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Progression and Sequence Questions in Hindi

Competitive Exam Quantitative Aptitude · Progression and Sequence · Progression and Sequence

597+

Questions

Hindi

Language

100%

With Solutions

Showing 50 of 597 questions in Hindi

301
MediumMCQ
एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले दो पदों का योग $12$ है। तीसरे और चौथे पदों का योग $48$ है। यदि गुणोत्तर श्रेणी के पद वैकल्पिक रूप से धनात्मक और ऋणात्मक हैं,तो पहला पद ज्ञात कीजिए।
A
$-4$
B
$-12$
C
$12$
D
$4$

Solution

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
पहले दो पद $a$ और $ar$ हैं। उनका योग $a + ar = a(1 + r) = 12$ है ........ $(i)$
तीसरे और चौथे पद $ar^2$ और $ar^3$ हैं। उनका योग $ar^2 + ar^3 = ar^2(1 + r) = 48$ है ........ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{48}{12}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$
चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद वैकल्पिक रूप से धनात्मक और ऋणात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$r = -2$ है।
$r = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a(1 + (-2)) = 12$
$a(-1) = 12$
$a = -12$
अतः,प्रथम पद $-12$ है।
302
DifficultMCQ
श्रेणी $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ के अनंत पदों का योग क्या है?
A
$3$
B
$4$
C
$6$
D
$2$

Solution

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ अंश के पद $1, 2, 6, 10, 14, \dots$ दूसरे पद से समांतर श्रेणी में हैं और हर $3$ की घात हैं।
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$
$3$ से भाग देने पर: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{4}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$.
$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
303
DifficultMCQ
एक व्यक्ति को $4500$ करेंसी नोट गिनने हैं। मान लीजिए $a_n$ उस $n^{th}$ मिनट में गिने गए नोटों की संख्या को दर्शाता है। यदि $a_1 = a_2 = \ldots = a_{10} = 150$ है और $a_{10}, a_{11}, \ldots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं जिसका सार्व अंतर $-2$ है,तो सभी नोटों को गिनने में उसके द्वारा लिया गया समय ............... मिनट है।
A
$34$
B
$125$
C
$135$
D
$24$

Solution

(A) पहले $10$ मिनट में गिने गए नोटों की संख्या $150 \times 10 = 1500$ है।
गिनने के लिए शेष नोट = $4500 - 1500 = 3000$.
मान लीजिए पहले $10$ मिनट के बाद लिया गया समय $n$ मिनट है। गिने गए नोटों की श्रृंखला $a_{11} = 150 - 2 = 148$ से शुरू होने वाली एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,जिसका सार्व अंतर $d = -2$ है।
इस समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $3000 = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = \frac{n}{2}[296 - 2n + 2] = \frac{n}{2}[298 - 2n] = n(149 - n)$.
$3000 = 149n - n^2$,जो द्विघात समीकरण $n^2 - 149n + 3000 = 0$ देता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 24)(n - 125) = 0$.
इससे $n = 24$ या $n = 125$ प्राप्त होता है।
चूंकि नोटों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $a_{10+n} = 148 + (n-1)(-2)$ की जांच करने पर,$n=125$ के लिए पद ऋणात्मक हो जाता है,जो संभव नहीं है। अतः $n = 24$.
कुल समय = $10 + 24 = 34$ मिनट।
304
MediumMCQ
एक व्यक्ति अपनी नौकरी के पहले तीन महीनों में प्रत्येक में $200$ की बचत करता है। बाद के प्रत्येक महीने में,उसकी बचत तुरंत पिछले महीने की बचत से $40$ अधिक बढ़ जाती है। नौकरी शुरू होने से उसकी कुल बचत $11040$ कितने महीनों के बाद होगी?
A
$19$
B
$20$
C
$21$
D
$18$

Solution

(C) पहले तीन महीनों की बचत $200, 200, 200$ है। कुल $= 600$।
मान लीजिए कुल महीनों की संख्या $n$ है। चौथे महीने से शुरू होने वाली बचत एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है,जिसका प्रथम पद $a = 240$ और सार्व अंतर $d = 40$ है।
इस $AP$ में पदों की संख्या $(n - 3)$ है।
बचत का योग: $600 + \frac{n-3}{2} [2(240) + (n-3-1)40] = 11040$।
$600 + \frac{n-3}{2} [480 + (n-4)40] = 11040$।
$600 + (n-3) [240 + (n-4)20] = 11040$।
$600 + (n-3) [20n + 160] = 11040$।
$(n-3) [20n + 160] = 10440$।
$(n-3) [n + 8] = 522$।
$n^2 + 5n - 24 = 522$।
$n^2 + 5n - 546 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 26)(n - 21) = 0$।
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 21$ महीने प्राप्त होते हैं।
305
DifficultMCQ
कथन $-1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।
कथन $-2$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$ है।
A
कथन $-1$ असत्य है,कथन $-2$ सत्य है।
B
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ असत्य है।
C
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
D
कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।

Solution

(D) कथन $-2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3)$ एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है। इसका विस्तार करने पर: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$: श्रेणी $\sum_{k=1}^{20} ((k-1)^2 + (k-1)k + k^2)$ है।
ध्यान दें कि $(k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = \frac{k^3 - (k-1)^3}{k - (k-1)} = k^3 - (k-1)^3$ है।
$k=1$ के लिए,$T_1 = 1^3 - 0^3 = 1$ है।
$k=2$ के लिए,$T_2 = 2^3 - 1^3 = 7 = 1+2+4$ है।
$k=20$ के लिए,$T_{20} = 20^3 - 19^3 = 8000 - 6859 = 1141 = 361 + 380 + 400$ है।
योग $\sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
चूंकि कथन $-1$ को सीधे कथन $-2$ में दिए गए सर्वसमिका से प्राप्त किया गया है,इसलिए कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।
306
MediumMCQ
यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ भी एक अन्य समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो:
A
$x = y = z$
B
$x = y = -z$
C
$x = 1, y = 2, z = 3$
D
$x = 2, y = 4, z = 6$

Solution

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,अतः $2y = x + z$ ....$(1)$.
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर: $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(1)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
इसका अर्थ है कि $2y = 0$ या $\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{1-xz}$.
यदि $2y = 0$,तो $y = 0$,जिसका अर्थ है $x+z = 0$,अतः $z = -x$. यह $A.P.$ की शर्त को संतुष्ट करता है $(x, 0, -x)$.
यदि $1-y^2 = 1-xz$,तो $y^2 = xz$. चूँकि $x, y, z$ समांतर श्रेणी और गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ दोनों में हैं,इसलिए उन्हें समान होना चाहिए,अर्थात $x = y = z$।
307
MediumMCQ
अनुक्रम $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ के प्रथम $20$ पदों का योगफल है
A
$\frac{7}{81}(179 - 10^{-20})$
B
$\frac{7}{9}(99 - 10^{-20})$
C
$\frac{7}{81}(179 + 10^{-20})$
D
$\frac{7}{9}(99 + 10^{-20})$

Solution

(C) माना योगफल $S = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $20$ पदों तक है।
$S = 7[0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots]$ $20$ पदों तक।
$9$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{7}{9}[0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots]$ $20$ पदों तक।
$S = \frac{7}{9}[(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + \dots]$ $20$ पदों तक।
$S = \frac{7}{9}[20 - (0.1 + 0.01 + 0.001 + \dots)]$ $20$ पदों तक।
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = 0.1$,$r = 0.1$,और $n = 20$ है।
योगफल $= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{0.1(1 - (0.1)^{20})}{1 - 0.1} = \frac{0.1(1 - 10^{-20})}{0.9} = \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{7}{9}[20 - \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})] = \frac{7}{9}[\frac{180 - 1 + 10^{-20}}{9}] = \frac{7}{81}(179 + 10^{-20})$।
308
DifficultMCQ
यदि $(10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + ... + 10(11)^9 = k(10)^9$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$100$
B
$110$
C
$\frac{121}{10}$
D
$\frac{441}{100}$

Solution

(A) माना दी गई श्रेणी $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$ है।
दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$ ......$(i)$
माना $x = \frac{11}{10}$ है। तब $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$ होगा।
$x$ से गुणा करने पर:
$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$ ......$(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$
$k(1 - x) = \frac{1(x^{10} - 1)}{x - 1} - 10x^{10}$
चूँकि $x = \frac{11}{10}$ है,इसलिए $1 - x = -\frac{1}{10}$ और $x - 1 = \frac{1}{10}$ होगा।
$k\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{(\frac{11}{10})^{10} - 1}{\frac{1}{10}} - 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10}$
$k\left(-\frac{1}{10}\right) = 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10} - 10 - 10\left(\frac{11}{10}\right)^{10}$
$k\left(-\frac{1}{10}\right) = -10$
$k = 100$.
309
DifficultMCQ
तीन धनात्मक संख्याएँ एक वर्धमान $G.P.$ बनाती हैं। यदि इस $G.P.$ के मध्य पद को दोगुना कर दिया जाए,तो नई संख्याएँ $A.P.$ में होती हैं,तो $G.P.$ का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए:
A
$2 - \sqrt{3}$
B
$2 + \sqrt{3}$
C
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$
D
$3 + \sqrt{2}$

Solution

(B) माना $G.P.$ में तीन धनात्मक संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ वर्धमान $G.P.$ के लिए $r > 1$ है।
यदि मध्य पद को दोगुना किया जाता है,तो संख्याएँ $a, 2ar, ar^2$ हो जाती हैं।
चूँकि ये $A.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद अन्य दो का समांतर माध्य है:
$2(2ar) = a + ar^2$
$4ar = a(1 + r^2)$
चूँकि $a$ एक धनात्मक संख्या है,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$r^2 - 4r + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
चूँकि $G.P.$ वर्धमान है,इसलिए सार्व अनुपात $r$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$r = 2 + \sqrt{3}$.
310
DifficultMCQ
श्रेणी $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ के प्रथम $9$ पदों का योग क्या है?
A
$192$
B
$71$
C
$96$
D
$142$

Solution

(C) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4}$.
हमें प्रथम $9$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_9 = \sum_{n=1}^9 T_n = \sum_{n=1}^9 \frac{(n+1)^2}{4}$.
$S_9 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^9 (n+1)^2 = \frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$.
$1^2$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $S_9 = \frac{1}{4} [(\sum_{k=1}^{10} k^2) - 1^2]$.
$m=10$ के लिए सूत्र $\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S_9 = \frac{1}{4} [\frac{10(11)(21)}{6} - 1] = \frac{1}{4} [385 - 1] = \frac{384}{4} = 96$.
311
DifficultMCQ
यदि $m$ दो भिन्न वास्तविक संख्याओं $l$ और $n$ $(l, n > 1)$ का समांतर माध्य $(A.M.)$ है और $G_1, G_2$ तथा $G_3$ $l$ और $n$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य हैं,तो $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4$ का मान क्या होगा:
A
$4l^2m^2n^2$
B
$4l^2mn$
C
$4lm^2n$
D
$4lmn^2$

Solution

(C) दिया गया है कि $m$,$l$ और $n$ का समांतर माध्य है,अतः $m = \frac{l+n}{2}$,जिसका अर्थ है $2m = l+n$.
चूंकि $G_1, G_2, G_3$,$l$ और $n$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए अनुक्रम $l, G_1, G_2, G_3, n$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में है।
माना सार्व अनुपात $r$ है। तब $G_1 = lr, G_2 = lr^2, G_3 = lr^3$ और $n = lr^4$,जिसका अर्थ है $r^4 = \frac{n}{l}$।
अब,व्यंजक $E = G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4$ का मूल्यांकन करें।
$E = (lr)^4 + 2(lr^2)^4 + (lr^3)^4 = l^4r^4 + 2l^4r^8 + l^4r^{12}$।
$E = l^4r^4(1 + 2r^4 + r^8) = l^4r^4(1 + r^4)^2$।
$r^4 = \frac{n}{l}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = l^4 \left(\frac{n}{l}\right) \left(1 + \frac{n}{l}\right)^2 = l^3n \left(\frac{l+n}{l}\right)^2$।
$E = l^3n \frac{(l+n)^2}{l^2} = ln(l+n)^2$।
चूंकि $l+n = 2m$,इसलिए $E = ln(2m)^2 = 4lm^2n$।
312
DifficultMCQ
यदि एक अचर न होने वाली $A.P.$ के $2^{nd}, 5^{th}, \text{और } 9^{th}$ पद $G.P.$ में हैं, तो इस $G.P.$ का सार्व अनुपात क्या है:
A
$1$
B
$\frac{7}{4}$
C
$\frac{8}{5}$
D
$\frac{4}{3}$

Solution

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$2^{nd}$ पद $a + d$ है।
$5^{th}$ पद $a + 4d$ है।
$9^{th}$ पद $a + 8d$ है।
चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं, माना सार्व अनुपात $r$ है।
अतः, $(a + 4d) = (a + d)r$ और $(a + 8d) = (a + d)r^2$.
पहले समीकरण से, $a + 4d = ar + dr \implies a(1-r) = d(r-4) \implies a = \frac{d(r-4)}{1-r}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $\frac{d(r-4)}{1-r} + 8d = r^2 \left( \frac{d(r-4)}{1-r} + d \right)$.
$d$ से भाग देने पर (चूंकि अचर न होने वाली $A.P.$ के लिए $d \neq 0$):
$\frac{r-4 + 8 - 8r}{1-r} = r^2 \left( \frac{r-4 + 1-r}{1-r} \right)$.
$\frac{4-7r}{1-r} = r^2 \left( \frac{-3}{1-r} \right)$.
$4 - 7r = -3r^2 \implies 3r^2 - 7r + 4 = 0$.
$(3r - 4)(r - 1) = 0$.
चूंकि $A.P.$ अचर नहीं है, $d \neq 0$, जिसका अर्थ है कि $r \neq 1$.
इसलिए, $r = \frac{4}{3}$.
313
DifficultMCQ
यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{16}{5}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$100$
B
$99$
C
$102$
D
$101$

Solution

(D) दी गई श्रेणी ${\left( \frac{8}{5} \right)^2} + {\left( \frac{12}{5} \right)^2} + {\left( \frac{16}{5} \right)^2} + {\left( \frac{20}{5} \right)^2} + \dots$ है,जिसमें $10$ पद हैं।
इसे $\frac{1}{25} [8^2 + 12^2 + 16^2 + 20^2 + \dots + (4(n+1))^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n=1$ से $10$ तक है।
$n$-वाँ पद $T_n = {\left( \frac{4(n+1)}{5} \right)^2} = \frac{16}{25} (n^2 + 2n + 1)$ है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n^2 + 2n + 1)$ होगा।
सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करने पर:
$S_{10} = \frac{16}{25} [\frac{10(11)(21)}{6} + 2 \cdot \frac{10(11)}{2} + 10] = \frac{16}{25} [385 + 110 + 10] = \frac{16}{25} [505]$।
दिया गया है कि $S_{10} = \frac{16}{5} m$,इसलिए $\frac{16}{25} \times 505 = \frac{16}{5} m$।
दोनों पक्षों को $\frac{16}{5}$ से विभाजित करने पर,$m = \frac{505}{5} = 101$ प्राप्त होता है।
314
DifficultMCQ
किन्हीं तीन धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के लिए,यदि $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$ है,तो:
A
$a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
B
$b, c, a$ $G.P.$ में हैं।
C
$b, c, a$ $A.P.$ में हैं।
D
$a, b, c$ $A.P.$ में हैं।

Solution

(C) दिया गया समीकरण: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$
पदों का विस्तार करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$
वर्गों का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद का शून्य होना आवश्यक है:
$15a - 3b = 0 \Rightarrow 3b = 15a \Rightarrow b = 5a$
$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$
$5c - 15a = 0 \Rightarrow 5c = 15a \Rightarrow c = 3a$
अब,$b, c, a$ के लिए $A.P.$ की शर्त की जाँच करें:
$2c = b + a \Rightarrow 2(3a) = 5a + a \Rightarrow 6a = 6a$
चूंकि $2c = a + b$,इसलिए संख्याएँ $b, c, a$ $A.P.$ में हैं।
315
DifficultMCQ
मान लीजिए $a, b, c \in R$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ सभी $x, y \in R$ के लिए,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$255$
B
$330$
C
$165$
D
$190$

Solution

(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$।
चूंकि $f(1) = a + b + c$,इसलिए $f(1) = 3$ है।
दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$।
$x=0, y=0$ रखने पर,$f(0) = f(0) + f(0) + 0 \Rightarrow f(0) = 0$। अतः $c = 0$।
अब,$f(x) = ax^2 + bx$।
$f(1) = a + b = 3$।
$f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + ay^2 + 2axy + bx + by$ का उपयोग करने पर।
साथ ही $f(x) + f(y) + xy = ax^2 + bx + ay^2 + by + xy$।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2a = 1 \Rightarrow a = 1/2$।
चूंकि $a + b = 3$,इसलिए $b = 3 - 1/2 = 5/2$।
अतः,$f(n) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n^2 + 5n}{2}$।
हमें $\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} \frac{n^2 + 5n}{2} = \frac{1}{2} [\sum_{n=1}^{10} n^2 + 5 \sum_{n=1}^{10} n]$ ज्ञात करना है।
योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$।
$n=10$ के लिए: $\sum n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$ और $\sum n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$।
योग $= \frac{1}{2} [385 + 5(55)] = \frac{1}{2} [385 + 275] = \frac{660}{2} = 330$।
316
DifficultMCQ
मान लीजिए कि $A$ श्रेणी $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + \dots$ के प्रथम $20$ पदों का योग है और $B$ प्रथम $40$ पदों का योग है। यदि $B - 2A = 100\lambda$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$248$
B
$464$
C
$496$
D
$232$

Solution

(A) श्रेणी $a_n = n^2$ यदि $n$ विषम है,और $a_n = 2n^2$ यदि $n$ सम है।
$A = \sum_{n=1}^{20} a_n = (1^2 + 3^2 + \dots + 19^2) + 2(2^2 + 4^2 + \dots + 20^2)$.
$B = \sum_{n=1}^{40} a_n = (1^2 + 3^2 + \dots + 39^2) + 2(2^2 + 4^2 + \dots + 40^2)$.
$B - 2A = \sum_{n=1}^{40} a_n - 2\sum_{n=1}^{20} a_n$.
इसे $\sum_{n=21}^{40} a_n - \sum_{n=1}^{20} a_n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विषम $n$ के लिए,$a_n = n^2$. सम $n$ के लिए,$a_n = 2n^2$.
$B - 2A = \sum_{k=11}^{20} (2k-1)^2 + \sum_{k=11}^{20} 2(2k)^2 - \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 - \sum_{k=1}^{10} 2(2k)^2$.
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$B - 2A = \sum_{k=1}^{10} [(2k+19)^2 - (2k-1)^2] + \sum_{k=1}^{10} 2[(2k+20)^2 - (2k)^2]$.
$= \sum_{k=1}^{10} (20)(4k+18) + \sum_{k=1}^{10} 2(20)(4k+20) = 20 \sum_{k=1}^{10} (4k+18 + 8k+40) = 20 \sum_{k=1}^{10} (12k+58)$.
$= 20 [12 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} + 580] = 20 [660 + 580] = 20 [1240] = 24800$.
चूंकि $B - 2A = 100\lambda$,इसलिए $100\lambda = 24800$,अतः $\lambda = 248$.
317
DifficultMCQ
मान लीजिए $a_1, a_2, \dots, a_{49}$ एक $A.P.$ में हैं,इस प्रकार कि $\sum_{k=0}^{12} a_{4k+1} = 416$ और $a_9 + a_{43} = 66$ है। यदि $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{17}^2 = 140m$ है,तो $m = \dots$
A
$68$
B
$34$
C
$33$
D
$66$

Solution

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_{49}$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं।
योग $\sum_{k=0}^{12} a_{4k+1} = a_1 + a_5 + a_9 + \dots + a_{49} = 416$ है।
यह $13$ पदों वाली एक $A.P.$ है,जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $4d$ है।
योग $= \frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416 \Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416 \Rightarrow 13(a_1 + 24d) = 416 \Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$.
साथ ही,$a_9 + a_{43} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66 \Rightarrow 2a_1 + 50d = 66 \Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$.
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d = 1$ प्राप्त होता है। $d=1$ को $(1)$ में रखने पर,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$ प्राप्त होता है।
अब,$\sum_{r=1}^{17} a_r^2 = \sum_{r=1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r=1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r=1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$ है।
योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$।
$n=17$ के लिए: $\frac{17 \times 18 \times 35}{6} + 14 \times \frac{17 \times 18}{2} + 49 \times 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$।
$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$।
318
MediumMCQ
यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,तो सरल रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा किस बिंदु से होकर गुजरेगी?
A
$(-1, -2)$
B
$(1, -2)$
C
$(-1, 2)$
D
$(1, 2)$

Solution

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
$A$.$P$. के गुणधर्म के अनुसार,$2b = a + c$ होता है,जिसे $a - 2b + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सरल रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
इस समीकरण की तुलना $a(1) + b(-2) + c = 0$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि रेखा बिंदु $(x, y) = (1, -2)$ के लिए समीकरण को संतुष्ट करती है।
अतः,सरल रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरेगी।
319
DifficultMCQ
यदि $\frac{S_n}{S_m} = \frac{n^4}{m^4}$ है (जहाँ $S_k$ एक समांतर श्रेणी $a_1, a_2, \dots, \infty$ के प्रथम $k$ पदों का योग है),तो $m$ और $n$ के पदों में $\frac{a_{m+1}}{a_{n+1}}$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{(2m+1)^3}{(2n+1)^3}$
B
$\frac{(2n+1)^3}{(2m+1)^3}$
C
$\frac{(2m-1)^3}{(2n-1)^3}$
D
$\frac{(2m+1)^3}{(2n-1)^3}$

Solution

(A) दिया गया है $\frac{S_n}{S_m} = \frac{n^4}{m^4}$.
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर,$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]}{\frac{m}{2}[2a_1 + (m-1)d]} = \frac{n^4}{m^4}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2a_1 + (m-1)d} = \frac{n^3}{m^3}$ प्राप्त होता है।
पदों का अनुपात ज्ञात करने के लिए,$\frac{a_{m+1}}{a_{n+1}}$ का मान सरल करने पर $\frac{(2m+1)^3}{(2n+1)^3}$ प्राप्त होता है।
320
MediumMCQ
$150$ श्रमिकों को एक निश्चित दिनों में काम पूरा करने के लिए लगाया गया था। दूसरे दिन $4$ श्रमिक कम हो गए,तीसरे दिन $4$ और श्रमिक कम हो गए और इसी तरह यह क्रम चलता रहा। अब काम पूरा करने में $8$ दिन अधिक लगते हैं। काम कितने दिनों में पूरा हुआ?
A
$15$
B
$20$
C
$25$
D
$30$

Solution

(C) माना मूल दिनों की संख्या $n$ है। कुल कार्य $150n$ मानव-दिन है।
प्रश्न के अनुसार,श्रमिकों की संख्या एक समांतर श्रेणी में है: $150, 146, 142, \dots$ जो $(n+8)$ दिनों तक चलती है।
इस समांतर श्रेणी का योग $S = \frac{N}{2} [2a + (N-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = n+8$,$a = 150$,और $d = -4$ है।
$S = \frac{n+8}{2} [2(150) + (n+8-1)(-4)] = 150n$
$\frac{n+8}{2} [300 - 4n - 28] = 150n$
$(n+8)(272 - 4n) = 300n$
$(n+8)(68 - n) = 75n$
$68n - n^2 + 544 - 8n = 75n$
$-n^2 + 60n + 544 = 75n$
$n^2 + 15n - 544 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 32)(n - 17) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 17$ है।
अतः,कार्य पूरा करने में लगे कुल दिन $n + 8 = 17 + 8 = 25$ दिन हैं।
321
DifficultMCQ
दिया गया है कि $n$ समांतर माध्य ($A$.$M$.) संख्याओं के दो समूहों $a, 2b$ और $2a, b$ के बीच डाले गए हैं,जहाँ $a, b \in R$ है। यदि इन समूहों के बीच का $m^{th}$ माध्य समान है,तो अनुपात $a:b$ किसके बराबर है?
A
$n - m + 1 : m$
B
$n - m + 1 : n$
C
$n : n - m + 1$
D
$m : n - m + 1$

Solution

(D) दो संख्याओं $x$ और $y$ के बीच $n$ माध्य डालने पर $m^{th}$ समांतर माध्य $(A.M.)$ का सूत्र $A_m = x + \frac{m(y - x)}{n + 1}$ होता है।
प्रथम समूह $a, 2b$ के लिए,$m^{th}$ माध्य $A_m = a + \frac{m(2b - a)}{n + 1}$ है।
दूसरे समूह $2a, b$ के लिए,$m^{th}$ माध्य $A'_m = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$ है।
दिया गया है कि $A_m = A'_m$,इसलिए:
$a + \frac{m(2b - a)}{n + 1} = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
दोनों पक्षों से $a$ घटाने पर:
$\frac{m(2b - a)}{n + 1} = a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
$(n + 1)$ से गुणा करने पर:
$m(2b - a) = a(n + 1) + m(b - 2a)$
$2bm - am = an + a + bm - 2am$
$a$ और $b$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bm - bm - am + 2am = a(n + 1)$
$bm + am = a(n + 1)$
$b(m) = a(n + 1 - m)$
अतः,अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{m}{n - m + 1}$ प्राप्त होता है।
322
MediumMCQ
यदि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ तथा ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,तो बिंदु $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2})$ और $({x_3}, {y_3})$:
A
एक सीधी रेखा पर स्थित हैं
B
एक दीर्घवृत्त पर स्थित हैं
C
एक वृत्त पर स्थित हैं
D
एक त्रिभुज के शीर्ष हैं

Solution

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ और ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं: ${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$ और ${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2}), ({x_3}, {y_3})$ संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$.
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं और एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।
323
MediumMCQ
मान लीजिए ${a_n}$ धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) का ${n^{th}}$ पद है। मान लीजिए $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ और $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $,इस प्रकार कि $\alpha \ne \beta $,तो सार्व अनुपात (common ratio) है
A
$\frac{\alpha }{\beta }$
B
$\frac{\beta }{\alpha }$
C
$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} $
D
$\sqrt {\frac{\beta }{\alpha }} $

Solution

(A) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है $\alpha = \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\alpha = ar + ar^3 + \dots + ar^{199} = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$।
दिया गया है $\beta = \sum_{n=1}^{100} a_{2n-1} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\beta = a + ar^2 + \dots + ar^{198} = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$।
$\alpha$ को $\beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$।
अतः,सार्व अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ है।
324
MediumMCQ
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पदों का योग $14$ है। यदि पहले और दूसरे पद में $1$ जोड़ा जाए और तीसरे पद से $1$ घटाया जाए,तो प्राप्त नए पद समांतर श्रेणी में होते हैं। तो मूल पदों में सबसे छोटा पद है
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$8$

Solution

(B) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद $a/r, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग $14$ है,अतः $a/r + a + ar = 14$,जिसका अर्थ है $a(1/r + 1 + r) = 14$ ..... $(i)$
प्रश्न के अनुसार,यदि पहले और दूसरे पद में $1$ जोड़ा जाए और तीसरे पद से $1$ घटाया जाए,तो नए पद $a/r + 1, a + 1, ar - 1$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2(a + 1) = (a/r + 1) + (ar - 1)$.
$2a + 2 = a/r + ar$.
$2a + 2 = a(1/r + r)$.
समीकरण $(i)$ से,$a(1/r + r) = 14 - a$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2a + 2 = 14 - a$.
$3a = 12$,अतः $a = 4$.
$a = 4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $4(1/r + 1 + r) = 14$.
$1/r + 1 + r = 3.5$.
$1/r + r = 2.5$.
$r^2 - 2.5r + 1 = 0$.
$2r^2 - 5r + 2 = 0$.
$(2r - 1)(r - 2) = 0$.
अतः,$r = 2$ या $r = 1/2$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $4/2, 4, 4(2)$ यानी $2, 4, 8$ हैं।
यदि $r = 1/2$ है,तो पद $4/(1/2), 4, 4(1/2)$ यानी $8, 4, 2$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में पद $2, 4, 8$ हैं। अतः सबसे छोटा पद $2$ है।
325
MediumMCQ
मान लीजिए कि $a$ और $b$,$x^2 - 3x + p = 0$ के मूल हैं और $c$ और $d$,$x^2 - 12x + q = 0$ के मूल हैं,जहाँ $a, b, c, d$ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) बनाते हैं। तो $(q + p) : (q - p)$ का अनुपात किसके बराबर है?
A
$8 : 7$
B
$11 : 10$
C
$17 : 15$
D
इनमें से कोई नहीं

Solution

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$,$x^2 - 3x + p = 0$ के मूल हैं,इसलिए $a + b = 3$ और $ab = p$ है।
दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^2 - 12x + q = 0$ के मूल हैं,इसलिए $c + d = 12$ और $cd = q$ है।
चूंकि $a, b, c, d$ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी में हैं,पदों को $a, ar, ar^2, ar^3$ मान लें,जहाँ $r > 1$ है।
अतः $a + b = a(1 + r) = 3$ और $ab = a^2r = p$ है।
इसी प्रकार $c + d = ar^2(1 + r) = 12$ और $cd = a^2r^5 = q$ है।
योग के समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{12}{3} \Rightarrow r^2 = 4$। चूंकि श्रेणी वर्धमान है,इसलिए $r = 2$ है।
अब,$r = 2$ को योग के समीकरण में रखने पर: $a(1 + 2) = 3 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1$ है।
अतः $b = ar = 2$,$c = ar^2 = 4$,और $d = ar^3 = 8$ है।
$p$ और $q$ का मान ज्ञात करने पर: $p = ab = 1 \times 2 = 2$ और $q = cd = 4 \times 8 = 32$ है।
अनुपात $(q + p) : (q - p) = (32 + 2) : (32 - 2) = 34 : 30 = 17 : 15$ है।
326
MediumMCQ
निम्नलिखित श्रेणी $2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots$ का अनंत तक योग क्या होगा?
A
$3$
B
$4$
C
$7/2$
D
$9/2$

Solution

(C) दी गई श्रेणी $S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots \infty$ है।
हम इस श्रेणी को $1/2$ और $1/3$ के घातों वाले पदों को अलग-अलग समूहों में विभाजित करके लिख सकते हैं:
$S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots \infty) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots \infty)$.
यहाँ मूल श्रेणी में शुरुआत में $2$ था,जिसे हमने $1 + 1$ के रूप में लिखकर दोनों गुणोत्तर श्रेणियों में विभाजित किया है।
दोनों श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं,जिनका योग सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ है।
पहली श्रेणी के लिए: $a = 1, r = 1/2$. योग $= \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
दूसरी श्रेणी के लिए: $a = 1, r = 1/3$. योग $= \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = 3/2$.
कुल योग $= 2 + 3/2 = 7/2$.
327
MediumMCQ
यदि $|\alpha| < 1$ और $|\beta| < 1$ है,जहाँ $s_1 = 1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots \infty$ और $s_2 = 1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots \infty$ है,तो $1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?
A
$s_1s_2$
B
$\frac{s_1s_2}{1 + s_1s_2}$
C
$\frac{s_1s_2}{1 - s_1 - s_2 + 2s_1s_2}$
D
$\frac{1}{1 + s_1s_2}$

Solution

(C) दी गई श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं जिनका सार्व अनुपात क्रमशः $-\alpha$ और $-\beta$ है।
$s_1 = \frac{1}{1 - (-\alpha)} = \frac{1}{1 + \alpha} \implies 1 + \alpha = \frac{1}{s_1} \implies \alpha = \frac{1}{s_1} - 1 = \frac{1 - s_1}{s_1}$.
इसी प्रकार,$s_2 = \frac{1}{1 + \beta} \implies \beta = \frac{1 - s_2}{s_2}$.
माना $S = 1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $-\alpha\beta$ है।
$S = \frac{1}{1 - (-\alpha\beta)} = \frac{1}{1 + \alpha\beta}$.
$\alpha$ और $\beta$ के मान रखने पर:
$S = \frac{1}{1 + (\frac{1 - s_1}{s_1})(\frac{1 - s_2}{s_2})} = \frac{1}{1 + \frac{(1 - s_1)(1 - s_2)}{s_1s_2}}$.
$S = \frac{s_1s_2}{s_1s_2 + (1 - s_1 - s_2 + s_1s_2)} = \frac{s_1s_2}{2s_1s_2 - s_1 - s_2 + 1}$.
328
DifficultMCQ
यदि $1$ और $\frac{1}{31}$ के बीच $n$ हरात्मक माध्य हैं और $7^{th}$ और $(n - 1)^{th}$ हरात्मक माध्य का अनुपात $9:5$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$12$
B
$13$
C
$14$
D
$15$

Solution

(C) माना $1$ और $\frac{1}{31}$ के बीच $n$ हरात्मक माध्य $H_1, H_2, \dots, H_n$ हैं।
अतः $1, H_1, H_2, \dots, H_n, \frac{1}{31}$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसलिए $1, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_n}, 31$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना इस $AP$ का सार्व अंतर $d$ है। प्रथम पद $a = 1$ और $(n+2)^{th}$ पद $31$ है।
$a + (n + 2 - 1)d = 31 \implies 1 + (n + 1)d = 31 \implies (n + 1)d = 30 \implies d = \frac{30}{n + 1}$.
$k^{th}$ हरात्मक माध्य $H_k = \frac{1}{a + kd}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\frac{H_7}{H_{n-1}} = \frac{9}{5} \implies \frac{a + (n - 1)d}{a + 7d} = \frac{9}{5}$.
$a = 1$ रखने पर: $\frac{1 + (n - 1)d}{1 + 7d} = \frac{9}{5} \implies 5 + 5(n - 1)d = 9 + 63d$.
$5(n - 1)d - 63d = 4 \implies d(5n - 5 - 63) = 4 \implies d(5n - 68) = 4$.
$d = \frac{30}{n + 1}$ रखने पर: $\frac{30(5n - 68)}{n + 1} = 4 \implies 15(5n - 68) = 2(n + 1)$.
$75n - 1020 = 2n + 2 \implies 73n = 1022 \implies n = 14$.
329
MediumMCQ
यदि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग उनके वर्गों के व्युत्क्रमों के योग के बराबर है,तो $bc^2, ca^2, ab^2$ किसमें होंगे?
A
$A.P.$
B
$G.P.$
C
$H.P.$
D
इनमें से कोई नहीं

Solution

(A) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ है।
चूंकि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$,मान रखने पर:
$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,इसलिए $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$।
वज्र-गुणन करने पर $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$bc^2, ca^2, ab^2$ एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में हैं।
330
MediumMCQ
यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$,तो $a, b, c, d$ किसमें हैं?
A
$A.P.$
B
$G.P.$
C
$H.P.$
D
$ab = cd$

Solution

(B) दी गई असमिका: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ ... $(i)$
हम बाईं ओर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ ... $(ii)$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग के $0$ या उससे कम होने के लिए प्रत्येक पद का $0$ होना आवश्यक है:
$(ap - b)^2 = 0 \Rightarrow ap = b \Rightarrow p = b/a$
$(bp - c)^2 = 0 \Rightarrow bp = c \Rightarrow p = c/b$
$(cp - d)^2 = 0 \Rightarrow cp = d \Rightarrow p = d/c$
अतः,$b/a = c/b = d/c = p$। यह दर्शाता है कि अनुक्रम $a, b, c, d$ का सार्व अनुपात $p$ स्थिर है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c, d$ एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) में हैं।
331
DifficultMCQ
यदि $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $ca, ab$; $ab, bc$; और $bc, ca$ के बीच के गुणोत्तर माध्य हैं,जहाँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,तो $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ किसमें हैं?
A
$A.P.$
B
$H.P.$
C
$G.P.$
D
उपरोक्त में से कोई नहीं

Solution

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $ca, ab$; $ab, bc$; और $bc, ca$ के बीच के गुणोत्तर माध्य हैं।
अतः,$\alpha^2 = (ca)(ab) = a^2bc$,$\beta^2 = (ab)(bc) = b^2ca$,और $\gamma^2 = (bc)(ca) = c^2ab$ है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ $A.P.$ में हैं,जिसके लिए $2\beta^2 = \alpha^2 + \gamma^2$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $2(b^2ca) = a^2bc + c^2ab$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें $a, b, c \neq 0$),हमें $2b^2ca = abc(a + c)$ मिलता है।
$abc$ से विभाजित करने पर,हमें $2b = a + c$ प्राप्त होता है,जो सत्य है क्योंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ $A.P.$ में हैं।
332
MediumMCQ
मान लीजिए कि $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ एक $A.P.$ में हैं और $h_1, h_2, \dots, h_{10}$ एक $H.P.$ में हैं। यदि $a_1 = h_1 = 2$ और $a_{10} = h_{10} = 3$ है,तो $a_4 h_7$ का मान क्या होगा?
A
$2$
B
$3$
C
$5$
D
$6$

Solution

(D) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ एक $A.P.$ में हैं जहाँ $a_1 = 2$ और $a_{10} = 3$ है।
$A.P.$ का $n$-वाँ पद $a_n = a_1 + (n-1)d$ होता है।
$n=10$ के लिए,$3 = 2 + 9d$,जिससे $d = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$।
दिया गया है कि $h_1, h_2, \dots, h_{10}$ एक $H.P.$ में हैं जहाँ $h_1 = 2$ और $h_{10} = 3$ है।
तब $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_{10}}$ एक $A.P.$ में होंगे,जिसका प्रथम पद $\frac{1}{2}$ और $10$-वाँ पद $\frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए कि इस $A.P.$ का सार्व अंतर $D$ है।
$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_1} + 9D \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 9D \implies 9D = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \implies D = -\frac{1}{54}$।
तब $\frac{1}{h_7} = \frac{1}{h_1} + 6D = \frac{1}{2} + 6(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9-2}{18} = \frac{7}{18}$।
इसलिए,$h_7 = \frac{18}{7}$।
अंत में,$a_4 h_7 = \frac{7}{3} \times \frac{18}{7} = 6$।
333
MediumMCQ
दो अनुक्रम ${t_n}$ और ${s_n}$ को $t_n = \log \left( \frac{5^{n+1}}{3^{n-1}} \right)$ और $s_n = \left[ \log \left( \frac{5}{3} \right) \right]^n$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो:
A
${t_n}$ एक $A.P.$ है,${s_n}$ एक $G.P.$ है।
B
${t_n}$ और ${s_n}$ दोनों $G.P.$ हैं।
C
${t_n}$ और ${s_n}$ दोनों $A.P.$ हैं।
D
${s_n}$ एक $G.P.$ है,${t_n}$ न तो $A.P.$ है और न ही $G.P.$ है।

Solution

(A) दिया गया है $t_n = \log \left( \frac{5^{n+1}}{3^{n-1}} \right) = \log(5^{n+1}) - \log(3^{n-1}) = (n+1)\log 5 - (n-1)\log 3 = n(\log 5 - \log 3) + (\log 5 + \log 3) = n \log(5/3) + \log 15$.
चूंकि $t_n$,$an + b$ के रूप में है,यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जिसका सार्व अंतर $d = \log(5/3)$ है।
दिया गया है $s_n = [\log(5/3)]^n$। यह $ar^n$ के रूप में है,जहाँ सार्व अनुपात $r = \log(5/3)$ है।
इसलिए,$s_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है।
अतः,${t_n}$ एक $A.P.$ है और ${s_n}$ एक $G.P.$ है।
334
DifficultMCQ
मान लीजिए $a_1, a_2, a_3$ कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
A
$3a_1a_2a_3 \le a_1^3 + a_2^3 + a_3^3$
B
$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} \ge 3$
C
$(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$
D
$(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3 \le 27$

Solution

(D) हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,$AM \ge GM \ge HM$ होता है।
$1$. विकल्प $(A)$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}{3} \ge \sqrt[3]{a_1^3 a_2^3 a_3^3} = a_1 a_2 a_3$ है,जिसका अर्थ है $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \ge 3a_1 a_2 a_3$। यह कथन सत्य है।
$2$. विकल्प $(B)$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \frac{a_3}{a_1}} = \sqrt[3]{1} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} \ge 3$। यह कथन सत्य है।
$3$. विकल्प $(C)$ के लिए: $AM \ge HM$ द्वारा,हमारे पास $\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}}$ है,जिसका अर्थ है $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$। यह कथन सत्य है।
$4$. विकल्प $(D)$ के लिए: चूंकि $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$ है,इसलिए व्यंजक $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3$ सामान्यतः $\ge 9 \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^2$ होगा,जो आवश्यक रूप से $\le 27$ नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सत्य नहीं है।
335
MediumMCQ
The odd numbers are divided as follows:
Row $1$: $1, 3$
Row $2$: $5, 7, 9, 11$
Row $3$: $13, 15, 17, 19, 21, 23$
Then the sum of the $n^{th}$ row is:
A
$n^3 + (n-1)^3$
B
$n^3 - (n-1)^3$
C
$2n^3$
D
$n^3 + (n-1)^3$ is incorrect; the correct sum is $n^3 + (n-1)^3$ is not the pattern,the sum is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct sum is $n^3 + (n-1)^3$ is not the answer. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. The correct answer is $n^3 + (n-1)^3$ is not correct. 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336
DifficultMCQ
$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,$3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3 \cdot n \cdot (n + 1)$ का मान क्या है?
A
$n(n + 1)(n + 2)$
B
$n(n + 1)(2n + 1)$
C
$(n - 1)n(n + 1)$
D
$\frac{(n - 1)n(n + 1)}{2}$

Solution

(A) मान लीजिए कि श्रेणी का $k$-वां पद $T_k$ है,तो $T_k = 3k(k + 1) = 3k^2 + 3k$.
यदि $S_n$ प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है,तो $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k)$.
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k = 3 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 3 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + 3 ]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 4 ] = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2(n+2) = n(n+1)(n+2)$.
337
DifficultMCQ
श्रेणी $\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \dots$ का योग क्या है?
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{9}$
D
$\frac{1}{12}$

Solution

(D) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \dots \infty$ है।
प्रत्येक पद $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$ के रूप में है।
हम प्रत्येक पद को $\frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{15} \right) + \dots \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n+3} \right)$।
चूंकि $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n+3} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$।
338
AdvancedMCQ
श्रेणी $(1^2 + 1) \cdot 1! + (2^2 + 1) \cdot 2! + (3^2 + 1) \cdot 3! + \dots + (n^2 + 1) \cdot n!$ का योग है:
A
$(n + 1) \cdot (n + 1)!$
B
$n \cdot (n + 1)!$
C
$(n + 1) \cdot (n + 2)!$
D
इनमें से कोई नहीं

Solution

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = (n^2 + 1) \cdot n!$ है।
हम $n^2 + 1$ को $n(n + 1) - (n - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$T_n = [n(n + 1) - (n - 1)] \cdot n! = n(n + 1) \cdot n! - (n - 1) \cdot n!$.
चूंकि $(n + 1) \cdot n! = (n + 1)!$,इसलिए $T_n = n \cdot (n + 1)! - (n - 1) \cdot n!$.
मान लीजिए $f(n) = n \cdot (n + 1)!$ है। तो $T_n = f(n) - f(n - 1)$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} [f(k) - f(k - 1)]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = f(n) - f(0)$.
$f(n) = n \cdot (n + 1)!$ और $f(0) = 0 \cdot 1! = 0$.
इसलिए,$S_n = n \cdot (n + 1)!$.
339
AdvancedMCQ
यदि $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = 80$ है,तो $n$ का संभावित मान क्या है?
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$

Solution

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.
अब,त्रिपल योगफल पर विचार करें: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} m = \sum_{p=1}^{n} \frac{p(p+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{p=1}^{n} p^2 + \sum_{p=1}^{n} p \right]$.
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{p=1}^{n} p^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{p=1}^{n} p = \frac{n(n+1)}{2}$.
अतः,त्रिपल योगफल $\frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ है।
इस प्रकार,समीकरण बनता है: $\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 80$.
यदि $n=4$ रखें: $\left[ \frac{4(5)}{2} \right]^2 - \frac{4(5)(6)}{6} = 10^2 - 20 = 100 - 20 = 80$.
अतः,$n=4$ सही मान है।
340
DifficultMCQ
यदि $a + 2b + 3c = 6$ है,तो $abc^2$ का अधिकतम मान क्या होगा? (जहाँ $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं)।
A
$\frac{9}{8}$
B
$\frac{9}{16}$
C
$\frac{27}{8}$
D
$\frac{27}{16}$

Solution

(A) दी गई शर्त $a + 2b + 3c = 6$ है,जहाँ $a, b, c > 0$ है।
हमें $abc^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है। हम व्यंजक को $a(2b)(\frac{3c}{2})(\frac{3c}{2}) = \frac{9}{4}abc^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
चार पदों $a, 2b, \frac{3c}{2}, \frac{3c}{2}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{3c}{2} \cdot \frac{3c}{2}}$
योग $a + 2b + 3c = 6$ रखने पर:
$\frac{6}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{9c^2}{4}}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{18}{4} abc^2}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{9}{2} abc^2}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(\frac{3}{2})^4 \geq \frac{9}{2} abc^2$
$\frac{81}{16} \geq \frac{9}{2} abc^2$
$abc^2 \leq \frac{81}{16} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9}{8}$.
अतः,अधिकतम मान $\frac{9}{8}$ है।
341
DifficultMCQ
यदि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ है,तो व्यंजक $\frac{\cos x}{\sin^2 x(\cos x - \sin x)}$ कौन सा मान नहीं ले सकता है?
A
$8$
B
$10$
C
$11$
D
$12$

Solution

(A) माना $f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x(\cos x - \sin x)}$.
हर को $\sin x \cdot \sin x(\cos x - \sin x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin x$ और $(\cos x - \sin x)$ पदों के लिए $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin x + (\cos x - \sin x)}{2} \geq \sqrt{\sin x(\cos x - \sin x)}$
$\Rightarrow \frac{\cos x}{2} \geq \sqrt{\sin x(\cos x - \sin x)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{\cos^2 x}{4} \geq \sin x(\cos x - \sin x)$
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \sin x(\cos x - \sin x)} \geq \frac{\cos x}{\sin x \cdot \frac{\cos^2 x}{4}} = \frac{4}{\sin x \cos x} = \frac{8}{2 \sin x \cos x} = \frac{8}{\sin 2x}$.
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,इसलिए $2x \in (0, \frac{\pi}{2})$,अतः $\sin 2x \in (0, 1)$.
इसलिए,$\frac{8}{\sin 2x} > 8$.
इसका अर्थ है कि व्यंजक $f(x)$ का मान हमेशा $8$ से अधिक होगा। अतः,यह $8$ या उससे कम का कोई मान नहीं ले सकता है।
342
AdvancedMCQ
मान लीजिए कि $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाते हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है,इस प्रकार कि $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \dots + \log_8 a_{12} = 2014$,तो पूर्णांकों के क्रमित युग्मों $(a_1, r)$ की संख्या किसके बराबर है?
A
$44$
B
$45$
C
$46$
D
$47$

Solution

(C) लघुगणक का योग दिया गया है: $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$.
चूंकि $a_n = a_1 r^{n-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{0+1+2+\dots+11} = a_1^{12} r^{66}$ है।
अतः,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014$,जिसका अर्थ है $a_1^{12} r^{66} = 8^{2014} = (2^3)^{2014} = 2^{6042}$।
मान लीजिए $a_1 = 2^m$ और $r = 2^n$ जहाँ $m, n$ पूर्णांक हैं (चूंकि श्रेणी वर्धमान है,$r > 1$,इसलिए $n \ge 1$)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(2^m)^{12} (2^n)^{66} = 2^{12m + 66n} = 2^{6042}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $12m + 66n = 6042$,जिसे सरल करने पर $2m + 11n = 1007$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{1007 - 11n}{2}$।
$m$ को पूर्णांक होने के लिए,$1007 - 11n$ को सम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ विषम होना चाहिए।
चूंकि $a_1$ और $r$ पूर्णांक हैं और श्रेणी वर्धमान है,$n \ge 1$ और $m \ge 1$।
$1007 - 11n \ge 2 \Rightarrow 11n \le 1005 \Rightarrow n \le 91.36$।
अतः,$n$ के संभावित मान: $1, 3, 5, \dots, 91$ हैं।
ऐसे मानों की कुल संख्या $\frac{91 - 1}{2} + 1 = 46$ है।
343
AdvancedMCQ
$6$ से विभाजित करने पर $4$ शेषफल देने वाली सभी दो अंकों की संख्याओं का योग क्या है?
A
$777$
B
$776$
C
$780$
D
$784$

Solution

(C) एक दो अंकों की संख्या $x$ को $6$ से विभाजित करने पर $4$ शेषफल प्राप्त होता है यदि $x = 6n + 4$ हो,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दो अंकों की संख्याओं के लिए,$10 \le 6n + 4 \le 99$ है।
$n$ के लिए हल करने पर: $6 \le 6n \le 95$,जिससे $1 \le n \le 15.83$ प्राप्त होता है।
अतः,$n$ का मान $1$ से $15$ तक के पूर्णांक हो सकते हैं।
ऐसी संख्याओं की अनुक्रम $10, 16, 22, \ldots, 94$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 94$ और पदों की संख्या $n = 15$ है।
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_{15} = \frac{15}{2}(10 + 94) = \frac{15}{2}(104) = 15 \times 52 = 780$.
344
AdvancedMCQ
$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ का मान क्या है?
A
$\frac{5}{4}$
B
$1$
C
$\frac{5}{16}$
D
$\frac{1}{4}$

Solution

(C) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ है।
यहाँ हर एक पूर्ण वर्ग है: $n^4 - 2n^2 + 1 = (n^2 - 1)^2 = (n-1)^2(n+1)^2$।
अतः,पद $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2}$ है।
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$।
अब,टेलिस्कोपिंग योग की गणना करते हैं:
$S = \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$।
योग का विस्तार करने पर:
$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) + \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) + \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2} \right) + \dots \right]$।
अधिकांश पद कट जाएंगे,केवल पहले दो धनात्मक पद शेष रहेंगे:
$S = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{5}{16}$।
345
AdvancedMCQ
मान लीजिए $E = x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} - 2017xyz$ (जहाँ $x, y, z \geq 0$),तो $E$ का न्यूनतम मान क्या है?
A
$0$
B
$-2014$
C
$-2017$
D
$2017$

Solution

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हुए,अऋण वास्तविक संख्याओं $x, y, z$ के लिए:
$\frac{x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{2014 \text{ बार}}}{2017} \geq \sqrt[2017]{x^{2017} \cdot y^{2017} \cdot z^{2017} \cdot 1^{2014}}$
$\frac{x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} + 2014}{2017} \geq xyz$
$x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} + 2014 \geq 2017xyz$
$x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} - 2017xyz \geq -2014$
अतः,$E \geq -2014$.
समानता तब प्राप्त होती है जब $x = y = z = 1$ हो।
346
AdvancedMCQ
यदि $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i \sum_{k = 1}^j 1 = 560$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$13$
B
$14$
C
$15$
D
$16$

Solution

(B) दी गई व्यंजक: $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i \sum_{k = 1}^j 1 = 560$.
सबसे पहले,आंतरिक योग की गणना करने पर: $\sum_{k = 1}^j 1 = j$.
अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i j = 560$.
इसके बाद,मध्य योग की गणना करने पर: $\sum_{j = 1}^i j = \frac{i(i + 1)}{2}$.
अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{i = 1}^n \frac{i(i + 1)}{2} = 560$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{2} [\sum_{i = 1}^n i^2 + \sum_{i = 1}^n i] = 560$.
योग के सूत्रों $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}] = 560$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} [\frac{2n+1}{3} + 1] = 560$.
$\frac{n(n+1)}{4} [\frac{2n+4}{3}] = 560$.
$\frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = 560$.
$\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 560$.
$n(n+1)(n+2) = 560 \times 6 = 3360$.
चूंकि $14 \times 15 \times 16 = 3360$,इसलिए $n = 14$ प्राप्त होता है।
347
AdvancedMCQ
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac {2}{9}$
B
$\frac {4}{9}$
C
$\frac {4}{3}$
D
$\frac {2}{3}$

Solution

(B) माना $S = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{n+k}}$ है।
हम योग को $S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n-1} k x^k = \frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(n-1)x^n}{1-x}$। $x = \frac{1}{2}$ के लिए,यह सरल होकर $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$ हो जाता है।
इस मान को $S$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \left( 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{2^n} - \frac{n+1}{2^{2n-1}} \right)$।
$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} - \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}}$।
पहला भाग एक ज्यामितीय श्रेणी है: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$।
दूसरा भाग $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}} = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{4^n} = 2 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \right)$ है।
$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ का उपयोग करते हुए,$x = 1/4$ के लिए,हमें $\frac{1/4}{(3/4)^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$ का उपयोग करते हुए,$x = 1/4$ के लिए,हमें $\frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा भाग $2 \left( \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{4+3}{9} \right) = \frac{14}{9}$ है।
अंत में,$S = 2 - \frac{14}{9} = \frac{18-14}{9} = \frac{4}{9}$।
348
MediumMCQ
$1$ से $100$ तक की प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय अंक $5$ कितनी बार आता है?
A
$20$
B
$15$
C
$16$
D
$19$

Solution

(A) $1$ से $100$ तक की संख्याओं में अंक $5$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम इकाई के स्थान और दहाई के स्थान में इसकी गणना करते हैं।
$1$. इकाई के स्थान पर: अंक $5$ इन संख्याओं में आता है: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$। ऐसी कुल $10$ संख्याएँ हैं।
$2$. दहाई के स्थान पर: अंक $5$ इन संख्याओं में आता है: $50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59$। ऐसी कुल $10$ संख्याएँ हैं।
ध्यान दें कि संख्या $55$ को दोनों सूचियों में गिना गया है क्योंकि इसमें इकाई और दहाई दोनों स्थानों पर $5$ है।
कुल गणना = (इकाई के स्थान पर गणना) + (दहाई के स्थान पर गणना) = $10 + 10 = 20$।
अतः,अंक $5$ कुल $20$ बार आता है।
349
AdvancedMCQ
यदि समीकरण $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ के मूल $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में हैं,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0$
B
$20$
C
$21$
D
$23$

Solution

(D) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
बहुपद समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $x^2$ के गुणांक को ऋणात्मक चिह्न के साथ लेने पर प्राप्त होता है।
$(a - d) + a + (a + d) = -(-9) / 1 = 9$.
$3a = 9$,जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = 3$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
$(3)^3 - 9(3)^2 + \alpha(3) - 15 = 0$.
$27 - 81 + 3\alpha - 15 = 0$.
$-54 + 3\alpha - 15 = 0$.
$3\alpha - 69 = 0$.
$3\alpha = 69$.
$\alpha = 23$.
350
AdvancedMCQ
व्यंजक $3(1!) - 4(2!) + 5(3!) - 6(4!) + \dots - 2008(2006)! + (2007)!$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-2007$
B
$-1$
C
$1$
D
$2007$

Solution

(C) माना श्रेणी का सामान्य पद $T_n = (-1)^{n-1} (n+2)n!$ है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_n = (-1)^{n-1} ((n+1) + 1)n! = (-1)^{n-1} ((n+1)! + n!)$।
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$S = (2! + 1!) - (3! + 2!) + (4! + 3!) - (5! + 4!) + \dots - (2007! + 2006!) + 2007!$।
योग की टेलीस्कोपिंग प्रकृति को देखने पर:
$S = 2! + 1! - 3! - 2! + 4! + 3! - 5! - 4! + \dots - 2007! - 2006! + 2007!$।
$1!$ को छोड़कर सभी पद कट जाते हैं।
$S = 1! = 1$।

Progression and Sequence — Progression and Sequence · Frequently Asked Questions

1Are these Progression and Sequence questions useful for JEE and NEET?

Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.

2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?

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