times 10^{-13} \, J}{3 \times 10^8 \, m/s}$.
$p \approx 0.533 \times 10^{-21} \, kg \, m/s$.
$p \approx 5.33 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही मान $5 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$ है।

(A) माना कि $f$ और $2f$ आवृत्ति वाले आपतित प्रकाश के लिए फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा क्रमशः $K$ और $K^{\prime}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K = hf - E_0$ ....... $(i)$
दोगुनी आवृत्ति $2f$ के लिए,नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K^{\prime}$ है:
$K^{\prime} = h(2f) - E_0$ ...... $(ii)$
हम समीकरण $(ii)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$K^{\prime} = 2hf - E_0$
$K^{\prime} = hf + hf - E_0$
समीकरण $(i)$ से $hf = K + E_0$ का मान रखने पर:
$K^{\prime} = (K + E_0) + hf - E_0$
$K^{\prime} = K + hf$

(C) प्रकाशवैद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है।
प्रकाशवैद्युत प्रभाव के अनुसार,जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की सतह पर पड़ता है,तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं।
प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है।
इसलिए,प्रकाश की तीव्रता में परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्रकाशवैद्युत धारा में भी परिवर्तन होता है।

(D) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ है,जहाँ $K$ युग्मन गुणांक (coefficient of coupling) है।
चूँकि एक कुंडली का फ्लक्स दूसरी के साथ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है,कुंडलियाँ पूर्ण रूप से युग्मित हैं,जिसका अर्थ है कि $K = 1$ है।
दिया गया है $L_1 = 2 \, mH$ और $L_2 = 8 \, mH$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = 1 \times \sqrt{2 \, mH \times 8 \, mH}$
$M = \sqrt{16 \, mH^2}$
$M = 4 \, mH$।

(D) दिया गया है:
प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = 31\,\Omega$
प्रतिरोध $R = 8\,\Omega$
धारिता प्रतिघात $X_{C} = 25\,\Omega$
श्रेणीक्रम $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \sqrt{8^{2} + (31 - 25)^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 6^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 36}$
$Z = \sqrt{100} = 10\,\Omega$
परिपथ का शक्ति गुणांक इस प्रकार परिभाषित है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
$R$ और $Z$ के मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$

(D) $LC$ दोलित्र की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = f$ है,जहाँ प्रेरकत्व $L_1 = L$ और धारिता $C_1 = C$ है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_2$ है,जहाँ नया प्रेरकत्व $L_2 = 2L$ और नई धारिता $C_2 = 4C$ है।
आवृत्तियों के अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}} = \sqrt{\frac{L_1 C_1}{L_2 C_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{L \times C}{2L \times 4C}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2\sqrt{2}}$ होगी।

(C) हाइड्रोजन परमाणु का आयनीकरण विभव $13.6 \ eV$ है। $n^{th}$ कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
जब मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु $12.1 \ eV$ ऊर्जा का फोटॉन अवशोषित करता है,तो यह उच्च ऊर्जा स्तर $n$ में उत्तेजित हो जाता है। ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है:
$E = E_n - E_1$
$12.1 = -\frac{13.6}{n^2} - (-13.6)$
$12.1 = 13.6 - \frac{13.6}{n^2}$
$\frac{13.6}{n^2} = 13.6 - 12.1 = 1.5$
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06 \approx 9$
$n = 3$
जब इलेक्ट्रॉन $n^{th}$ अवस्था से वापस मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=3$ के लिए,वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या = $\frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

(C) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया इस प्रकार है: $_{1}^{2}H + _{1}^{2}H \rightarrow _{2}^{4}He + Q$.
नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा $(Q)$ उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
$Q = B.E.(_{2}^{4}He) - 2 \times B.E.(_{1}^{2}H)$.
दिया गया है:
$B.E.(_{2}^{4}He) = 28 \, MeV$
$B.E.(_{1}^{2}H) = 2.2 \, MeV$
मान रखने पर:
$Q = 28 - 2(2.2) \, MeV$
$Q = 28 - 4.4 \, MeV$
$Q = 23.6 \, MeV$.
अतः,मुक्त हुई ऊर्जा $23.6 \, MeV$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,किसी भी समय $t$ पर सक्रियता $R$ का मान $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होता है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}} = e^{-\lambda t_1} \cdot e^{\lambda t_2} = e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$.
अतः,$R_1 = R_2 e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$।

(B) दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म का अवलोकन करके,हम इनपुट $A$ और $B$ तथा आउटपुट $C$ के लिए सत्यता सारणी (truth table) बना सकते हैं:

$A$	$B$	$C$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

इस सत्यता सारणी की तुलना लॉजिक गेट्स की मानक सत्यता सारणी से करने पर,हम पाते हैं कि आउटपुट $C$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। यह $AND$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है। अतः,दिया गया लॉजिक सर्किट गेट $AND$ गेट है।

(D) बेस करंट में परिवर्तन $\Delta I_B = 150 \, \mu A - 100 \, \mu A = 50 \, \mu A = 50 \times 10^{-6} \, A$ है।
कलेक्टर करंट में परिवर्तन $\Delta I_C = 10 \, mA - 5 \, mA = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$ है।
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में करंट गेन $\beta$,कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन का अनुपात होता है:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \times 10^{-3} \, A}{50 \times 10^{-6} \, A} = \frac{5000 \times 10^{-6}}{50 \times 10^{-6}} = 100$.
अतः,करंट गेन $\beta$ का मान $100$ है।

(D) एक $p-n$ जंक्शन डायोड को फॉरवर्ड बायस कहा जाता है यदि $p$-साइड का विभव $(V_p)$,$n$-साइड के विभव $(V_n)$ से अधिक हो,अर्थात $V_p > V_n$।
आइए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें:
$A$: $V_p = -4 \text{ V}$,$V_n = -3 \text{ V}$। यहाँ,$-4 < -3$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$B$: $V_p = -2 \text{ V}$,$V_n = +2 \text{ V}$। यहाँ,$-2 < +2$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$C$: $V_p = 3 \text{ V}$,$V_n = 5 \text{ V}$। यहाँ,$3 < 5$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$D$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -2 \text{ V}$। यहाँ,$0 > -2$,इसलिए $V_p > V_n$ (फॉरवर्ड बायस)।
अतः,विकल्प $D$ फॉरवर्ड बायस डायोड को दर्शाता है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान है,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
चूंकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,उनका प्रतिरोध $R$ उनकी लंबाई $l$ के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{l}{A})$।
लंबाई $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ और $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
समीकरण $(ii)$ से अनुपात रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.

(A) नाभिक की त्रिज्या का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ न्यूक्लियॉन की संख्या है।
इसलिए,दो नाभिकों की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $R_{Ge} = 2 R_{Be}$ और $A_{Be} = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \left(\frac{A_{Ge}}{9}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2^3 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$8 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$A_{Ge} = 8 \times 9 = 72$.
अतः,जर्मेनियम में न्यूक्लियॉन की संख्या $72$ है।