AIPMT 1995 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = (a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}$.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{r}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}[(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + a \omega \cos \omega t \hat{j}$.
હવે,તેમની દિશા ચકાસવા માટે આપણે $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધીએ છીએ:
$\vec{r} \cdot \vec{v} = [(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] \cdot [(-a \omega \sin \omega t)\hat{i} + (a \omega \cos \omega t)\hat{j}]$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (a \cos \omega t)(-a \omega \sin \omega t) + (a \sin \omega t)(a \omega \cos \omega t)$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = -a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t + a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ છે.

(B) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K.E.}{K.E.} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$K.E. \text{ માં પ્રતિશત ત્રુટિ} = (m \text{ માં } \% \text{ ત્રુટિ}) + 2 \times (v \text{ માં } \% \text{ ત્રુટિ})$.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $2\%$ છે અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $3\%$ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$K.E. \text{ માં પ્રતિશત ત્રુટિ} = 2\% + 2 \times 3\% = 2\% + 6\% = 8\%$.
તેથી,ગતિઊર્જાના અંદાજમાં મહત્તમ ત્રુટિ $8\%$ હશે.

(B) ધારો કે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t$ છે.
જ્યારે પહેલું ટીપું જમીન પર પહોંચે છે,ત્યારે કુલ સમય $t = 2\Delta t$ થયો હોય છે (કારણ કે ત્રીજું ટીપું છૂટું પડે છે,એટલે કે બે અંતરાલ પસાર થયા છે).
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પહેલા ટીપાં માટે: $5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,જે $t^2 = 1$ આપે છે,તેથી $t = 1\,s$.
કારણ કે $t = 2\Delta t$,તેથી અંતરાલ $\Delta t = 0.5\,s$.
જે ક્ષણે પહેલું ટીપું જમીન પર પડે છે,તે ક્ષણે બીજું ટીપું $\Delta t = 0.5\,s$ માટે નીચે પડ્યું હોય છે.
નળથી બીજા ટીપાં દ્વારા કાપેલું અંતર $y = \frac{1}{2}g(\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25\,m$ છે.
જમીનથી બીજા ટીપાંની ઊંચાઈ $H = 5 - 1.25 = 3.75\,m$ છે.

(D) કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = 2\pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા (આવૃત્તિ) છે.
અહીં,$n = 120 \, \text{rev/min} = \frac{120}{60} \, \text{rev/s} = 2 \, \text{rev/s}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, \text{rad/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સ્થાયી સંતુલન માટેની શરત એ છે કે સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જ્યાં $F = -\frac{dU}{dx} = 0$ છે.
આપેલ છે $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} - (-6bx^{-7}) = -12ax^{-13} + 6bx^{-7}$.
બળને શૂન્ય લેતા:
$F = -(-12ax^{-13} + 6bx^{-7}) = 0$
$12ax^{-13} - 6bx^{-7} = 0$
$\frac{12a}{x^{13}} = \frac{6b}{x^7}$
$\frac{12a}{6b} = \frac{x^{13}}{x^7}$
$\frac{2a}{b} = x^6$
$x = \sqrt[6]{\frac{2a}{b}}$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ બે કણો વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2R)^2} = \frac{Gm^2}{4R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{Gm^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m}$
$v^2 = \frac{Gm}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીનું દળ $m = 6 \times 10^{24} \ kg$,કોણીય વેગ $\omega = 2 \times 10^{-7} \ rad/s$,અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $R = 1.5 \times 10^8 \ km = 1.5 \times 10^{11} \ m$.
પૃથ્વીની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સૂર્ય દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = m \omega^2 R$ છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$F = (6 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{-7})^2 \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 10^{24}) \times (4 \times 10^{-14}) \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 4 \times 1.5) \times (10^{24} \times 10^{-14} \times 10^{11})$
$F = 36 \times 10^{21} \ N$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H = Q/t)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉષ્મા વાહકતા $K$ અચળ છે. આપેલ છે કે તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ પણ સમાન છે,તેથી $H \propto \frac{A}{l}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય. તેથી,$H \propto \frac{d^2}{l}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{1}$.
ઉષ્મા વહન દરનો ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:8$ છે.

(C) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{d\theta}{dt} = k \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$,જ્યાં $\theta_0$ એ રૂમનું તાપમાન છે.
જેમ જેમ પાણી ઠંડું થાય છે તેમ તાપમાનનો તફાવત ઘટતો જાય છે,તેથી ઠંડકનો દર પણ ઘટે છે.
તેથી,સમાન તાપમાન $(5^{\circ} C)$ ઘટાડવા માટે લાગતો સમય વધે છે જેમ પાણીનું તાપમાન રૂમના તાપમાનની નજીક પહોંચે છે.
સરેરાશ તાપમાનની સરખામણી કરતા: $\left( \frac{80+75}{2} \right) > \left( \frac{75+70}{2} \right) > \left( \frac{70+65}{2} \right)$.
આમ,ઠંડકનો દર પ્રથમ અંતરાલ માટે સૌથી વધુ અને ત્રીજા અંતરાલ માટે સૌથી ઓછો છે.
પરિણામે,$t_1 < t_2 < t_3$.

(B) બિંદુ $A$ (અથવા $C$) પર,ગોળો બિંદુ $B$ ની સાપેક્ષે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પર છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે અને સ્થિતિઊર્જા $mgH$ છે.
બિંદુ $B$ પર,ગોળો તેની સૌથી નીચી સ્થિતિમાં છે,તેથી તેની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય છે અને બધી ઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$PE_{A} + KE_{A} = PE_{B} + KE_{B}$
$mgH + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$
$mgH = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gH$
$v = \sqrt{2gH}$

(A) તરંગની ઝડપ $(v)$,આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = n \lambda$.
તરંગલંબાઇ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{v}{n}$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $(n)$ = $4.2 \, MHz = 4.2 \times 10^6 \, Hz$.
અવાજની ઝડપ $(v)$ = $1.7 \, km/s = 1.7 \times 10^3 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6} = \frac{1.7}{4.2} \times 10^{-3} \approx 0.4047 \times 10^{-3} \, m = 4.047 \times 10^{-4} \, m$.
નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda \approx 4 \times 10^{-4} \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ છે.
તે $100 \, s^{-1}$ ના સ્ત્રોત સાથે $5$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $f = 100 \pm 5$,એટલે કે $105 \, s^{-1}$ અથવા $95 \, s^{-1}$ હોઈ શકે.
સ્ત્રોતનો બીજો હાર્મોનિક $2f$ છે.
જો $f = 105 \, s^{-1}$ હોય,તો બીજો હાર્મોનિક $210 \, s^{-1}$ થાય.
જો $f = 95 \, s^{-1}$ હોય,તો બીજો હાર્મોનિક $190 \, s^{-1}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે બીજો હાર્મોનિક $205 \, s^{-1}$ ના સ્ત્રોત સાથે $5$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ આપે છે.
કિસ્સાઓ તપાસતા:
$210 \, s^{-1}$ માટે: $|210 - 205| = 5 \, s^{-1}$ (આ શરત સંતોષાય છે).
$190 \, s^{-1}$ માટે: $|190 - 205| = 15 \, s^{-1}$ (આ શરત સંતોષાતી નથી).
તેથી,સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $105 \, s^{-1}$ છે.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર લાગતા બળ $\vec{F}$ નું ટોર્ક $\vec{\tau}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
આપેલ છે:
$\vec{r} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ m}$
$\vec{F} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) \text{ N}$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}((2)(4) - (-3)(3)) - \hat{j}((3)(4) - (2)(3)) + \hat{k}((3)(-3) - (2)(2))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(8 + 9) - \hat{j}(12 - 6) + \hat{k}(-9 - 4)$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 6\hat{j} - 13\hat{k} \text{ N m}$.

(C) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P$,જે $r$ ત્રિજ્યા અને $T = (t + 273) \ K$ નિરપેક્ષ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે,તે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4$.
સૂર્યના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,આ પાવર $4\pi R^2$ જેટલી ગોળાકાર સપાટી પર ફેલાય છે.
આપાત કિરણોને લંબ સપાટી દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રાપ્ત થતો પાવર (તીવ્રતા $S$) નીચે મુજબ છે: $S = \frac{P}{4\pi R^2}$.
$P$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \frac{\sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4}{4\pi R^2} = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $f \propto \frac{1}{L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી તારના ભાગોની લંબાઈ આવૃત્તિઓના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ:
$L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$.
ધારો કે લંબાઈ $L_1 = 6x$,$L_2 = 3x$,અને $L_3 = 2x$ છે.
કુલ લંબાઈ $L_1 + L_2 + L_3 = 110\; cm$ છે.
$6x + 3x + 2x = 110 \Rightarrow 11x = 110 \Rightarrow x = 10\; cm$.
આમ,લંબાઈઓ $L_1 = 60\; cm$,$L_2 = 30\; cm$,અને $L_3 = 20\; cm$ છે.
પ્રથમ બ્રિજ $A$ થી $L_1 = 60\; cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
બીજો બ્રિજ $A$ થી $L_1 + L_2 = 60 + 30 = 90\; cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \; K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \; K$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.5$,$T_2 = 300 \; K$ (સમાન એક્ઝોસ્ટ તાપમાન).
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \; K$.

(A) પરિમાણીય અચળાંક એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જેનું મૂલ્ય અચળ હોય છે અને તેને પરિમાણ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2 \ kg^{-2}$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
સાપેક્ષ ઘનતા,વક્રીભવનાંક અને પોઈસન ગુણોત્તર એ સમાન ભૌતિક રાશિઓના ગુણોત્તર છે,જે તેમને પરિમાણરહિત અચળાંક બનાવે છે.

(C) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ તેના દળના પરિભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષ વિતરણ પર આધાર રાખે છે. દળ અક્ષથી જેટલું દૂર હોય,તેટલી જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હોય છે.
$M$ દળ અને પાયા $b$ ની સાપેક્ષ $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી ત્રિકોણાકાર પ્લેટ માટે,પાયાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Mh^2}{6}$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB = 4k$,$BC = 3k$,અને $AC = 5k$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$ છે.
$1$. $AB$ અક્ષ માટે (પાયો $4k$,ઊંચાઈ $3k$): $I_{AB} = \frac{M(3k)^2}{6} = 1.5 Mk^2$.
$2$. $BC$ અક્ષ માટે (પાયો $3k$,ઊંચાઈ $4k$): $I_{BC} = \frac{M(4k)^2}{6} = 2.67 Mk^2$.
$3$. $AC$ અક્ષ માટે (પાયો $5k$,ઊંચાઈ $h'$): ઊંચાઈ $h'$ શોધવા માટે $A = \frac{1}{2} \times 5k \times h' = 6k^2$,તેથી $h' = 2.4k$. આમ,$I_{AC} = \frac{M(2.4k)^2}{6} = 0.96 Mk^2$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $I_{BC} (2.67 Mk^2) > I_{AB} (1.5 Mk^2) > I_{AC} (0.96 Mk^2)$.
તેથી,$I_{BC} > I_{AB}$ એ સાચો સંબંધ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $(x)$ પર ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{2}$,આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2)$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,તેથી $K = \frac{3}{4} E$.
આમ,કુલ ઊર્જાનો ગતિઊર્જા તરીકેનો ભાગ $3/4$ છે.

(B) ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રને સંતુલનમાં રાખવા માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $x$ અંતરે મૂકેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યબિંદુ $C$ પર મૂકવામાં આવે છે (જે $A$ અને $B$ બંનેથી $x/2$ અંતરે છે).
બિંદુ $B$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ અને $C$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = q\vec{E} \cdot \vec{d} = qEd \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,$q = 0.2\,C$,$d = 2\,m$,$\theta = 60^\circ$,અને $W = 4.0\,J$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times \cos(60^\circ)$
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4.0 = 0.2 \times E$
$E = \frac{4.0}{0.2} = 20\,N/C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: $r_1 = 1\,cm$,$r_2 = 2\,cm$,$Q_1 = 10^{-2}\,C$,$Q_2 = 5 \times 10^{-2}\,C$.
જ્યારે બે ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10^{-2} + 5 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-2}\,C$.
નાના ગોળા પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $(Q'_1)$ સૂત્ર $Q'_1 = Q_{total} \times \frac{r_1}{r_1 + r_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q'_1 = (6 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{1 + 2} = (6 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{3} = 2 \times 10^{-2}\,C$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્ય અને સમાન લંબાઈના હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જ્યાં $A_1$ જાડો તાર અને $A_2$ પાતળો તાર છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = 3R_1$.
જાડા તારનો અવરોધ $R_1 = 10\,\Omega$ આપેલ છે.
તેથી,પાતળા તારનો અવરોધ $R_2 = 3 \times 10 = 30\,\Omega$ થાય.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 10 + 30 = 40\,\Omega$ થાય.

(D) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. ધારો કે કેન્દ્રનું બિંદુ $O$ છે. અવરોધો બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા છે. સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ પરનો પોટેન્શિયલ સર્કિટને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.
ચોક્કસ રીતે,સર્કિટ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,વચ્ચેની શાખામાં રહેલો અવરોધ વિદ્યુતપ્રવાહમાં કોઈ ફાળો આપતો નથી.
આમ,અસરકારક અવરોધ બાકીના અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2\,\Omega$ ના અવરોધો છે,જે દરેક શાખા માટે $4\,\Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$ થાય છે.

(D) સમય $t = 0$ પર, કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે। સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $1000 \, \Omega$ છે। તેથી, પ્રવાહ $I = \frac{2 \,V}{1000 \, \Omega} = 2 \,mA$ થાય છે.
જેમ સમય પસાર થાય છે, તેમ કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે। જ્યારે તે સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે, ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે। ત્યારબાદ પ્રવાહ $1000 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $1000 \, \Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે। કુલ અવરોધ $2000 \, \Omega$ થાય છે। તેથી, સ્થાયી સ્થિતિમાં પ્રવાહ $I = \frac{2 \,V}{2000 \, \Omega} = 1 \,mA$ થાય છે। આમ, સમય જતાં પ્રવાહ $2 \,mA$ થી ઘટીને $1 \,mA$ થાય છે।

(B) હીટિંગ કોઈલનો પાવર $P$ એ $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
શરૂઆતમાં,$P_1 = 100\, W$ અને $V = 220\, V$ છે. તેથી,$R = V^2 / P_1$.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાનો અવરોધ $R' = R / 2$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ટુકડાઓને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $1 / R_{eq} = 1 / R' + 1 / R' = 2 / R' = 2 / (R / 2) = 4 / R$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$R_{eq} = R / 4$.
નવો વપરાતો પાવર $P_2 = V^2 / R_{eq} = V^2 / (R / 4) = 4 \times (V^2 / R) = 4 \times P_1$ છે.
કિંમત મૂકતા,$P_2 = 4 \times 100\, W = 400\, W$.
$1\, W = 1\, J/s$ હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ મુક્ત થતી ઉર્જા $400\, J/s$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ચુંબકને મેરિડિયન $(\theta_1 = 0^{\circ})$ થી $\theta_2 = 90^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
બીજા કિસ્સામાં,ચુંબકને મેરિડિયન $(\theta_1 = 0^{\circ})$ થી $\theta_2 = 60^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB = \frac{MB}{2}$.
આપેલ છે કે $W_1 = n W_2$,તેથી:
$MB = n \times \frac{MB}{2}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ શોધવાનું સૂત્ર $e = Bvl$ છે,જ્યાં:
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(0.9\;Wb/m^2)$ છે,
$v$ એ વાહકનો વેગ $(7\;m/s)$ છે,
$l$ એ વાહકની લંબાઈ $(0.4\;m)$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 0.9 \times 7 \times 0.4$
$e = 6.3 \times 0.4$
$e = 2.52\;V$.
આમ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $2.52\;V$ છે.

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ છે અને પોટેન્શિયલ $V = 200 \sin (100 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2}$,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતા $m$ દળના કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે અને બંને પરનો વિદ્યુતભાર $q = e$ સમાન છે,તેથી તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda_e = \lambda = \frac{k}{\sqrt{m}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પ્રોટોન માટે: $\lambda_p = \frac{k}{\sqrt{M}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\frac{m}{M}}$.
તેથી,$\lambda_p = \lambda \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,કણનું વેગમાન $p$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $p = \frac{h}{\lambda}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંને સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda$ ધરાવતા હોવાથી,અને $h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,તેમના વેગમાન સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,તેઓ સમાન વેગમાન ધરાવે છે.

(C) $X-$ કિરણ સ્પેક્ટ્રમમાં,પ્રવેગક વોલ્ટેજ અને લક્ષ્ય તત્વના આધારે,આપણે સતત સ્પેક્ટ્રમ પર સુપરઇમ્પોઝ થયેલા તીક્ષ્ણ શિખરો જોઈ શકીએ છીએ.
આ તીક્ષ્ણ શિખરો ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર જોવા મળે છે જે $X-$ કિરણ ટ્યુબમાં વપરાતા લક્ષ્ય પદાર્થ માટે અનન્ય હોય છે.
આ શિખરો લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુઓની અંદર ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે ઉદ્ભવે છે,જ્યાં ઉચ્ચ ઉર્જા શેલમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઉર્જા શેલમાં ખાલી જગ્યામાં પડે છે,જે ચોક્કસ ઉર્જાનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
તેથી,આ શિખરોને લાક્ષણિક વિકિરણો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) શોષણ વર્ણપટમાં,પરમાણુઓ ધરાસ્થિતિમાંથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરવા માટે ફોટોનનું શોષણ કરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ધરાસ્થિતિને સ્તર $X$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.
તેથી,માત્ર સ્તર $X$ થી શરૂ થતા સંક્રમણો જ શોષણ વર્ણપટમાં દેખાશે.
આકૃતિ જોતા,સ્તર $X$ માંથી ઉદ્ભવતા સંક્રમણો રેખાઓ $1, 2$ અને $3$ છે.
આમ,રેખાઓ $1, 2$ અને $3$ શોષણ વર્ણપટમાં જોવા મળશે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$
$P.E. = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}$
જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુને ધરા સ્થિતિમાંથી ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,જેના કારણે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે $(r \propto n^2)$.
$K.E. \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $K.E.$ ઘટે છે.
$P.E. \propto -\frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $P.E.$ નું મૂલ્ય વધે છે (તે ઓછું ઋણ બને છે).
તેથી,$P.E.$ વધે છે અને $K.E.$ ઘટે છે.

(C) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
અહીં,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ તરફ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.

(B) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
પ્રક્રિયક બાજુએ, આપણી પાસે બે ડ્યુટેરોન $(_{1}H^{2})$ છે. દરેક ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિયોન હોય છે. એક ડ્યુટેરોનની બંધન ઉર્જા $2x_1$ છે. બે ડ્યુટેરોન હોવાથી, પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા $2 \times (2x_1) = 4x_1$ થાય.
નીપજ બાજુએ, આપણી પાસે એક $\alpha$-કણ $(_{2}He^{4})$ છે. $\alpha$-કણમાં $4$ ન્યુક્લિયોન હોય છે. $\alpha$-કણની બંધન ઉર્જા $4x_2$ છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે.
તેથી, $Q = (\text{નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા})$.
$Q = 4x_2 - 4x_1 = 4(x_2 - x_1)$.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_S}{R_{He}} = \left( \frac{A_S}{A_{He}} \right)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_S = 32$ અને $A_{He} = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{R_S}{R_{He}} = \left( \frac{32}{4} \right)^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$.
આમ,સલ્ફરના ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા હિલિયમના ન્યુક્લિયસ કરતા $2$ ગણી મોટી છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
આપેલ છે:
સમય $t = 2\, hours = 120\, minutes$
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30\, minutes$
અંતિમ કાઉન્ટ રેટ $A = 5\, s^{-1}$
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{120}{30} = 4$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$5 = A_0 \left( \frac{1}{16} \right)$
$A_0 = 5 \times 16 = 80\, s^{-1}$
તેથી,પ્રારંભિક કાઉન્ટ રેટ $80\, s^{-1}$ હતો.

(D) $\alpha$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે. $\beta$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે.
ધારો કે $n_{\alpha}$ એ ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા છે અને $n_{\beta}$ એ ઉત્સર્જિત $\beta$-કણોની સંખ્યા છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $200 - 168 = 4 \times n_{\alpha}$.
તેથી,$n_{\alpha} = \frac{32}{4} = 8$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $90 - 80 = 2 \times n_{\alpha} - 1 \times n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 8$ મૂકતા: $10 = 2(8) - n_{\beta}$.
$10 = 16 - n_{\beta}$,જે આપણને $n_{\beta} = 6$ આપે છે.
આમ,ઉત્સર્જિત $\alpha$ અને $\beta$ કણોની સંખ્યા અનુક્રમે $8$ અને $6$ છે.

(D) વિદ્યુતના સારા વાહકોમાં,જેમ કે ધાતુઓમાં,પરમાણુઓ ધાત્વિક બંધન દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે.
આ પ્રકારના બંધનમાં,સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન કોઈ ચોક્કસ પરમાણુ સાથે બંધાયેલા હોતા નથી પરંતુ સ્ફટિક લેટીસમાં ગમે ત્યાં ફરવા માટે મુક્ત હોય છે,જે 'ઇલેક્ટ્રોનનો સમુદ્ર' બનાવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની આ ગતિશીલતા એ મૂળભૂત કારણ છે કે શા માટે ધાતુઓ વિદ્યુતના ઉત્તમ વાહકો છે.

(C) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બાહ્ય બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $P-$ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $N-$ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($P-$વિસ્તારમાં હોલ્સ અને $N-$વિસ્તારમાં ઈલેક્ટ્રોન) ને જંકશન તરફ ધકેલે છે.
તેથી,$P-$વિસ્તારમાં હોલ્સ જંકશન તરફ (જમણી બાજુ) ગતિ કરે છે અને $N-$વિસ્તારમાં ઈલેક્ટ્રોન જંકશન તરફ (ડાબી બાજુ) ગતિ કરે છે.
આકૃતિ $C$ ચાર્જ કેરિયર્સની જંકશન તરફની આ ગતિને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) ઓસિલેટર એ એક એવું સર્કિટ છે જે કોઈપણ ઇનપુટ સિગ્નલ વગર સતત,પુનરાવર્તિત,અલ્ટરનેટિંગ વેવફોર્મ ઉત્પન્ન કરે છે.
તે પોઝિટિવ ફીડબેક ધરાવતા એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગોઠવણીમાં,આઉટપુટ સિગ્નલનો એક ભાગ મૂળ સિગ્નલ સાથે સમાન કળામાં (in phase) ઇનપુટમાં પાછો મોકલવામાં આવે છે.
આ પોઝિટિવ ફીડબેક ઇનપુટને મજબૂત બનાવે છે,જે સર્કિટને અનિશ્ચિત સમય સુધી ઓસિલેશન જાળવી રાખવા દે છે,જો બાર્કહૌસેન માપદંડ (લૂપ ગેઇન $A\beta = 1$ અને ફેઝ શિફ્ટ $360^{\circ}$ અથવા $0^{\circ}$) સંતોષાય તો.

(C) ધારો કે પ્રકાશના સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $O$ છે. લેન્સની બે અલગ-અલગ સ્થિતિઓ માટે,મોટવણી $m_1$ અને $m_2$ છે.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A = m^2 O$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $m^2 = \frac{A}{O}$.
બે સ્થિતિઓ માટે,આપણી પાસે $m_1^2 = \frac{A_1}{O}$ અને $m_2^2 = \frac{A_2}{O}$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $m_1^2 m_2^2 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$ મળે છે.
સ્થાનાંતરની રીત માટે,મોટવણીનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = 1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $m_1^2 m_2^2 = 1$.
તેથી,$1 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$,જે $O^2 = A_1 A_2$ આપે છે.
આમ,પ્રકાશના સ્ત્રોતનું ક્ષેત્રફળ $O = \sqrt{A_1 A_2}$ છે.

(A) જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારની નજીક આવતું હોય ત્યારે પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\lambda^{\prime} = \lambda \left(1 - \frac{v}{c}\right)$ છે.
અહીં,$\lambda = 5000 \; \mathring{A}$ એ મૂળ તરંગલંબાઈ છે,$v = 1.5 \times 10^6 \; m/s$ એ તારાનો વેગ છે,અને $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda - \lambda^{\prime}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda^{\prime} = \lambda - \lambda \frac{v}{c}$ મૂકતા,આપણને $\Delta \lambda = \lambda \frac{v}{c}$ મળે છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\Delta \lambda = 5000 \; \mathring{A} \times \frac{1.5 \times 10^6 \; m/s}{3 \times 10^8 \; m/s}$.
$\Delta \lambda = 5000 \times 0.5 \times 10^{-2} = 5000 \times 0.005 = 25 \; \mathring{A}$.
આમ,તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $25 \; \mathring{A}$ છે.

(D) આપેલ એનર્જી બેન્ડ ડાયાગ્રામમાં,ખુલ્લા વર્તુળો વેલેન્સ બેન્ડ $(E_v)$ માં હોલ દર્શાવે છે અને ભરેલા વર્તુળો કન્ડક્શન બેન્ડ $(E_c)$ માં ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે.
આકૃતિનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વેલેન્સ બેન્ડમાં હોલની સંખ્યા કન્ડક્શન બેન્ડમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા કરતા ઘણી વધારે છે.
સેમિકન્ડક્ટરમાં,જો મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ હોય,તો તેને $p-$ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આ પદાર્થ $p-$ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર છે.

(B) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એ અવરોધ $R$ અને કેપેસીટન્સ $C$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસીટન્સની વ્યાખ્યા મુજબ,$C = Q/V$,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$R = V/I$,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$RC = (V/I) \times (Q/V) = Q/I$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = Q/t$,જ્યાં $t$ એ સમય છે,તેથી $Q/I = t$.
આમ,$RC$ ના પરિમાણો સમય $[T]$ ના પરિમાણોને સમાન છે.