यदि x, y, z समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं और t | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,अतः $2y = x + z$ ....$(1)$.साथ ही,$	an^{-1} x, 	an^{-1} y, 	an^{-1} z$ समांतर श्रेणी मे

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$x = y = z$

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(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,अतः $2y = x + z$ ....$(1)$.साथ ही,$	an^{-1} x, 	an^{-1} y, 	an^{-1} z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2 	an^{-1} y = 	an^{-1} x + 	an^{-1} z$.सूत्र $	an^{-1} a + 	an^{-1} b = 	an^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} ight)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} ight)$.दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर: $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.$(1)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.इसका अर्थ है कि $2y = 0$ या $\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{1-xz}$.यदि $2y = 0$,तो $y = 0$,जिसका अर्थ है $x+z = 0$,अतः $z = -x$. यह $A.P.$ की शर्त को संतुष्ट करता है $(x, 0, -x)$.यदि $1-y^2 = 1-xz$,तो $y^2 = xz$. चूँकि $x, y, z$ समांतर श्रेणी और गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ दोनों में हैं,इसलिए उन्हें समान होना चाहिए,अर्थात $x = y = z$।

यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ भी एक अन्य समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो:

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