यदि श्रेणी {left( {1frac{3}{5}} right)^2} + { | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी ${\left( \frac{8}{5} \right)^2} + {\left( \frac{12}{5} \right)^2} + {\left( \frac{16}{5} \right)^2} + {\left( \frac{20}{5} \right)^2}

Vedclass · Accepted Answer

$101$

Vedclass · Answer

(D) दी गई श्रेणी ${\left( \frac{8}{5} ight)^2} + {\left( \frac{12}{5} ight)^2} + {\left( \frac{16}{5} ight)^2} + {\left( \frac{20}{5} ight)^2} + \dots$ है,जिसमें $10$ पद हैं।इसे $\frac{1}{25} [8^2 + 12^2 + 16^2 + 20^2 + \dots + (4(n+1))^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n=1$ से $10$ तक है।$n$-वाँ पद $T_n = {\left( \frac{4(n+1)}{5} ight)^2} = \frac{16}{25} (n^2 + 2n + 1)$ है।$10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n^2 + 2n + 1)$ होगा।सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करने पर:$S_{10} = \frac{16}{25} [\frac{10(11)(21)}{6} + 2 \cdot \frac{10(11)}{2} + 10] = \frac{16}{25} [385 + 110 + 10] = \frac{16}{25} [505]$।दिया गया है कि $S_{10} = \frac{16}{5} m$,इसलिए $\frac{16}{25} 	imes 505 = \frac{16}{5} m$।दोनों पक्षों को $\frac{16}{5}$ से विभाजित करने पर,$m = \frac{505}{5} = 101$ प्राप्त होता है।

यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{16}{5}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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