AIIMS 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) પ્રવાહીના સ્તર પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$F$ એ બળ છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[dv] = [L T^{-1}]$,અને $[dx] = [L]$.
તેથી,$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [L T^{-1} / L]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થી $t \, s$ સમય પછી બસને પકડી લે છે. વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $s_s = ut$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_b = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ છે.
વિદ્યાર્થી બસને પકડી શકે તે માટે,વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક અંતર અને બસ દ્વારા કાપેલા અંતરના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$ut = 50 + \frac{t^2}{2}$.
$u$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$u = \frac{50}{t} + \frac{t}{2}$.
ન્યૂનતમ વેગ $u$ શોધવા માટે,આપણે $u$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{du}{dt} = -\frac{50}{t^2} + \frac{1}{2} = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{50}{t^2} = \frac{1}{2} \implies t^2 = 100 \implies t = 10 \, s$.
$t = 10 \, s$ ની કિંમત $u$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{50}{10} + \frac{10}{2} = 5 + 5 = 10 \, m/s$.

(A) પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,ઉપગ્રહનો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં પૃથ્વીથી ઉપગ્રહનું અંતર $r$ બદલાતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન $(L = mvr \sin \theta)$ જાળવી રાખવા માટે કક્ષીય વેગ $v$ બદલાવો જોઈએ. પરિણામે,રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહેતું નથી.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,ઝડપ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,${v_p} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$,અને $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા:
${v_p} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
${v_{rms}} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
આમ,${v_p} < \bar{v} < {v_{rms}}$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે:
${E_{av}} = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{3}{2} kT$.
કારણ કે ${v_p}^2 = \frac{2kT}{m}$,તેથી $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
${E_{av}} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$,જે સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) પ્રક્રિયા સમતાપી છે,તેથી $T = \text{અચળ}$.
$PV = \mu RT$ હોવાથી,$P = \frac{\mu RT}{V}$ મળે.
પાત્ર $A$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_A RT}{V} - \frac{\mu_A RT}{2V} = \frac{\mu_A RT}{2V} \dots (i)$.
પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $1.5 \Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_B RT}{V} - \frac{\mu_B RT}{2V} = \frac{\mu_B RT}{2V} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,$\frac{\Delta P}{1.5 \Delta P} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{1}{1.5} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\mu = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $\frac{m_A/M}{m_B/M} = \frac{2}{3} \implies \frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3m_A = 2m_B$.

(B) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર એક અચળાંક $(b)$ છે:
$\lambda_m T = b$
આપેલ છે:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \ m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \ m \cdot K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 10^{-3 - (-10)} \ K = 10^7 \ K$
આમ,પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ તાપમાન $10^7 \ K$ ના ક્રમનું છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણે ત્રુટિના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta v}{v}$.
આપેલ છે કે દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1\%$ અને વેગમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 2\%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = (\frac{\Delta m}{m} \times 100) + 2 \times (\frac{\Delta v}{v} \times 100)$
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = 1\% + 2 \times 2\% = 1\% + 4\% = 5\%$.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનમાં વપરાયેલ ત્રુટિના પ્રસરણના સૂત્રની સાચી સમજૂતી આપે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર વળાંક માટે બેંકિંગના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
આપેલ કિંમતો: ઝડપ $v = 150\, m/s$,ખૂણો $\theta = 12^\circ$,$g = 10\, m/s^2$,અને $\tan 12^\circ = 0.2125$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.2125 = \frac{(150)^2}{r \times 10}$
$0.2125 = \frac{22500}{10r}$
$0.2125 = \frac{2250}{r}$
$r = \frac{2250}{0.2125} \approx 10588.2\, m$.
ત્રિજ્યાને કિલોમીટરમાં ફેરવતા:
$r \approx 10.588\, km \approx 10.6\, km$.

(B) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એટલે એવી ફ્રેમ જે સ્થિર હોય અથવા અચળ વેગથી (શૂન્ય પ્રવેગ સાથે) ગતિ કરતી હોય.
વિકલ્પ $A$ માં,બાળક વર્તુળાકાર ગતિમાં છે,જેમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે.
વિકલ્પ $B$ માં,કાર સીધા રસ્તા પર અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહી છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ અચળ છે અને તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,તે જડત્વીય ફ્રેમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,વિમાન ટેક-ઓફ દરમિયાન પ્રવેગિત થાય છે.
વિકલ્પ $D$ માં,સાયકલ સવાર દિશા બદલી રહ્યો છે,જેમાં પ્રવેગ હોય છે.
આમ,સ્પોર્ટ્સ કારનો ડ્રાઇવર જડત્વીય ફ્રેમમાં રહેલો સાચો અવલોકનકાર છે.

(A) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફાર થવાનો અર્થ છે કે વેગ બદલાય છે.
તે જ રીતે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ કણની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રની દિશા બદલાય છે,તેથી પ્રવેગની દિશા પણ બદલાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. આમ,$Reason$ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે પ્રવેગ સદિશ શા માટે બદલાય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે ઘોડો તેના ખરી વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે,ત્યારે જમીન ઘોડા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. જમીન દ્વારા લાગતું આ પ્રતિક્રિયા બળ જ ઘોડાને આગળ વધવા માટે જવાબદાર છે.

(A) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક નીચેની તરફનો વેગ $u$ છે અને ઊંચાઈ $h = 12.4\, m$ છે. જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v^2 = u^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે.
અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$ છે.
દડો તેની ગતિઊર્જાના $15\%$ ગુમાવે છે,તેથી અથડામણ પછીની ગતિઊર્જા $K_2 = 0.85 K_1$ થાય.
ધારો કે અથડામણ પછીનો વેગ $v_2$ છે. તેથી $\frac{1}{2}mv_2^2 = 0.85 \times \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$,જેનું સાદું રૂપ $v_2^2 = 0.85(u^2 + 2gh)$ મળે છે.
દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચે તે માટે,ઉપરની તરફનો વેગ $v_2$ એ $v_2^2 = 2gh$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ.
$v_2^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $0.85(u^2 + 2gh) = 2gh$.
$g = 9.8\, m/s^2$ અને $h = 12.4\, m$ કિંમતો મૂકતા:
$0.85(u^2 + 2 \times 9.8 \times 12.4) = 2 \times 9.8 \times 12.4$.
$0.85(u^2 + 243.04) = 243.04$.
$u^2 + 243.04 = \frac{243.04}{0.85} \approx 285.93$.
$u^2 = 285.93 - 243.04 = 42.89$.
$u = \sqrt{42.89} \approx 6.55\, m/s$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 0.1\, kg$ અને $m_2 = 0.4\, kg$ એ પદાર્થોના દળ છે.
ધારો કે $v_1 = 1\, m/s$ અને $v_2 = -0.1\, m/s$ એ તેમના વેગ છે (પ્રથમ પદાર્થની દિશાને ધન લેતા).
અથડામણ પછી,તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી તેઓ સામાન્ય વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(0.1)(1) + (0.4)(-0.1) = (0.1 + 0.4)v$
$0.1 - 0.04 = 0.5v$
$0.06 = 0.5v$
$v = \frac{0.06}{0.5} = 0.12\, m/s$
$t = 10\, s$ માં કાપેલું અંતર $d = v \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 0.12\, m/s \times 10\, s = 1.2\, m$.

(A) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી દડો વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગ $u$ સાથે પાછો ફરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સપાટી દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ છે.
દર સેકન્ડે $n$ દડાઓ અથડાતા હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $n \times 2mu = 2mnu$ છે.
તેથી,સપાટી દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = 2mnu$ છે.
$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ સમજાવે છે કે શા માટે દરેક દડા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $2mu$ થાય છે.

(D) $Assertion$ ખોટું છે કારણ કે ઘણા હેલિકોપ્ટર એક મુખ્ય રોટર અને એક નાના પૂંછડીના રોટર સાથે કાર્ય કરે છે,જરૂરી નથી કે બે મુખ્ય પ્રોપેલર હોય.
$Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે બીજા રોટર (ટેલ રોટર) નો હેતુ મુખ્ય રોટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને સંતુલિત કરવાનો છે જેથી હેલિકોપ્ટરને વિરુદ્ધ દિશામાં ફરતું અટકાવી શકાય,જે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ પર આધારિત છે,રેખીય વેગમાન પર નહીં.

(C) તારની લંબાઈ $l$ છે અને તેનું દળ $m$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ તારની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
$2\pi r = l$
તેથી,રીંગની ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2\pi}$ થાય.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = mr^2$
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = m \left( \frac{l}{2\pi} \right)^2$
$I = m \left( \frac{l^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ml^2$

(D) જ્યારે ધ્રુવીય બરફ પીગળે છે, ત્યારે પાણી ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ વહે છે.
દળના આ પુનઃવિતરણને કારણે પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે કારણ કે દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર જાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત $(L = I\omega)$ મુજબ, જો કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે, તો કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટવો જોઈએ.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi / T$ ઘટતો હોવાથી, પૃથ્વીના પરિભ્રમણનો સમયગાળો $(T)$ વધે છે.
તેથી, દિવસની લંબાઈ ટૂંકી થવાને બદલે લાંબી થાય છે.
આમ, $Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ પણ ખોટું છે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી સ્થિર હોય ત્યારનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે.
જ્યારે પૃથ્વી ફરતી બંધ થાય ત્યારે $g$ ના મૂલ્યમાં થતો વધારો $\Delta g = g - g' = R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
આપેલ છે:
$R = 6400 \times 10^3 \ m = 6.4 \times 10^6 \ m$
$\lambda = 45^{\circ} \implies \cos^2 45^{\circ} = 0.5$
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{24 \times 3600} \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/sec$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta g = (6.4 \times 10^6) \times (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 0.5$
$\Delta g \approx 0.0169 \ m/sec^2$
$C.G.S.$ એકમ $(cm/sec^2)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta g = 0.0169 \times 100 = 1.69 \ cm/sec^2 \approx 1.68 \ cm/sec^2$.

(D) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,છોકરો અને લાકડું તરે તે માટે,સિસ્ટમનું કુલ વજન પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $V$ એ લાકડાના ટુકડાનું કદ છે.
છોકરાનું દળ = $60\, kg$.
લાકડાની ઘનતા $\rho_{wood} = 0.6 \times 1000 = 600\, kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$.
સિસ્ટમનું કુલ વજન = છોકરાનું વજન + લાકડાનું વજન
$= 60g + (V \times 600)g$
ઉત્પ્લાવક બળ = લાકડા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$= V \times 1000 \times g$
બંનેને સરખાવતા:
$60g + 600Vg = 1000Vg$
$60 = 1000V - 600V$
$60 = 400V$
$V = \frac{60}{400} = \frac{3}{20}\, m^3$.

(C) $Assertion$ સાચું છે. જ્યારે બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાણીનું પાતળું પડ હોય,ત્યારે તેમને અલગ કરવા માટે મોટા બળની જરૂર પડે છે.
આ મુખ્યત્વે પાણીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) અને પાણીના અણુઓ તથા કાચની સપાટી વચ્ચેના આસંજક બળો (adhesive forces) ને કારણે છે.
પાતળા પાણીના પડની કિનારીઓ પર અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનવાને કારણે અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે,જે દબાણનો તફાવત પ્લેટોને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે પાણી રાસાયણિક અર્થમાં 'ગુંદર' તરીકે કામ કરતું નથી; આ ઘટના પૃષ્ઠતાણ અને કેશિકા ક્રિયા (capillary action) ના ભૌતિકશાસ્ત્ર દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,ગુંદરના ગુણધર્મો દ્વારા નહીં.

(A) જ્યારે બે પાતળા ધાબળાને એકસાથે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે હવાનું એક સ્તર રચાય છે.
હવા ઉષ્માની મંદ વાહક (સારી અવાહક) હોવાથી,આ ફસાયેલું હવાનું સ્તર શરીરની ગરમીને બહાર જતી અટકાવે છે.
તેથી,બે પાતળા ધાબળાનું સંયોજન સમાન કુલ જાડાઈ ધરાવતા એક જાડા ધાબળા કરતા વધુ સારું ઇન્સ્યુલેશન અને હૂંફ આપે છે,કારણ કે હવાનું સ્તર વધારાના ઉષ્મીય અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
$n$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$V_1$ થી $V_2$ સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન આપેલ ઉષ્મા $\Delta Q$ એ કરેલા કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે,કારણ કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$.
અહીં $n = 1$ મોલ આપેલ હોવાથી,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$ થશે.
એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S$ ની વ્યાખ્યા $\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$ છે.
$\Delta Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta S = \frac{RT \ln \frac{V_2}{V_1}}{T} = R \ln \frac{V_2}{V_1}$ મળે છે.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = (g - a)$ થાય છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g_{eff}}}$ હોવાથી,જેમ $g_{eff}$ ઘટે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જ્યારે લિફ્ટ નીચેની તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરતી હોય,ત્યારે $g_{eff}$ ન્યૂનતમ થાય છે (ધારી લઈએ કે $a < g$),જેના પરિણામે આવર્તકાળ સૌથી વધુ મળે છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(E)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$E = \frac{F L}{A \Delta L}$
જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
બળ $(F)$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા:
$F = \left( \frac{EA}{L} \right) \Delta L$ --- $(1)$
હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ:
$F = k \Delta L$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને બળ અચળાંક $(k)$ મળે છે:
$k = \frac{EA}{L}$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $(T)$:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{EA/L}} = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$
આમ,આવર્તકાળ $2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$ અને બળ અચળાંક $\frac{EA}{L}$ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે,આવર્તકાળ $T$ એ બોબના દળ પર આધારિત નથી.
લોલકની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ બદલાતા ન હોવાથી,દળમાં ફેરફાર કરવા છતાં આવર્તકાળ સમાન રહેશે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $2\, s$ રહેશે.

(A) $SHM$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A = 25\, cm$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ થી $y = 12.5\, cm$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે:
$12.5 = 25 \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{1}{4} = 0.25\, s$ મળે છે.
કણ $-12.5\, cm$ થી $+12.5\, cm$ સુધી મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થઈને ગતિ કરે છે. તેથી કુલ સમય $2t = 2 \times 0.25 = 0.5\, s$ થાય.

(C) $Assertion$ સાચું છે. અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે બાહ્ય બળની આવૃત્તિ $(\omega)$ એ તંત્રની કુદરતી આવૃત્તિ $(\omega_{0})$ જેટલી હોય,જેના પરિણામે કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે.
$Reason$ ખોટું છે. બળપૂર્વકના દોલનનો કંપવિસ્તાર બાહ્ય બળની આવૃત્તિ વધવાથી સતત વધતો નથી. કંપવિસ્તાર અનુનાદ વક્રને અનુસરે છે; તે ત્યારે વધે છે જ્યારે બાહ્ય આવૃત્તિ કુદરતી આવૃત્તિની નજીક પહોંચે છે અને જ્યારે તે તેનાથી દૂર જાય છે ત્યારે ઘટે છે.
બળપૂર્વકના,અવમંદિત દોલક માટે કંપવિસ્તારનું સૂત્ર:
$A = \frac{F_{0} / m}{\sqrt{(\omega^{2} - \omega_{0}^{2})^{2} + (b \omega / m)^{2}}}$
જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે અને $\omega_{0} = \sqrt{k / m}$ એ કુદરતી આવૃત્તિ છે. જેમ $\omega$ એ $\omega_{0}$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ છેદની કિંમત ઘટે છે,જેના કારણે કંપવિસ્તાર $A$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

(B) સ્થિર તરંગોના નિર્માણ માટે એ જરૂરી છે કે માધ્યમ અમર્યાદિત ન હોવું જોઈએ,પરંતુ તેની સીમાઓ હોવી જોઈએ. આવા માધ્યમમાં પ્રસરતું તરંગ સીમા પર પરાવર્તિત થાય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતું સમાન પ્રકારનું તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે. આ બે તરંગોના સંપાતીકરણથી સ્થિર તરંગ રચાય છે. તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
સ્થિર તરંગોમાં,માધ્યમના અમુક બિંદુઓ એવા હોય છે જે કાયમી ધોરણે સ્થિર રહે છે,એટલે કે તેમનું સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આ બિંદુઓને નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) કહેવામાં આવે છે. તેથી,$Reason$ પણ સાચું છે.
જોકે,કેટલાક કણો સ્થિર રહે છે તે સ્થિર તરંગનો એક ગુણધર્મ છે,તે એ કારણ નથી કે માધ્યમ શા માટે મર્યાદિત હોવું જોઈએ. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ટ્રાન્સફોર્મરનો કોર એડી કરંટને કારણે થતા ઉર્જાના વ્યયને ઘટાડવા માટે લેમિનેટેડ કરવામાં આવે છે. જ્યારે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ધાતુના કોરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે કોરમાં એડી કરંટ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ગરમી અને ઉર્જાના વ્યય તરફ દોરી જાય છે. પાતળી,ઇન્સ્યુલેટેડ લેમિનેટેડ શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને,આ એડી કરંટ માટેનો માર્ગ મર્યાદિત થાય છે,જે કરંટના મૂલ્યને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે અને આમ ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ થાય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$V = 1.8 \times 10^{5} \, V$
$\theta = 60^{\circ}$
$r = 50 \, cm = 0.5 \, m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, N \cdot m^2/C^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.8 \times 10^{5} = (9 \times 10^{9}) \times \frac{p \cos 60^{\circ}}{(0.5)^{2}}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times \frac{p \times 0.5}{0.25}$
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times p \times 2$
$p = \frac{1.8 \times 10^{5}}{18 \times 10^{9}}$
$p = 0.1 \times 10^{-4} = 10^{-5} \, C-m$

(B) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરીને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ વધીને $C' = KC$ થાય છે.
$Q$ અચળ હોવાથી,નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{KC} = \frac{V}{K}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ બદલાઈને $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U}{K}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે,જ્યારે વિદ્યુતભાર અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું સ્થિતિમાન છે.
આપેલ છે કે,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{max} = 10^7\,V/m$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.10\,m$ છે.
મહત્તમ સ્થિતિમાન $V_{max}$ શોધવા માટે,આપણે $V_{max} = E_{max} \times r$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $V_{max} = 10^7\,V/m \times 0.10\,m$.
$V_{max} = 10^7 \times 10^{-1} = 10^6\,V$.
આમ,ગોળાને $10^6\,V$ ના મહત્તમ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરી શકાય છે.

(A) પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_1 + C_2}$
(કારણ કે $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,અને આ સંયોજન $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે).
તેથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{C_1 + C_2 + C_3}{C_3(C_1 + C_2)}$
$\therefore C_{eq} = \frac{C_3(C_1 + C_2)}{C_1 + C_2 + C_3}$
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ હોવાથી,શરૂઆતનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} V = \frac{C_3(C_1 + C_2) V}{C_1 + C_2 + C_3}$ થાય.
જો કેપેસિટર $C_3$ બ્રેકડાઉન થાય (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે),તો અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = C_1 + C_2$ થાય.
નવો વિદ્યુતભાર $q' = C_{eq}' V = (C_1 + C_2) V$ થાય.
કુલ વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફાર $\Delta q = q' - q = (C_1 + C_2) V - \frac{C_3(C_1 + C_2) V}{C_1 + C_2 + C_3}$ છે.
$(C_1 + C_2) V$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે:
$\Delta q = (C_1 + C_2) V \left[ 1 - \frac{C_3}{C_1 + C_2 + C_3} \right]$.

(A) ધારો કે આંતરિક કવચ $B$ ની ત્રિજ્યા $R_1$ અને વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે,અને બહારના કવચ $A$ ની ત્રિજ્યા $R_2$ અને વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
બહારના કવચ $A$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{R_2}$ છે.
આંતરિક કવચ $B$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$ છે.
કવચો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} - \frac{Q_1 + Q_2}{R_2} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} Q_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આ દર્શાવે છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ફક્ત આંતરિક કવચના વિદ્યુતભાર $Q_1$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
બહારના કવચના વિદ્યુતભાર $Q_2$ ને કારણે તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (આંતરિક કવચની સપાટી સહિત) વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$ જેટલું હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે શા માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતની ગણતરીમાં $Q_2$ પદ રદ થાય છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ છે અને $B$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{BC}$ છે. ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 203.6 \, cm$ છે. તેથી,$V_{AB} = k \cdot 203.6 \, cm$.
જ્યારે છેડાને $C$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} - V_{BC} = k \cdot 24.6 \, cm$ થાય છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$V_{BC} = k \cdot (203.6 - 24.6) = k \cdot 179.0 \, cm$.
આમ,$B$ અને $C$ માટે સંતુલન બિંદુ $179.0 \, cm$ પર મળશે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા તાર માટે વ્યાસ સમાન હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.
દરેક તાર માટે અવરોધની ગણતરી:
$R_1 = \frac{\rho L}{A}$
$R_2 = \frac{(1.2\rho)(1.2L)}{A} = 1.44 \frac{\rho L}{A}$
$R_3 = \frac{(0.9\rho)(0.9L)}{A} = 0.81 \frac{\rho L}{A}$
$R_4 = \frac{\rho(1.5L)}{A} = 1.5 \frac{\rho L}{A}$
અવરોધની સરખામણી કરતા: $R_3 < R_1 < R_2 < R_4$.
અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માટે ઉર્જા વ્યયનો દર (પાવર) $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $P \propto \frac{1}{R}$,જે તારનો અવરોધ સૌથી ઓછો હશે તેનો પાવર વ્યય સૌથી વધુ હશે.
તેથી,પાવર વ્યયનો સૌથી વધુથી સૌથી ઓછાનો ક્રમ: $P_3 > P_1 > P_2 > P_4$ છે.

(D) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 50\,\Omega$,પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $I_G = 100\,\mu A = 100 \times 10^{-6}\,A$,અને ઇચ્છિત રેન્જ $I = 10\,A$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવો આવશ્યક છે.
શંટ અવરોધનું સૂત્ર $S = \left( \frac{I_G}{I - I_G} \right) G$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \left( \frac{100 \times 10^{-6}}{10 - 100 \times 10^{-6}} \right) \times 50$.
અહીં $100 \times 10^{-6} = 10^{-4}$ એ $10$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી,છેદ $10 - 10^{-4} \approx 10$ થશે.
તેથી,$S \approx \left( \frac{10^{-4}}{10} \right) \times 50 = 10^{-5} \times 50 = 5 \times 10^{-4}\,\Omega$.

(D) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.5 \times 10^{-2} \, T$
ઝડપ $v = 6 \times 10^7 \, m/s$
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$
ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ (કારણ કે તે લંબરૂપે ગતિ કરે છે),તેથી $\sin \theta = 1$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB}$
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$ હોવાથી,ત્રિજ્યાને આ રીતે લખી શકાય:
$r = \frac{v}{B(q/m)}$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{6 \times 10^7}{(1.5 \times 10^{-2}) \times (1.7 \times 10^{11})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9}$
$r \approx 2.35 \times 10^{-2} \, m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$r = 2.35 \, cm$.

(C) સોલેનોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની દિશા ઉલટાય છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યના વર્ગ $(B^2)$ પર આધારિત હોવાથી,$B$ ની દિશા ઉર્જા ઘનતાને અસર કરતી નથી.
તેથી,સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા,$U = u \times V$ (જ્યાં $V$ એ કદ છે),બદલાતી નથી.
જોકે,કારણમાં જણાવેલ છે કે ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમપ્રમાણમાં છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વર્ગ $(B^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(B) સમીકરણ $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ એ ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ દર્શાવે છે.
તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ અલગ ચુંબકીય ભાર (ચુંબકીય મોનોપોલ) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા બંધ લૂપ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ઉત્તર ધ્રુવની સાથે દક્ષિણ ધ્રુવ હોવો આવશ્યક છે.

(B) ભ્રમણ કરતા આરામાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$ છે.
આપેલ છે:
$B = 0.40\,G = 0.40 \times 10^{-4}\,T$
$l = 0.50\,m$
$f = 120\,rev/min = \frac{120}{60}\,rev/s = 2\,Hz$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.40 \times 10^{-4}) \times (4\pi) \times (0.50)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.40 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.20 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.628 \times 10^{-4}\,V$.

(B) આપેલ છે: $L = 0.7 \, H$,$R = 220 \, \Omega$,$V_{rms} = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.7 = 220 \, \Omega$.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{220}{220} = 1 \implies \phi = 45^o$.
કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{220^2 + 220^2} = 220\sqrt{2} \, \Omega$.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220}{220\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, A$.
પ્રવાહનો વોટલેસ ઘટક $I_{rms} \sin \phi$ છે:
$I_{wattless} = I_{rms} \sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5 \, A$.
આમ,ફેઝ એંગલ $45^o$ છે અને વોટલેસ ઘટક $0.5 \, A$ છે.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ એ ઇન્ડક્ટરની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત કરતા $\pi/2$ રેડિયન (અથવા $90^{\circ}$) ના કળા તફાવતથી પાછળ રહે છે.
આ કળા સંબંધ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસના પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો કળા તફાવત આવૃત્તિના ફેરફારને ધ્યાનમાં લીધા વિના $90^{\circ}$ પર અચળ રહે છે.
જો કે,જો પ્રશ્ન સમગ્ર $LR$ શ્રેણી પરિપથના કળા તફાવત $\phi$ વિશે હોય,તો તે $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R} = \frac{2\pi f L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $\tan \phi$ વધે છે,અને તેથી સ્ત્રોત વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ વધે છે.
આપેલ વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્ન પરિપથના કળા તફાવત વિશે પૂછવા માંગે છે,જે આવૃત્તિ વધવાની સાથે વધે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
અહીં,$V_0 = 200 \text{ V}$,$i_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_1 - \phi_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$ છે.
સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos \phi = \frac{V_0 i_0}{2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{200 \times 0.05}{2} \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) $d.c.$ પરિપથમાં ઇન્ડક્ટર $t = 0$ સમયે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે અને સ્થાયી અવસ્થામાં $(t \to \infty)$ શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
અવરોધ અનંતથી શૂન્ય સુધી બદલાતો હોવાથી,તે 'હંમેશા અચળ છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,આદર્શ ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે,તેથી તે 'શૂન્યતર છે' તેવું વિધાન પણ ખોટું છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(C) ટેલિસ્કોપની સામાન્ય ગોઠવણમાં મોટવણી $M = -\frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,મહત્તમ મોટવણી માટે,પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $(d = 25 \, cm)$ પર રચાય છે.
મહત્તમ મોટવણી માટેનું સૂત્ર $M = -\frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{d}\right)$ છે.
અહીં $f_o = 200 \, cm$,$f_e = 5 \, cm$,અને $d = 25 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = -\frac{200}{5} \left(1 + \frac{5}{25}\right)$.
$M = -40 \left(1 + 0.2\right) = -40 \times 1.2$.
$M = -48$.

(A) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
જ્યારે વસ્તુ અંતર $u$ અનંત $(\infty)$ તરફ જાય છે,ત્યારે પદ $\frac{1}{u}$ એ $0$ તરફ જાય છે.
આ કિંમત લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = f$.
આમ,જ્યારે વસ્તુ અનંત અંતરે હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન મુખ્ય કેન્દ્રની નજીક આવે છે.
આ લેન્સનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,અને આપેલ કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણો (જે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુમાંથી આવે છે) વક્રીભવન પછી મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે:
$E_1 = 2.5\,\text{eV}$ અને $\lambda_1 = 5000\,\mathring{A}$.
તેથી,$2.5 = \frac{hc}{5000\,\mathring{A}} \implies hc = 2.5 \times 5000\,\text{eV} \cdot \mathring{A}$.
$X$-રે ફોટોન માટે:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2}$ જ્યાં $\lambda_2 = 1\,\mathring{A}$.
$hc$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{2.5 \times 5000}{1} = 12500\,\text{eV}$.
આમ,ઊર્જા $2.5 \times 5000\,\text{eV}$ થશે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે નરમ અને કઠણ $X-$ કિરણો માત્ર આવૃત્તિમાં અલગ પડે છે,પરંતુ બંને શૂન્યાવકાશમાં સમાન વેગથી એટલે કે પ્રકાશના વેગ $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ થી ગતિ કરે છે.
કારણ સાચું છે કારણ કે કઠણ $X-$ કિરણોની ઉર્જા અને આવૃત્તિ વધારે હોય છે,જે તેમને નરમ $X-$ કિરણોની સરખામણીમાં વધુ ભેદન શક્તિ આપે છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(A) ફોટોએમિસિવ સેલમાં કાચના બલ્બમાં બે ઇલેક્ટ્રોડ હોય છે,જે કાં તો શૂન્યાવકાશિત હોઈ શકે છે અથવા ઓછા દબાણે નિષ્ક્રિય વાયુ ધરાવે છે.
જ્યારે નિષ્ક્રિય વાયુ હાજર હોય છે,ત્યારે કેથોડમાંથી ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોન વાયુના અણુઓ સાથે અથડાય છે,જેના કારણે આયનીકરણ થાય છે. આ પ્રક્રિયા ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે,જેના પરિણામે શૂન્યાવકાશિત સેલની તુલનામાં વધુ પ્રવાહ મળે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે આવા સેલમાં નિષ્ક્રિય વાયુનો ઉપયોગ શા માટે કરવામાં આવે છે.

(D) ક્ષય દર (એક્ટિવિટી) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1.2 \times 10^7 \, s$ નો ઉપયોગ કરીને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ની ગણતરી કરો:
$\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \, s^{-1}$.
હવે, $\lambda$ અને $N = 4.0 \times 10^{15}$ પરમાણુઓની કિંમતોને ક્ષય દરના સૂત્રમાં મૂકો:
$\frac{dN}{dt} = \left( \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \right) \times (4.0 \times 10^{15})$
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693 \times 4.0}{1.2} \times 10^{15-7}$
$\frac{dN}{dt} = \frac{2.772}{1.2} \times 10^8$
$\frac{dN}{dt} = 2.31 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા, ક્ષય દર $2.3 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$ મળે છે.

(B) આંતરિક અર્ધવાહકની વાહકતા $\sigma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sigma = e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)$
આપેલ છે:
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$n_e = n_h = 2.5 \times 10^{19} \, /m^3$
$\mu_e = 0.35 \, m^2/V-s$
$\mu_h = 0.18 \, m^2/V-s$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times (2.5 \times 10^{19} \times 0.35 + 2.5 \times 10^{19} \times 0.18)$
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{19} \times (0.35 + 0.18)$
$\sigma = 1.6 \times 2.5 \times 0.53$
$\sigma = 4 \times 0.53 = 2.12 \, S/m$

(A) ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{hc}{E_g}$
જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $E_g$ એ એનર્જી ગેપ છે.
આપેલ છે કે $E_g = 1.9 \, eV = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}} \, m$
$\lambda \approx \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3.04 \times 10^{-19}} \, m$
$\lambda \approx 6.54 \times 10^{-7} \, m$
$\lambda \approx 654 \times 10^{-9} \, m = 654 \, nm$.
આપેલા વિકલ્પોની નજીકની કિંમત જોતા,તરંગલંબાઇ $650 \, nm$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે કલેક્ટર પ્રવાહ $I_{c} = 10 \, mA$ છે.
એમિટર દ્વારા ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનમાંથી $90 \%$ ઇલેક્ટ્રોન કલેક્ટર સુધી પહોંચે છે,તેથી સંબંધ $I_{c} = 0.90 \times I_{e}$ મળે છે.
એમિટર પ્રવાહ $I_{e}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ:
$I_{e} = \frac{I_{c}}{0.90} = \frac{10 \, mA}{0.9} = \frac{100}{9} \, mA$.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,$I_{e} \approx 11.11 \, mA$ મળે છે.
તેથી,એમિટર પ્રવાહ આશરે $11 \, mA$ છે.

(D) ગ્રાઉન્ડ વેવ પ્રોપેગેશન એ રેડિયો તરંગોના પ્રસરણની એક પદ્ધતિ છે જે પૃથ્વીની સપાટી અને આયનોસ્ફિયર વચ્ચેના વિસ્તારનો ઉપયોગ વેવગાઈડ તરીકે કરે છે.
ગ્રાઉન્ડ વેવ્સ સામાન્ય રીતે લો-ફ્રીક્વન્સી અને મીડિયમ-ફ્રીક્વન્સી સંચાર માટે વપરાય છે.
જોકે,વિકલ્પોમાં ઉલ્લેખિત ચોક્કસ શ્રેણી એ જમીન-આધારિત સંચાર પ્રણાલીઓ માટે વપરાતી તરંગલંબાઈની શ્રેણીનો સંદર્ભ આપે છે,જે સામાન્ય રીતે ચોક્કસ માઇક્રોવેવ એપ્લિકેશન અથવા લાઇન-ઓફ-સાઇટ સંચાર માટે $10^{-3}\, m$ થી $0.1\, m$ ની વચ્ચે હોય છે.