Progression and Sequence Questions in Hindi

(B) $A.P.$ में, शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है।
दिया गया है कि $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 147$ है।
इस अनुक्रम में $6$ पद हैं। हम उन्हें $(a_1 + a_{16}) + (a_4 + a_{13}) + (a_7 + a_{10}) = 147$ के रूप में जोड़ सकते हैं।
चूंकि $a_1 + a_{16} = a_4 + a_{13} = a_7 + a_{10} = \lambda$ है, इसलिए $3\lambda = 147$, जिससे $\lambda = 49$ प्राप्त होता है।
अब, हमें $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ का मान ज्ञात करना है।
इन पदों को जोड़ने पर, हमें $S = (a_1 + a_{16}) + (a_6 + a_{11})$ प्राप्त होता है।
$A.P.$ में समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होने के कारण, $a_1 + a_{16} = a_6 + a_{11} = \lambda = 49$ है।
अतः, $S = 49 + 49 = 98$।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx} = K$ है।
योगान्तर अनुपात (Componendo and Dividendo) के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\frac{(a+bx) + (a-bx)}{(a+bx) - (a-bx)} = \frac{2a}{2bx} = \frac{a}{bx}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,अन्य पदों के लिए,हमें $\frac{a}{bx} = \frac{b}{cx} = \frac{c}{dx}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \ne 0$,हम हर से $x$ को हटा सकते हैं: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$।
यह दर्शाता है कि क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है,जो कि गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ की परिभाषा है।
अतः,$a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) दो $A.P.$ के $n$ पदों के योग का अनुपात $\frac{s_n}{S_n} = \frac{3n - 13}{7n + 13}$ दिया गया है।
मान लीजिए $s_n = k(3n^2 - 13n)$ और $S_n = k(7n^2 + 13n)$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
हमें $\frac{s_n}{S_{2n}}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$S_n$ के व्यंजक में $n$ के स्थान पर $2n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{2n} = k(7(2n)^2 + 13(2n)) = k(7(4n^2) + 26n) = k(28n^2 + 26n)$।
अब,अनुपात $\frac{s_n}{S_{2n}} = \frac{k(3n^2 - 13n)}{k(28n^2 + 26n)} = \frac{3n^2 - 13n}{28n^2 + 26n} = \frac{n(3n - 13)}{n(28n + 26)} = \frac{3n - 13}{28n + 26}$।

(A) माना $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$
$\frac{1}{7}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{7} = \frac{1^2}{7^1} + \frac{2^2}{7^2} + \frac{3^2}{7^3} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{S}{7} = 1 + \frac{2^2 - 1^2}{7^1} + \frac{3^2 - 2^2}{7^2} + \frac{4^2 - 3^2}{7^3} + \dots$
$\frac{6S}{7} = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है। माना $T = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$
$\frac{T}{7} = \frac{1}{7} + \frac{3}{7^2} + \frac{5}{7^3} + \dots$
घटाने पर:
$T - \frac{T}{7} = 1 + \frac{2}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \dots$
$\frac{6T}{7} = 1 + \frac{2/7}{1 - 1/7} = 1 + \frac{2/7}{6/7} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$T = \frac{4}{3} \times \frac{7}{6} = \frac{14}{9}$
चूंकि $\frac{6S}{7} = T$,इसलिए $\frac{6S}{7} = \frac{14}{9} \Rightarrow S = \frac{14}{9} \times \frac{7}{6} = \frac{98}{54} = \frac{49}{27}$.

(B) माना $n = 2015$. श्रेणी का सामान्य पद $T_k = k(n - k + 1)$ है,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n$.
हमें योग $S = \sum_{k=1}^{n} k(n - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (nk - k^2 + k) = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$ ज्ञात करना है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को कॉमन लेने पर:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [3(n+1) - (2n+1)] = \frac{n(n+1)}{6} [3n + 3 - 2n - 1] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
$n = 2015$ रखने पर:
$S = \frac{2015 \times 2016 \times 2017}{6} = 2015 \times 336 \times 2017$.
अतः,सही उत्तर $336 \times 2015 \times 2017$ है।

(B) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $3^a, 3^b, 3^c$ हैं जहाँ $1 \le a < b < c \le 20$ है।
इनके $G.P.$ में होने के लिए शर्त $(3^b)^2 = 3^a \cdot 3^c$ है, जिसका अर्थ है $2b = a + c$।
इसका मतलब है कि $a + c$ एक सम संख्या होनी चाहिए, जो तब होता है जब $a$ और $c$ दोनों विषम हों या दोनों सम हों।
स्थिति $1$: $a$ और $c$ दोनों विषम हैं। समुच्चय ${1, 2, \dots, 20}$ में $10$ विषम संख्याएँ हैं। हम $a$ और $c$ के लिए $2$ अलग-अलग विषम संख्याएँ $^{10}C_2$ तरीकों से चुन सकते हैं। एक बार $a$ और $c$ चुने जाने के बाद, $b$ का मान $(a+c)/2$ के रूप में अद्वितीय रूप से निर्धारित हो जाता है।
तरीकों की संख्या $= ^{10}C_2 = 45$।
स्थिति $2$: $a$ और $c$ दोनों सम हैं। समुच्चय में $10$ सम संख्याएँ हैं। हम $a$ और $c$ के लिए $2$ अलग-अलग सम संख्याएँ $^{10}C_2$ तरीकों से चुन सकते हैं। एक बार $a$ और $c$ चुने जाने के बाद, $b$ का मान $(a+c)/2$ के रूप में अद्वितीय रूप से निर्धारित हो जाता है।
तरीकों की संख्या $= ^{10}C_2 = 45$।
कुल तरीके $= 45 + 45 = 90$।

(A) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + ..........\infty$ है।
हम पदों को $S = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + ..........\infty)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2S = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + ..........\infty)$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि हर त्रिकोणीय संख्याएँ $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ हैं। अतः,अंदर की श्रेणी $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2 \sum_{n=2}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $2 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ..........] = 2 (\frac{1}{2}) = 1$।
इसलिए,$2S = \frac{2}{3} (1)$,जिससे $S = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि पद $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$ और $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ $A.P.$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \log _{5}(2^{x}-3) = \log _{5} 2 + \log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$.
लघुगणक के नियम $\log m + \log n = \log(mn)$ का उपयोग करने पर: $\log _{5}(2^{x}-3)^{2} = \log _{5}(2 \cdot (\frac{17}{2}+2^{x-1}))$.
लघुगणक हटाने पर: $(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2 \cdot 2^{x-1}$.
चूंकि $2 \cdot 2^{x-1} = 2^{x}$,समीकरण इस प्रकार होगा: $(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2^{x}$.
मान लीजिए $2^{x} = y$. तो $(y-3)^{2} = 17 + y$.
$y^{2} - 6y + 9 = 17 + y \Rightarrow y^{2} - 7y - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y-8)(y+1) = 0$.
अतः,$y = 8$ या $y = -1$.
चूंकि $y = 2^{x}$,$2^{x} = 8$ से $x = 3$ प्राप्त होता है। $2^{x} = -1$ वास्तविक $x$ के लिए संभव नहीं है।
अतः,$x = 3$।

(D) क्रमिक समूहों में पदों की संख्या $1, 2, 3, \dots, n$ है। अतः,$n$ वें समूह में $d = 2$ के सार्व अंतर के साथ $n$ पद समांतर श्रेणी में हैं।
सबसे पहले,हम $n$ वें समूह का प्रथम पद ज्ञात करते हैं। समूहों के प्रथम पद $1, 3, 7, 13, \dots$ हैं। मान लीजिए $a_n$,$n$ वें समूह का प्रथम पद है। क्रमिक प्रथम पदों के बीच का अंतर $2, 4, 6, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k) = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$.
$n$ वां समूह $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = n^2 - n + 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
$n$ वें समूह का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।
$S_n = \frac{n}{2} [2(n^2 - n + 1) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2n^2] = n^3$.

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) के अनुसार,$\frac{a+b+c+d}{4} \geq (abcd)^{1/4}$ होता है।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,$\frac{(a+b+c+d)^4}{256} \geq abcd$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(a+b+c+d)^4 \leq 256 abcd$ है।
दी गई शर्त $256 abcd \geq (a+b+c+d)^4$ है,जो $AM$-$GM$ असमिका का विपरीत है।
समानता तभी संभव है जब $a = b = c = d$ हो।
दिए गए समीकरण $3a + b + 2c + 5d = 11$ में $a = b = c = d = k$ रखने पर,$3k + k + 2k + 5k = 11$ प्राप्त होता है,जिसे हल करने पर $11k = 11$ अर्थात $k = 1$ मिलता है।
अतः,$a = b = c = d = 1$ है।
अब $a^3 + b + c^2 + 5d$ में इन मानों को रखने पर,$1^3 + 1 + 1^2 + 5(1) = 1 + 1 + 1 + 5 = 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया योग $S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ है।
यहाँ $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ होता है।
अतः,$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 2)^2 (r + 1)!}$।
हम $(r + 2)^2$ को $(r + 2)(r + 3 - 1) = (r + 2)(r + 3) - (r + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 2)(r + 3)(r + 1)! - (r + 2)(r + 1)!}$।
चूँकि $(r + 3)(r + 2)(r + 1)! = (r + 3)!$ और $(r + 2)(r + 1)! = (r + 2)!$,इसलिए:
$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 3)! - (r + 2)!}$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = [(3! - 2!) + (4! - 3!) + (5! - 4!) + ... + (103! - 102!)]$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे $S = 103! - 2! = 103! - 2$ प्राप्त होगा।

(C) दिया गया है कि ${x_r} = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.
हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।
सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta_1 - i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 - i\sin \theta_2) = \cos(\theta_1 + \theta_2) - i\sin(\theta_1 + \theta_2)$.
अतः,$P = \cos(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{\pi}{3^r}) - i\sin(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{\pi}{3^r})$.
यहाँ कोण में दिया गया योग एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{27} + \cdots$.
यहाँ प्रथम पद $a = \pi/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{\pi/3}{1 - 1/3} = \frac{\pi/3}{2/3} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इसलिए,$P = \cos(\pi/2) - i\sin(\pi/2) = 0 - i(1) = -i$.

(A) मान लीजिए $S_n = x_n + y_n + z_n + w_n$ है। चूंकि समांतर श्रेणियों का योग भी एक समांतर श्रेणी होता है, इसलिए मान लीजिए $S_n = A + (n-1)D$ है।
दिया गया है $S_4 = A + 3D = 8$ और $S_{10} = A + 9D = 20$ है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(A + 9D) - (A + 3D) = 20 - 8 \Rightarrow 6D = 12 \Rightarrow D = 2$ प्राप्त होता है।
$A + 3D = 8$ में $D = 2$ रखने पर, हमें $A + 6 = 8 \Rightarrow A = 2$ प्राप्त होता है।
अब, $S_{20} = A + 19D = 2 + 19(2) = 2 + 38 = 40$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार, धनात्मक पदों $x_{20}, y_{20}, z_{20}, w_{20}$ के लिए:
$\frac{x_{20} + y_{20} + z_{20} + w_{20}}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।
$\frac{40}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4} \Rightarrow 10 \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर, हमें $10^4 \geq x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20}$ प्राप्त होता है।
अतः, अधिकतम मान $10^4$ है।

(D) यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।
दिए गए पद $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ हैं।
शर्त लागू करने पर: $2 \log _{10} (2^x - 1) = \log _{10} 2 + \log _{10} (2^x + 3)$.
लघुगणक के गुणों $\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{10} (2^x - 1)^2 = \log _{10} [2(2^x + 3)]$.
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:
$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$.
माना $2^x = y$. तब $(y - 1)^2 = 2(y + 3)$.
$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$.
$y^2 - 4y - 5 = 0$.
$(y - 5)(y + 1) = 0$.
अतः,$y = 5$ या $y = -1$.
चूंकि $y = 2^x$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $y = 5$.
$2^x = 5 \Rightarrow x = \log _{2} 5$.

(C) माना कि दो संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
गुणोत्तर माध्य $GM = \sqrt{x_1 x_2} = 18$,अतः $x_1 x_2 = 18^2 = 324$ है।
हरात्मक माध्य $HM = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2} = 16\frac{8}{13} = \frac{216}{13}$ है।
$HM$ के सूत्र में $x_1 x_2 = 324$ रखने पर: $\frac{2(324)}{x_1 + x_2} = \frac{216}{13}$।
$x_1 + x_2 = \frac{648 \times 13}{216} = 3 \times 13 = 39$।
अब,हम जानते हैं कि $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$।
$(x_1 - x_2)^2 = (39)^2 - 4(324) = 1521 - 1296 = 225$।
अतः,$|x_1 - x_2| = \sqrt{225} = 15$।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^\circ$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोण $G.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^\circ$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है,इसलिए $n$ पदों का योग $S_n = a(r^n - 1) / (r - 1)$ होगा।
मान रखने पर: $S_n = 120(2^n - 1) / (2 - 1) = 120(2^n - 1)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $120(2^n - 1) = (n - 2) \times 180$.
दोनों पक्षों को $60$ से विभाजित करने पर: $2(2^n - 1) = 3(n - 2)$.
$2^{n+1} - 2 = 3n - 6$,जिसे सरल करने पर $2^{n+1} + 4 = 3n$ प्राप्त होता है।
$n=3$ के लिए,$2^4 + 4 = 20$ और $3(3) = 9$ $(20 \neq 9)$.
$n=4$ के लिए,$2^5 + 4 = 36$ और $3(4) = 12$ $(36 \neq 12)$.
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$2^{n+1}$,$3n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। अतः,$n \ge 3$ के लिए कोई पूर्णांक हल संभव नहीं है।

(C) दिया गया है कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = 2a + 4c$,जो सरल होकर $b = a + 2c$ देता है।
दिया गया है कि $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $a^2 = bc$ है।
दूसरे समीकरण में $b = a + 2c$ रखने पर: $a^2 = (a + 2c)c = ac + 2c^2$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $a^2 - ac - 2c^2 = 0$ मिलता है।
गुणनखंड करने पर: $(a - 2c)(a + c) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, c \in \mathbb{R}^+$,इसलिए $a = 2c$ होगा।
अब विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: अनुक्रम $c, a, a + 2c$ है। $a = 2c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c, 2c, 4c$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $2$ है।
अतः,$c, a, a + 2c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(A) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3 > 0$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$
$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3b$
$x_1x_2x_3 = 8$
पदों $x_1x_2, x_2x_3, x_3x_1$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1}{3} \geq \sqrt[3]{(x_1x_2)(x_2x_3)(x_3x_1)}$
$\frac{3b}{3} \geq \sqrt[3]{(x_1x_2x_3)^2}$
$b \geq \sqrt[3]{8^2}$
$b \geq \sqrt[3]{64}$
$b \geq 4$
अतः,$b$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(D) यदि $x, y, z \in R^+$ और $x + y + z = 4$ दिया गया है,तो $xyz^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करेंगे।
हम गुणनफल $x \cdot y \cdot (z/2) \cdot (z/2)$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है:
$\frac{x + y + z/2 + z/2}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot (z/2) \cdot (z/2)}$
दिया गया योग $x + y + z = 4$ रखने पर:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
अतः,$xyz^2$ का अधिकतम संभव मान $4$ है।

(A) माना सामान्य पद $a_n = \frac{6\sum_{i=0}^n i + 1}{6\sum_{j=0}^n (j-1) + 1}$ है।
योगफल सूत्रों $\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{j=0}^n (j-1) = \frac{n(n+1)}{2} - (n+1) = \frac{(n+1)(n-2)}{2}$ का उपयोग करने पर।
अंश $6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 1 = 3n^2 + 3n + 1$ है।
हर $6 \cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} + 1 = 3n^2 - 3n + 1$ है।
अतः पद $\frac{3n^2+3n+1}{3n^2-3n+1}$ बनता है।
$n=1$ के लिए: $\frac{7}{1}$,$n=2$ के लिए: $\frac{19}{7}$,$n=3$ के लिए: $\frac{37}{19}$।
यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है: $\prod_{n=1}^{10} \frac{f(n)}{f(n-1)}$ जहाँ $f(n) = 3n^2+3n+1$ है।
गुणनफल $\frac{f(10)}{f(0)} = \frac{331}{1} = 331$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण $x^8 - kx^2 + 3 = 0$ को $k = \frac{x^8 + 3}{x^2} = x^6 + \frac{3}{x^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$k$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
हम पद $\frac{3}{x^2}$ को तीन समान भागों में विभाजित करते हैं: $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}$।
अतः,$k = x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}$।
इन चार धनात्मक पदों के लिए $AM \geq GM$ लागू करने पर:
$\frac{x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{4} \geq \sqrt[4]{x^6 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2}} = \sqrt[4]{1} = 1$।
इसलिए,$x^6 + \frac{3}{x^2} \geq 4$।
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) चूंकि $2a+b, a-b, a+3b$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
$(a-b)^2 = (2a+b)(a+3b)$
$a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 6ab + ab + 3b^2$
$a^2 + 9ab + 2b^2 = 0$
$a^2$ से भाग देने पर $(a \neq 0)$:
$2(\frac{b}{a})^2 + 9(\frac{b}{a}) + 1 = 0$
मान लीजिए $x = \frac{b}{a}$. तब $2x^2 + 9x + 1 = 0$. इसके मूल $x_1 = \frac{b_1}{a_1}$ और $x_2 = \frac{b_2}{a_2}$ हैं।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} = -\frac{9}{2}$ और मूलों का गुणनफल $\frac{b_1b_2}{a_1a_2} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक को $a_1a_2$ से भाग देने पर: $2(\frac{b_2}{a_2} + \frac{b_1}{a_1}) + 9 = 2(-\frac{9}{2}) + 9 = -9 + 9 = 0$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{4}{3}$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{x}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ होना आवश्यक है।
मान रखने पर,$x = \frac{4/3}{1 - (-x/3)} = \frac{4/3}{1 + x/3} = \frac{4}{3+x}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $x(3+x) = 4$,अर्थात $x^2 + 3x - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $(x+4)(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$ या $x = -4$ है।
अनंत श्रेणी के अभिसरण के लिए $|r| < 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|-x/3| < 1$,या $|x| < 3$।
चूंकि $|-4| = 4 > 3$ है,इसलिए $x = -4$ मान्य नहीं है। अतः,$x = 1$ ही सही उत्तर है।

(B) दिया गया है $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$.
माना $f(n) = 2n^2 + n + 1$. तब $f(n-1) = 2(n-1)^2 + (n-1) + 1 = 2n^2 - 3n + 2$.
अतः,$\prod_{i=1}^r x_i = \frac{f(1)}{f(0)} \cdot \frac{f(2)}{f(1)} \cdots \frac{f(r)}{f(r-1)} = \frac{f(r)}{f(0)}$.
यहाँ $f(0) = 2(0)^2 + 0 + 1 = 1$. इसलिए $\prod_{i=1}^r x_i = 2r^2 + r + 1$.
साथ ही,$\sum_{i=1}^r (2i - 1) = r^2$ होता है।
अतः,व्यंजक $\sum_{r=1}^n [(2r^2 + r + 1) - 2(r^2)] = \sum_{r=1}^n (r + 1)$ बन जाता है।
$= \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n^2 + n + 2n}{2} = \frac{n(n+3)}{2}$.

(C) माना $z = \left(\frac{3}{a}-1\right)^{2}+\left(\frac{a}{b}-1\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}-1\right)^{2}+(3 c-1)^{2}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब सभी पद समान हों।
माना $\frac{3}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = 3c = k$.
अतः $3c = k \implies c = k/3$.
$b/c = k \implies b = kc = k^2/3$.
$a/b = k \implies a = kb = k^3/3$.
$3/a = k \implies 3 = ak = k^4/3 \implies k^4 = 9 \implies k = \sqrt{3}$.
इस मान को $z$ में रखने पर: $z = 4(\sqrt{3}-1)^2 = 4(3 + 1 - 2\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3}$.
$p - q\sqrt{r}$ से तुलना करने पर,$p = 16, q = 8, r = 3$.
यहाँ $q=8$ और $r=3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

(D) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n > 1$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 15 = 3 + 4 + 15 = 22$.
$n=3$ के लिए,$T_3 = S_3 - S_2$ है।
$S_3 = 3(3)^2 + 4(3) + 15 = 3(9) + 12 + 15 = 27 + 12 + 15 = 54$.
$S_2 = 3(2)^2 + 4(2) + 15 = 3(4) + 8 + 15 = 12 + 8 + 15 = 35$.
अतः,$T_3 = 54 - 35 = 19$.
अंत में,$T_3 - T_1 = 19 - 22 = -3$।

(C) दिया गया है कि $a, a + 2b, 2a + b$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2(a + 2b) = a + (2a + b)$
$2a + 4b = 3a + b$
$a = 3b$ --- $(1)$
साथ ही,$(b + 1)^2, ab + 5, (a + 1)^2$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(ab + 5)^2 = (b + 1)^2(a + 1)^2$ --- $(2)$
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3b^2 + 5)^2 = (b + 1)^2(3b + 1)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$3b^2 + 5 = \pm(b + 1)(3b + 1)$
स्थिति $1$: $3b^2 + 5 = (b + 1)(3b + 1)$
$3b^2 + 5 = 3b^2 + 4b + 1$
$4b = 4 \Rightarrow b = 1$
चूंकि $a = 3b$,इसलिए $a = 3(1) = 3$.
अतः,$a + b = 3 + 1 = 4$.
स्थिति $2$: $3b^2 + 5 = -(b + 1)(3b + 1)$
$3b^2 + 5 = -(3b^2 + 4b + 1)$
$6b^2 + 4b + 6 = 0$
$3b^2 + 2b + 3 = 0$
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(3)(3) = 4 - 36 = -32 < 0$.
चूंकि $D < 0$,इस स्थिति में $b$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $a = 3, b = 1$ है,और $a + b = 4$ है।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!}$ है,जहाँ $n = 1, 2, \dots, 2006$ है।
$T_n = \frac{n+2}{n! [1 + (n+1) + (n+2)(n+1)]}$
$T_n = \frac{n+2}{n! [n+2 + (n+2)(n+1)]} = \frac{n+2}{n! (n+2) [1 + n+1]} = \frac{n+2}{n! (n+2) (n+2)} = \frac{1}{n! (n+2)}$
$T_n = \frac{n+1}{n! (n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{n+2-1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}$
योगफल $S = \sum_{n=1}^{2006} \left( \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} \right)$
$S = \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2007!} - \frac{1}{2008!} \right)$
$S = \frac{1}{2!} - \frac{1}{2008!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2008!} = \frac{2008! - 2}{2 \cdot 2008!}$

(D) दिया गया है कि $\ln(a+c), \ln(c-a), \ln(a-2b+c)$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,यदि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं,तो $2y = x + z$ होता है। अतः:
$2 \ln(c-a) = \ln(a+c) + \ln(a-2b+c)$
लघुगणक के गुणधर्म $\ln(m) + \ln(n) = \ln(mn)$ और $n \ln(m) = \ln(m^n)$ का उपयोग करने पर:
$\ln((c-a)^2) = \ln((a+c)(a-2b+c))$
दोनों पक्षों का घातांकीय लेने पर:
$(c-a)^2 = (a+c)(a-2b+c)$
$c^2 - 2ac + a^2 = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$
$c^2 - 2ac + a^2 = a^2 - 2ab + 2ac - 2bc + c^2$
दोनों पक्षों से $a^2 + c^2$ घटाने पर:
$-2ac = -2ab + 2ac - 2bc$
$2ab + 2bc = 4ac$
$ab + bc = 2ac$
$b(a+c) = 2ac$
$b = \frac{2ac}{a+c}$
यह $a, b, c$ के $H.P.$ (हरात्मक श्रेणी) में होने की शर्त है।

(D) माना समीकरण के मूल $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ हैं।
मूलों का योग: $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 40$.
व्युत्क्रमों का योग: $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 10$.
इसे $\frac{1}{a} (r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2}) = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलों का योग $\frac{a}{r^2} (1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = 40$ है।
दोनों का भाग करने पर: $\frac{a(1+r+r^2+r^3+r^4)}{(1/a)(1+r+r^2+r^3+r^4)/r^2} = \frac{40}{10} = 4$.
इससे $a^2 r^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $ar = \pm 2$.
मूलों का गुणनफल $s = (\frac{a}{r^2})(\frac{a}{r})(a)(ar)(ar^2) = a^5$ है।
यहाँ $a$ मध्य पद है,इसलिए $a(1 + (r + \frac{1}{r}) + (r^2 + \frac{1}{r^2})) = 40$.
$ar = \pm 2$ का उपयोग करने पर,$a = 2$ या $a = -2$ प्राप्त होता है।
यदि $a = 2$ है,तो $s = a^5 = 2^5 = 32$. यदि $a = -2$ है,तो $s = (-2)^5 = -32$.
अतः,$|s| = 32$.

(D) हमें दिया गया है $x + y + z = 4$,जहाँ $x, y, z > 0$ है। हमें $xyz^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
चार धनात्मक संख्याओं $x, y, z/2, z/2$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x + y + z/2 + z/2}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2}}$
$x + y + z = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(B) चूंकि $a, b, c$ $GP$ में हैं,हमारे पास $b^2 = ac$ है .....$(1)$
चूंकि $4a, 5b, 4c$ $AP$ में हैं,मध्य पद अन्य दो का औसत होता है:
$2(5b) = 4a + 4c$
$10b = 4(a + c)$
$a + c = \frac{5b}{2}$ .....$(2)$
हमें $a + b + c = 70$ दिया गया है। इसमें $(2)$ का मान रखने पर:
$\frac{5b}{2} + b = 70$
$\frac{7b}{2} = 70$
$b = 20$
अब,$b = 20$ को $(2)$ में रखने पर:
$a + c = \frac{5(20)}{2} = 50$
$(1)$ से,$ac = b^2 = 20^2 = 400$ है।
हमारे पास $a + c = 50$ और $ac = 400$ है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - 50x + 400 = 0$ के मूल हैं:
$(x - 40)(x - 10) = 0$
अतः,${a, c} = {10, 40}$ है।
अंत में,$a^3 + b^3 + c^3$ की गणना करने पर:
$a^3 + b^3 + c^3 = 10^3 + 20^3 + 40^3$
$= 1000 + 8000 + 64000$
$= 73000$.

(B) हम जानते हैं कि $1 + \omega^r + \omega^{2r}$ इकाई के घनमूलों के गुणों पर आधारित है।
किसी भी पूर्णांक $r$ के लिए,व्यंजक $1 + \omega^r + \omega^{2r}$ निम्नलिखित गुण का पालन करता है:
$1 + \omega^r + \omega^{2r} = \begin{cases} 3, & \text{यदि } r, 3 \text{ का गुणज है} \\ 0, & \text{यदि } r, 3 \text{ का गुणज नहीं है} \end{cases}$
दिए गए योग $\sum_{r=1}^5 (1 + \omega^r + \omega^{2r})$ में,हम $r = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए मान निकालते हैं:
$r=1$ के लिए: $1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=2$ के लिए: $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
$r=3$ के लिए: $1 + \omega^3 + \omega^6 = 1 + 1 + 1 = 3$
$r=4$ के लिए: $1 + \omega^4 + \omega^8 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=5$ के लिए: $1 + \omega^5 + \omega^{10} = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
इन मानों का योग करने पर: $0 + 0 + 3 + 0 + 0 = 3$।

(A) मान लीजिए $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है। अतः प्रत्येक $n$ के लिए $S_{n+1} - S_n = d$ है।
दिया गया योग $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{S_n S_{n+1}} = \frac{1}{d} \sum_{n=1}^{100} (\frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n+1}}) = \frac{1}{d} (\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{101}}) = \frac{1}{d} (\frac{S_{101} - S_1}{S_1 S_{101}}) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि $S_{101} = S_1 + 100d$, इसलिए $S_{101} - S_1 = 100d$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{d} (\frac{100d}{S_1 S_{101}}) = \frac{100}{S_1 S_{101}} = \frac{1}{6}$, जिससे $S_1 S_{101} = 600$ प्राप्त होता है।
हमें $S_1 + S_{101} = 50$ दिया गया है।
मान लीजिए $x = S_1$ और $y = S_{101}$ है। तो $x + y = 50$ और $xy = 600$ है।
अंतर $|x - y| = \sqrt{(x+y)^2 - 4xy} = \sqrt{50^2 - 4(600)} = \sqrt{2500 - 2400} = \sqrt{100} = 10$ प्राप्त होता है।

(B) पहली श्रेणी $2, 5, 8, \dots$ है जिसमें $50$ पद हैं।
$n$-वाँ पद $a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$ है। $50$-वाँ पद $3(50) - 1 = 149$ है।
दूसरी श्रेणी $3, 5, 7, 9, \dots$ है जिसमें $60$ पद हैं।
$n$-वाँ पद $b_n = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$ है। $60$-वाँ पद $2(60) + 1 = 121$ है।
उभयनिष्ठ पदों के लिए $3n - 1 = 2m + 1$ होना चाहिए,जो $3n = 2m + 2$ या $3n = 2(m+1)$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $n$ एक सम संख्या होनी चाहिए। मान लीजिए $n = 2k$ है। तो $3(2k) = 2(m+1) \Rightarrow m = 3k - 1$।
उभयनिष्ठ पद $5$ से शुरू होने वाली एक समांतर श्रेणी बनाते हैं (जहाँ $n=2, m=1$) और इसका सार्व अंतर $6$ ($3$ और $2$ का ल.स.प.) है।
उभयनिष्ठ श्रेणी $5, 11, 17, \dots, T_k$ है।
हमें $T_k \leq 121$ (दूसरी श्रेणी की सीमा) की आवश्यकता है।
$5 + (k-1)6 \leq 121 \Rightarrow 6k - 1 \leq 121 \Rightarrow 6k \leq 122 \Rightarrow k \leq 20.33$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए अधिकतम मान $k = 20$ है।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = r \cdot \frac{^nC_r}{^nC_{r-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करते हुए,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T_r = r \cdot \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = n - r + 1$.
अब,हम $r=1$ से $n$ तक के पदों का योग करते हैं:
$S_n = \sum_{r=1}^n (n - r + 1)$.
योग का विस्तार करने पर:
$S_n = (n+1) + n + (n-1) + \dots + 1$.
यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

(D) हम देखते हैं कि अंश $3k^2 + 3k + 1$ को $(k+1)^3 - k^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \frac{(k+1)^3 - k^3}{k^3(k+1)^3}$ है।
इसे सरल करने पर $T_k = \frac{(k+1)^3}{k^3(k+1)^3} - \frac{k^3}{k^3(k+1)^3} = \frac{1}{k^3} - \frac{1}{(k+1)^3}$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
योग $S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k^3} - \frac{1}{(k+1)^3} \right) = \left( \frac{1}{1^3} - \frac{1}{2^3} \right) + \left( \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right)$ है।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)^3}$ शेष रहता है।
जब $n \to \infty$ लेते हैं,तो $S = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^3} \right) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए प्रथम पद $b_1$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है $b_1 + b_2 = 1$,अतः $b_1 + b_1 r = 1$,जिसका अर्थ है $b_1(1 + r) = 1$,इसलिए $b_1 = \frac{1}{1 + r}$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{b_1}{1 - r} = 2$ होता है।
$b_1 = \frac{1}{1 + r}$ को योग के सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{(1 + r)(1 - r)} = 2$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{1 - r^2} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - r^2 = \frac{1}{2}$,इसलिए $r^2 = \frac{1}{2}$,यानी $r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$।
चूंकि $b_2 = b_1 r < 0$ और $b_1 = \frac{1}{1 + r}$,यदि $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ लेते हैं,तो $b_1 = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है। तब $b_2 = (2 - \sqrt{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - 1 > 0$ होता है,जो $b_2 < 0$ की शर्त का खंडन करता है।
यदि $r = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ लेते हैं,तो $b_1 = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
तब $b_2 = b_1 r = (2 + \sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - 1 < 0$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,$b_1 = 2 + \sqrt{2}$।

(A) माना $50, a_1, a_2, \dots, a_n, 100$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
सार्व अंतर $d = \frac{100 - 50}{n + 1} = \frac{50}{n + 1}$ है।
तब $a_2 = 50 + 2d = 50 + \frac{100}{n + 1} = \frac{50n + 50 + 100}{n + 1} = \frac{50(n + 3)}{n + 1}$ है।
माना $50, h_1, h_2, \dots, h_n, 100$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
तब $\frac{1}{50}, \frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}, \frac{1}{100}$ समांतर श्रेणी में होंगे।
सार्व अंतर $d' = \frac{\frac{1}{100} - \frac{1}{50}}{n + 1} = \frac{-1}{100(n + 1)}$ है।
$(n-1)$-वां हरात्मक माध्य $h_{n-1}$ व्युत्क्रमों की समांतर श्रेणी के $(n-1+1)$-वें पद यानी $n$-वें पद के अनुरूप है।
$\frac{1}{h_{n-1}} = \frac{1}{50} + (n-1)d' = \frac{1}{50} - \frac{n-1}{100(n + 1)} = \frac{2(n + 1) - (n - 1)}{100(n + 1)} = \frac{2n + 2 - n + 1}{100(n + 1)} = \frac{n + 3}{100(n + 1)}$ है।
अतः,$h_{n-1} = \frac{100(n + 1)}{n + 3}$ है।
अंत में,$a_2 h_{n-1} = \left( \frac{50(n + 3)}{n + 1} \right) \cdot \left( \frac{100(n + 1)}{n + 3} \right) = 50 \cdot 100 = 5000$।

(C) दी गई श्रेणी: $\left(\frac{11}{7}\right)^{2} + \left(\frac{12}{7}\right)^{2} + \left(\frac{13}{7}\right)^{2} + \ldots$ है।
$n$-वाँ पद $\left(\frac{10+n}{7}\right)^{2}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $11$ पदों का योग $S_{11} = \sum_{n=1}^{11} \left(\frac{10+n}{7}\right)^{2} = \frac{1}{49} \sum_{n=1}^{11} (10+n)^{2}$ है।
योग का विस्तार करने पर: $S_{11} = \frac{1}{49} [11^2 + 12^2 + 13^2 + \ldots + 21^2]$।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S_{11} = \frac{1}{49} \left[ \sum_{k=1}^{21} k^2 - \sum_{k=1}^{10} k^2 \right] = \frac{1}{49} \left[ \frac{21 \times 22 \times 43}{6} - \frac{10 \times 11 \times 21}{6} \right]$।
$S_{11} = \frac{1}{49} \times \frac{21}{6} [22 \times 43 - 10 \times 11] = \frac{1}{49} \times \frac{7}{2} [946 - 110] = \frac{1}{14} \times 836 = \frac{11}{7} \times 38$।
इसे $\frac{11}{7}\lambda$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 38$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $T_n = (n^2 + 1)n!$.
हम $T_n$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_n = (n^2 + n - n + 1)n! = (n(n+1) - (n-1))n! = n(n+1)! - (n-1)n!$.
मान लीजिए $f(n) = n(n+1)!$. तब $T_n = f(n) - f(n-1)$.
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (f(k) - f(k-1)) = f(n) - f(0)$.
चूँकि $f(0) = 0(1!) = 0$,इसलिए $S_n = n(n+1)!$.
अब,$\frac{T_{10}}{S_{10}} = \frac{(10^2 + 1)10!}{10(11)!} = \frac{101 \times 10!}{10 \times 11 \times 10!} = \frac{101}{110}$.
यहाँ,$a = 101$ और $b = 110$,जो सह-अभाज्य हैं।
इसलिए,$b - a = 110 - 101 = 9$.

(B) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = cn(n-1) = cn^2 - cn$ है।
$n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{n-1} = c(n-1)(n-2) = c(n^2 - 3n + 2)$.
$t_n = (cn^2 - cn) - (cn^2 - 3cn + 2c) = 2cn - 2c = 2c(n-1)$.
हमें इन पदों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,अर्थात $\sum_{k=1}^{n} (t_k)^2$.
$t_k = 2c(k-1)$.
$(t_k)^2 = 4c^2(k-1)^2 = 4c^2(k^2 - 2k + 1)$.
योग $= \sum_{k=1}^{n} 4c^2(k^2 - 2k + 1) = 4c^2 [\sum k^2 - 2\sum k + \sum 1]$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
योग $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n]$.
योग $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 6n}{6}]$.
योग $= \frac{4c^2}{6} [n(2n^2 + 3n + 1 - 6n - 6 + 6)] = \frac{2c^2}{3} [n(2n^2 - 3n + 1)]$.
योग $= \frac{2c^2}{3} [n(n-1)(2n-1)] = \frac{2}{3}c^2n(n-1)(2n-1)$.

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{1(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2} = \frac{1 - (1/2)^n}{1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$.
हमें असमिका $2 - S_n < \frac{1}{100}$ दी गई है।
$S_n$ का मान रखने पर,$2 - (2 - \frac{1}{2^{n-1}}) < \frac{1}{100}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{2^{n-1}} < \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$2^{n-1} > 100$.
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$.
अतः,$n - 1$ का मान कम से कम $7$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n - 1 \geq 7$,यानी $n \geq 8$.
इस प्रकार,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $8$ है।

(D) श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ $n$ पदों तक है।
स्थिति $1$: यदि $n$ सम है,तो मान लें $n = 2m$ है।
$S = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m)$
$S = (-1) + (-1) + \dots + (-1)$ ($m$ बार)
$S = -m = -\frac{n}{2}$।
स्थिति $2$: यदि $n$ विषम है,तो मान लें $n = 2m + 1$ है।
$S = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m) + (2m + 1)$
$S = -m + (2m + 1) = m + 1$।
चूंकि $n = 2m + 1$,इसलिए $m = \frac{n - 1}{2}$ होगा।
$S = \frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}$।
अतः,योग इस बात पर निर्भर करता है कि $n$ सम है या विषम (कथन $-1$ सत्य है) और सम $n$ के लिए सूत्र $-\frac{n}{2}$ है (कथन $-2$ सत्य है),इसलिए कथन $-1$,कथन $-2$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया है कि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln x, \ln y, \ln z$ प्राप्त होते हैं जो $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए $a = \ln x, b = \ln y, c = \ln z$। चूँकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
दिए गए पद $T_1 = \frac{1+a}{2}, T_2 = \frac{1+b}{4}, T_3 = \frac{1+c}{8}$ हैं।
ये पद $A.G.P.$ (अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी) के रूप में हैं,जहाँ अंश $A.P.$ में है और हर $G.P.$ में है।
अतः,ये पद $A.G.P.$ में हैं।

(B) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 7 \quad \dots(1)$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ की विषम घातों वाले पद $ar, ar^3, ar^5, \dots$ हैं। यह एक नई गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = ar$ और सार्व अनुपात $R = r^2$ है।
इस श्रेणी का योग $3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{ar}{1-r^2} = 3 \quad \dots(2)$.
$(1)$ से,$a = 7(1-r)$ प्राप्त होता है। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7(1-r)r}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{7r}{1+r} = 3 \Rightarrow 7r = 3 + 3r \Rightarrow 4r = 3 \Rightarrow r = \frac{3}{4}$.
$r = \frac{3}{4}$ को $(1)$ में रखने पर:
$a = 7(1 - \frac{3}{4}) = 7(\frac{1}{4}) = \frac{7}{4}$.
अब,$(a^2 - r^2)$ की गणना करने पर:
$a^2 - r^2 = (\frac{7}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 = \frac{49}{16} - \frac{9}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$.

(C) किसी अनुक्रम का $n$ वाँ पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है,जहाँ $n > 1$ है।
दिया गया है कि $S_n = 4n^2 + 6n$ है।
तब $S_{n-1} = 4(n-1)^2 + 6(n-1) = 4(n^2 - 2n + 1) + 6n - 6 = 4n^2 - 8n + 4 + 6n - 6 = 4n^2 - 2n - 2$ है।
अब,$T_n = (4n^2 + 6n) - (4n^2 - 2n - 2) = 4n^2 + 6n - 4n^2 + 2n + 2 = 8n + 2$ है।
$15$ वाँ पद $(T_{15})$ ज्ञात करने के लिए,$T_n$ के व्यंजक में $n = 15$ प्रतिस्थापित करें।
$T_{15} = 8(15) + 2 = 120 + 2 = 122$।

(D) दिया गया संबंध $a_{n+1} - a_n = n - 2$ है।
हम इसे $n = 1$ से $n = 50$ तक लिख सकते हैं:
$a_2 - a_1 = 1 - 2 = -1$
$a_3 - a_2 = 2 - 2 = 0$
$a_4 - a_3 = 3 - 2 = 1$
...
$a_{51} - a_{50} = 50 - 2 = 48$
इन समीकरणों को जोड़ने पर,मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$a_{51} - a_1 = (-1) + 0 + 1 + 2 + \dots + 48$
दाहिनी ओर का योग एक समांतर श्रेणी है जिसमें पदों की संख्या $n = 50$,प्रथम पद $a = -1$ और अंतिम पद $l = 48$ है।
योग $S = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{50}{2}(-1 + 48) = 25 \times 47 = 1175$.
अतः,$a_{51} - 5 = 1175$,जिससे $a_{51} = 1180$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $(b+c), (c+a), (a+b)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है: $\frac{2}{c+a} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b}$
$\frac{2}{c+a} = \frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)} = \frac{a+2b+c}{ab+b^2+ac+bc}$
$2(ab+b^2+ac+bc) = (c+a)(a+2b+c)$
$2ab+2b^2+2ac+2bc = ac+2bc+c^2+a^2+2ab+ac$
$2ab+2b^2+2ac+2bc = a^2+c^2+2ac+2ab+2bc$
दोनों पक्षों से $(2ab+2ac+2bc)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2b^2 = a^2+c^2$
चूंकि $2b^2 = a^2+c^2$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) चूंकि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $1/a, 1/b, 1/c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इसका अर्थ है $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$,जिसे सरल करने पर $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है। .....$(1)$
अब,व्यंजक पर विचार करें:
$E = \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a}} \right)\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{1}{a} = \frac{2}{b} - \frac{1}{c}$ को पहले कोष्ठक में रखने पर:
$\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - (\frac{2}{b} - \frac{1}{c}) \right) = \left( \frac{2}{c} - \frac{1}{b} \right)$
$\frac{1}{a} = \frac{2}{b} - \frac{1}{c}$ को दूसरे कोष्ठक में रखने पर:
$\left( \frac{1}{c} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{c}) - \frac{1}{b} \right) = \left( \frac{1}{b} \right)$
इन परिणामों का गुणा करने पर:
$E = \left( \frac{2}{c} - \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{2}{bc} - \frac{1}{b^2}$.