किन्हीं तीन धनात्मक वास्तविक संख्याओं a, b, c | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$पदों का विस्तार करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$पदों को व्यवस्

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$b, c, a$ $A.P.$ में हैं।

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(C) दिया गया समीकरण: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$पदों का विस्तार करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$पदों को व्यवस्थित करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$$2$ से गुणा करने पर: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$वर्गों का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद का शून्य होना आवश्यक है:$15a - 3b = 0 \Rightarrow 3b = 15a \Rightarrow b = 5a$$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$$5c - 15a = 0 \Rightarrow 5c = 15a \Rightarrow c = 3a$अब,$b, c, a$ के लिए $A.P.$ की शर्त की जाँच करें:$2c = b + a \Rightarrow 2(3a) = 5a + a \Rightarrow 6a = 6a$चूंकि $2c = a + b$,इसलिए संख्याएँ $b, c, a$ $A.P.$ में हैं।

किन्हीं तीन धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के लिए,यदि $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$ है,तो:

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$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$ है,तो $\sum_{r=1}^n \left[ \left( \prod_{i=1}^r x_i \right) - 2\sum_{i=1}^r (2i - 1) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दो संख्याओं $a$ और $b$,$a > b > 0$,का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य का पाँच गुना है,तो $\frac{a + b}{a - b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + \dots$ के प्रथम $20$ पदों का योग क्या है?

यदि श्रेणी $\sqrt{3} + \sqrt{75} + \sqrt{243} + \sqrt{507} + \dots$ के प्रथम $n$ पदों का योग $435\sqrt{3}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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