a 1, ; int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = | vedclass

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Question

(B) माना $n = [a]$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है ताकि $n \leq a < n+1$ हो।समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:$\int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = \int_{1}^

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$[a] f(a) - \{f(1) + f(2) + \dots + f([a])\}$

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(B) माना $n = [a]$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है ताकि $n \leq a समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:$\int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = \int_{1}^{2} 1 f'(x) dx + \int_{2}^{3} 2 f'(x) dx + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) f'(x) dx + \int_{n}^{a} n f'(x) dx$प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$= 1[f(2) - f(1)] + 2[f(3) - f(2)] + \dots + (n-1)[f(n) - f(n-1)] + n[f(a) - f(n)]$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$= -f(1) - f(2) - f(3) - \dots - f(n) + n f(a)$चूंकि $n = [a]$,हमें प्राप्त होता है:$= [a] f(a) - \{f(1) + f(2) + \dots + f([a])\}$

$a > 1, \; \int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = $

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यदि $\beta + 2 \int\limits_0^1 {{x^2}\,{e^{ - {x^2}}}}\, dx = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}}\, dx$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}} \right)\,dx = } $

यदि $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}} dx = \alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}} = $

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