Progression and Sequence Questions in Hindi

(D) माना कि संगत $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
चूंकि $H.P.$ का $n$ वाँ पद $A.P.$ के $n$ वें पद का व्युत्क्रम होता है,इसलिए हमारे पास है:
$A.P.$ का $7$ वाँ पद $= a + 6d = 10$
$A.P.$ का $12$ वाँ पद $= a + 11d = 25$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 25 - 10$
$5d = 15 \Rightarrow d = 3$
$d = 3$ को $a + 6d = 10$ में रखने पर:
$a + 6(3) = 10 \Rightarrow a + 18 = 10 \Rightarrow a = -8$
$A.P.$ का $20$ वाँ पद $T_{20} = a + 19d = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$ है।
अतः,$H.P.$ का $20$ वाँ पद $49$ का व्युत्क्रम होगा,जो कि $\frac{1}{49}$ है।

(C) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
चूंकि $H.P.$ का $n$ वां पद $A.P.$ के $n$ वें पद का व्युत्क्रम होता है,इसलिए हमारे पास है:
$H.P.$ का $T_6 = \frac{1}{61} \implies A.P.$ का $T_6 = a + 5d = 61$ $(i)$
$H.P.$ का $T_{10} = \frac{1}{105} \implies A.P.$ का $T_{10} = a + 9d = 105$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 105 - 61$
$4d = 44 \implies d = 11$
$d = 11$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 5(11) = 61$
$a + 55 = 61 \implies a = 6$
अतः,$H.P.$ का प्रथम पद $\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$ है।

(B) मान लीजिए कि संगत $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $p$-वाँ पद $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q} \dots (i)$
$A.P.$ का $q$-वाँ पद $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p} \dots (ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
$\Rightarrow d = \frac{1}{pq}$
$d$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a + \frac{1}{q} - \frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{pq}$
$A.P.$ का $pq$-वाँ पद $T_{pq} = a + (pq - 1)d = \frac{1}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1 + pq - 1}{pq} = 1$.
अतः,$A.P.$ का $pq$-वाँ पद $1$ है,इसलिए $H.P.$ का $pq$-वाँ पद $1$ का व्युत्क्रम,यानी $1$ होगा।

(B) यदि कोई श्रेणी $H.P.$ में है,तो उसका व्युत्क्रम $A.P.$ में होता है।
माना $A.P.$ के पद $a, a+d, a+2d, \dots$ हैं।
$H.P.$ का $4^{th}$ पद $\frac{3}{5}$ है,इसलिए $A.P.$ का $4^{th}$ पद $\frac{5}{3}$ होगा। अतः,$a + 3d = \frac{5}{3}$।
$H.P.$ का $8^{th}$ पद $\frac{1}{3}$ है,इसलिए $A.P.$ का $8^{th}$ पद $3$ होगा। अतः,$a + 7d = 3$।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(a + 7d) - (a + 3d) = 3 - \frac{5}{3} \implies 4d = \frac{4}{3} \implies d = \frac{1}{3}$।
$d$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $a + 3(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3} \implies a + 1 = \frac{5}{3} \implies a = \frac{2}{3}$।
$A.P.$ का $6^{th}$ पद $a + 5d = \frac{2}{3} + 5(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$ होगा।
अतः,$H.P.$ का $6^{th}$ पद $\frac{7}{3}$ का व्युत्क्रम यानी $\frac{3}{7}$ होगा।

(A) दो संख्याओं $p$ और $q$ के बीच का हरात्मक माध्य $H$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$H = \frac{2pq}{p + q}$
हमें व्यंजक $\frac{H}{p} + \frac{H}{q}$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $H$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{H}{p} + \frac{H}{q} = \frac{1}{p} \left( \frac{2pq}{p + q} \right) + \frac{1}{q} \left( \frac{2pq}{p + q} \right)$
पदों को सरल करने पर:
$= \frac{2q}{p + q} + \frac{2p}{p + q}$
चूंकि हर समान है,इसलिए भिन्नों को जोड़ने पर:
$= \frac{2q + 2p}{p + q}$
$= \frac{2(p + q)}{p + q}$
समान पद $(p + q)$ को काटने पर:
$= 2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $H$,$a$ और $b$ के बीच का हरात्मक माध्य है,इसलिए $H = \frac{2ab}{a + b}$ है।
हमें व्यंजक $\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ का मान ज्ञात करना है।
$H$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - b} = \frac{1}{\frac{2ab - a(a + b)}{a + b}} + \frac{1}{\frac{2ab - b(a + b)}{a + b}}$
$= \frac{a + b}{2ab - a^2 - ab} + \frac{a + b}{2ab - ab - b^2} = \frac{a + b}{ab - a^2} + \frac{a + b}{ab - b^2}$
$= \frac{a + b}{-a(a - b)} + \frac{a + b}{b(a - b)} = \frac{a + b}{a - b} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right)$
$= \frac{a + b}{a - b} \left( \frac{a - b}{ab} \right) = \frac{a + b}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
अतः,मान $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ है।

(D) माना कि द्विघात समीकरण $x^2 - 10x + 11 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-10)/1 = 10$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 11/1 = 11$ है।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ ज्ञात करने का सूत्र $H.M. = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ है।
मान रखने पर,हमें $H.M. = \frac{2 \times 11}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) दो संख्याओं $x$ और $y$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ निकालने का सूत्र $H.M. = \frac{2xy}{x + y}$ है।
यहाँ,$x = \frac{a}{1 - ab}$ और $y = \frac{a}{1 + ab}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $xy = \left(\frac{a}{1 - ab}\right) \left(\frac{a}{1 + ab}\right) = \frac{a^2}{1 - a^2b^2}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,योग $x + y = \frac{a}{1 - ab} + \frac{a}{1 + ab} = \frac{a(1 + ab) + a(1 - ab)}{(1 - ab)(1 + ab)} = \frac{a + a^2b + a - a^2b}{1 - a^2b^2} = \frac{2a}{1 - a^2b^2}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को $H.M.$ के सूत्र में रखने पर:
$H.M. = \frac{2 \left(\frac{a^2}{1 - a^2b^2}\right)}{\frac{2a}{1 - a^2b^2}} = \frac{2a^2}{1 - a^2b^2} \times \frac{1 - a^2b^2}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$.

(A) दो संख्याओं $a$ और $b$ के बीच $n$ वें हरात्मक माध्य $(H.M.)$ का सूत्र $H_n = \frac{(n+1)ab}{na+b}$ है।
यहाँ,$a = 3$,$b = \frac{6}{13}$,और $n = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H_6 = \frac{(6+1) \times 3 \times \frac{6}{13}}{6 \times 3 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{7 \times 3 \times \frac{6}{13}}{18 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{\frac{126}{13}}{\frac{234+6}{13}}$
$H_6 = \frac{126}{240}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$H_6 = \frac{63}{120}$.

(B) और $b$ दो संख्याओं का हरात्मक माध्य $(HM)$,$\frac{2ab}{a + b}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{2ab}{a + b}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें मिलता है $(a^{n + 1} + b^{n + 1})(a + b) = 2ab(a^n + b^n)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^{n + 2} + a^{n + 1}b + ab^{n + 1} + b^{n + 2} = 2a^{n + 1}b + 2ab^{n + 1}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{n + 2} + b^{n + 2} = a^{n + 1}b + ab^{n + 1}$।
$a^{n + 1}(a - b) - b^{n + 1}(a - b) = 0$।
$(a^{n + 1} - b^{n + 1})(a - b) = 0$।
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^{n + 1} = b^{n + 1}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(\frac{a}{b})^{n + 1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$।
अतः,$n + 1 = 0$,जिससे $n = -1$ प्राप्त होता है।

(B) और $b$ के बीच का हरात्मक माध्य $H$,$H = \frac{2ab}{a + b}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें व्यंजक $\frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b} = \frac{(H + a)(H - b) + (H + b)(H - a)}{(H - a)(H - b)}$
$= \frac{(H^2 - Hb + aH - ab) + (H^2 - Ha + bH - ab)}{H^2 - Hb - aH + ab}$
$= \frac{2H^2 - 2ab}{H^2 - H(a + b) + ab}$.
चूंकि $H = \frac{2ab}{a + b}$,इसलिए $H(a + b) = 2ab$ होता है।
हर (denominator) में यह मान रखने पर:
हर $= H^2 - 2ab + ab = H^2 - ab$.
अतः,व्यंजक $\frac{2(H^2 - ab)}{H^2 - ab} = 2$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
परिभाषा के अनुसार,$b = \frac{2ac}{a+c}$।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $c$ के लिए,समांतर माध्य $(A.M.)$ हरात्मक माध्य $(H.M.)$ से बड़ा होता है।
$A.M. = \frac{a+c}{2}$ और $H.M. = b$।
अतः,$\frac{a+c}{2} > b$।
पावर मीन असमिका का उपयोग करते हुए,$n=2$ के लिए,वर्ग माध्य हरात्मक माध्य से बड़ा होता है।
वैकल्पिक रूप से,व्यंजक $a^2 + c^2 - 2b^2$ पर विचार करें।
$b = \frac{2ac}{a+c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 + c^2 - 2(\frac{2ac}{a+c})^2 = a^2 + c^2 - \frac{8a^2c^2}{(a+c)^2}$।
$= \frac{(a^2+c^2)(a+c)^2 - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2+c^2)(a^2+c^2+2ac) - 8a^2c^2}{(a+c)^2}$।
$= \frac{(a^2+c^2)^2 + 2ac(a^2+c^2) - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2-c^2)^2 + 2ac(a-c)^2}{(a+c)^2}$।
चूंकि यह व्यंजक $a \neq c$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $a^2 + c^2 > 2b^2$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $b$,$a$ और $c$ के बीच का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ है। हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,$A.M. > G.M. > H.M.$
$a$ और $c$ के लिए,$A.M. = \frac{a+c}{2}$,$G.M. = \sqrt{ac}$,और $H.M. = b$ है।
चूंकि $A.M. > H.M.$,इसलिए $\frac{a+c}{2} > b \Rightarrow a + c > 2b$ .... $(i)$
चूंकि $G.M. > H.M.$,इसलिए $\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$ .... $(ii)$
इसी प्रकार,$b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$c$,$b$ और $d$ के बीच का $H.M.$ है।
अतः,$A.M. > H.M. \Rightarrow \frac{b+d}{2} > c \Rightarrow b + d > 2c$ .... $(iii)$
और $G.M. > H.M. \Rightarrow \sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$ .... $(iv)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $(a + c) + (b + d) > 2b + 2c \Rightarrow a + d > b + c$.
$(ii)$ और $(iv)$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(ac)(bd) > (b^2)(c^2) \Rightarrow abcd > b^2c^2 \Rightarrow ad > bc$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + k} = \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2}} = \frac{2}{k(k + 1)}$ द्वारा दिया जाता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $T_k = 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$।
$(n + 1)$ पदों का योग $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} T_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$ है।
योग का विस्तार करने पर: $S_{n + 1} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{n + 1} = 2 \left[ 1 - \frac{1}{n + 2} \right]$ बचता है।
व्यंजक को सरल करने पर: $S_{n + 1} = 2 \left[ \frac{n + 2 - 1}{n + 2} \right] = \frac{2(n + 1)}{n + 2}$।

(C) माना $T_k$ श्रेणी का $k$-वां पद है।
$k$-वां पद प्रथम $k$ विषम संख्याओं का योग है: $T_k = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$.
हमें $(n - 1)$ पदों का योग ज्ञात करना है,जो $S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} T_k = \sum_{k=1}^{n-1} k^2$ है।
प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m + 1)(2m + 1)}{6}$।
$m = n - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)((n - 1) + 1)(2(n - 1) + 1)}{6} = \frac{(n - 1)(n)(2n - 2 + 1)}{6} = \frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6}$।

(B) श्रेणी $1^2, 2.2^2, 3^2, 2.4^2, 5^2, 2.6^2, \dots$ है।
जब $n$ विषम है,तो $n$-वां पद $n^2$ है।
चूंकि $n$ विषम है,इसलिए $n-1$ एक सम संख्या है।
प्रथम $n-1$ पदों का योग सम पदों के लिए दिए गए सूत्र में $n$ के स्थान पर $n-1$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
$n$ पदों का योग $S_n = S_{n-1} + T_n$ है।
$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
सत्यापन: $n=1$ के लिए,$S_1 = 1^2 = 1$. विकल्प $(b)$ में मान रखने पर $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$ प्राप्त होता है। $n=3$ के लिए,$S_3 = 1^2 + 2.2^2 + 3^2 = 1 + 8 + 9 = 18$. विकल्प $(b)$ में मान रखने पर $\frac{3^2(3+1)}{2} = \frac{9 \times 4}{2} = 18$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ है।
इसे $2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होता है।
अतः,श्रेणी का योग $4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दिया जाता है:
$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
$n$ पदों का योग $S_n$,$k=1$ से $n$ तक $T_k$ का योग है:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right]$
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$\frac{n(n+1)}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1+3}{3} \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} \cdot \frac{2n+4}{3} = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

(A) दिया गया है कि $n$-वां पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$\frac{n(n + 1)}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1 + 3}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(C) माना कि योगफल $S_n = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!)$ है।
हम $k$-वें पद को $k(k!) = ((k + 1) - 1)k! = (k + 1)! - k!$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,हम इन पदों का $k = 1$ से $n$ तक योग करते हैं:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} ((k + 1)! - k!)$
$S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n + 1)! - n!)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S_n = (n + 1)! - 1!$
$S_n = (n + 1)! - 1$.

(B) दी गई श्रेणी $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$।
इस मान को योग में रखने पर:
$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $S_n = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $S = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + \dots$ है जो $(n - 2)$ पदों तक है।
माना श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = (k + 2)(k + 5) = k^2 + 7k + 10$ है।
$m$ पदों का योग $\sum_{k=1}^{m} (k^2 + 7k + 10)$ है,जहाँ $m = n - 2$ है।
योग $= \sum_{k=1}^{m} k^2 + 7 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 10 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + \frac{7m(m+1)}{2} + 10m$.
$m = n - 2$ रखने पर:
योग $= \frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6} + \frac{7(n-2)(n-1)}{2} + 10(n-2)$.
$= \frac{(n-2)}{6} [(n-1)(2n-3) + 21(n-1) + 60] = \frac{(n-2)}{6} [2n^2 - 5n + 3 + 21n - 21 + 60] = \frac{(n-2)(2n^2 + 16n + 42)}{6} = \frac{2n^3 + 12n^2 + 10n - 84}{6}$.

(A) दिया गया योग $\sum_{i = 1}^n (3i - 2)$ है।
योग के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\sum_{i = 1}^n (3i - 2) = 3 \sum_{i = 1}^n i - \sum_{i = 1}^n 2$.
चूंकि $\sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ और $\sum_{i = 1}^n 2 = 2n$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right] - 2n$.
$= \frac{3n^2 + 3n}{2} - 2n$.
$= \frac{3n^2 + 3n - 4n}{2}$.
$= \frac{3n^2 - n}{2} = \frac{n(3n - 1)}{2}$.

(B) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{n(n+1)}{2} + \frac{2n+1}{3}]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{3n^2 + 3n + 4n + 2}{6}]$
$S_n = \frac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$।

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{4}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]$.
चूंकि $n^2 + 5n + 6 = (n+2)(n+3)$,इसलिए $S_n = \frac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$
यहाँ,$n = 15$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$S_{15} = \left[ \frac{15(15+1)}{2} \right]^2$
$S_{15} = \left[ \frac{15 \times 16}{2} \right]^2$
$S_{15} = (15 \times 8)^2$
$S_{15} = (120)^2$
$S_{15} = 14400$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\sum n^2 = \sum n + 330$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{2} + 330$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] = 330$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1-3}{3} \right] = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2(n-1)}{3} = 330$.
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} = 330$.
$n(n^2-1) = 990$.
$n^3 - n - 990 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,यदि $n=10$ है,तो $10^3 - 10 = 1000 - 10 = 990$। अतः,$n = 10$।

(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ है।
सर्वसमिका $\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$ का उपयोग करने पर,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{1}{r^2 + r + 1} \right)$ प्राप्त होता है।
हर को $1 + r(r+1)$ के रूप में लिखने पर,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{(r+1) - r}{1 + r(r+1)} \right)$ होता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर,$T_r = \tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1} r$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1} r)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$।
अतः,$S_n = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ सूत्र के अनुसार,$S_n = \tan^{-1} \left( \frac{n+1-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$।
चूंकि $\tan^{-1} x = \cot^{-1} (1/x)$,इसलिए $S_n = \cot^{-1} \left( \frac{n+2}{n} \right)$।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(B) $n^{th}$ पंक्ति में $n$ पद हैं। $(n-1)^{th}$ पंक्ति का अंतिम पद प्रथम $(n-1)$ प्राकृत संख्याओं का योग है,जो $\frac{(n-1)n}{2}$ है।
अतः,$n^{th}$ पंक्ति का प्रथम पद $\frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ है।
$n^{th}$ पंक्ति $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2}[2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$.
$S_n = \frac{n}{2}[n^2 - n + 2 + n - 1] = \frac{n}{2}(n^2 + 1)$.

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ है।
श्रेणी का $n^{th}$ पद प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग को $n$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n}$
$T_n = \frac{n + 1}{2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:
${\left( \sum_{r=1}^{n} r \right)}^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \sum_{r=1}^{n} r^2 + 2 \sum_{1 \le s < t \le n} st$
एक साथ दो संख्याएँ लेने पर उनके गुणनफलों का योग ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sum_{s < t} st = {\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)}^2 - \sum_{r=1}^{n} r^2$
वर्गों के योग का सूत्र $\sum r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\frac{n(n+1)}{12}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) - 2(2n+1)]$
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n - 4n - 2] = \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{12}$
द्विघात व्यंजक $(3n^2 - n - 2) = (n-1)(3n+2)$ का गुणनखंड करने पर:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\sum_{s < t} st = \frac{1}{24}n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)$.

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विस्तार करने पर, $T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4 \sum_{n=1}^{20} n^3 + 4 \sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = \left[ \frac{N(N+1)}{2} \right]^2$, $\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$, और $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$.
$N = 20$ के लिए:
$4 \sum_{n=1}^{20} n^3 = 4 \left[ \frac{20 \cdot 21}{2} \right]^2 = 4 \cdot (210)^2 = 4 \cdot 44100 = 176400$.
$4 \sum_{n=1}^{20} n^2 = 4 \cdot \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 4 \cdot 2870 = 11480$.
$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
इन मानों को जोड़ने पर: $S_{20} = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

(A) प्रथम $n$ घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अनुपात $\frac{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \times \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$ है।
$n = 12$ रखने पर:
अनुपात $= \frac{3 \times 12 \times (12+1)}{2 \times (2 \times 12 + 1)} = \frac{3 \times 12 \times 13}{2 \times 25} = \frac{3 \times 6 \times 13}{25} = \frac{234}{25}$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।
इस मान को $T_n$ के सूत्र में रखने पर:
$T_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$।
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ लिखा जा सकता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \right]$।
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) = 6 \left( \frac{n + 1 - 1}{n + 1} \right) = \frac{6n}{n + 1}$।

(A) दी गई श्रेणी $1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 \cdot 11 + \dots + n$ पद है।
$r$-वां पद $T_r$ तीन समांतर श्रेणियों के $r$-वें पदों का गुणनफल है: $(1, 2, 3, \dots)$,$(3, 5, 7, \dots)$,और $(5, 8, 11, \dots)$।
$T_r = r \cdot (2r + 1) \cdot (3r + 2) = r(6r^2 + 4r + 3r + 2) = 6r^3 + 7r^2 + 2r$।
$n$ पदों का योगफल $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = 6 \sum r^3 + 7 \sum r^2 + 2 \sum r$ है।
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$।
$S_n = \frac{6n^2(n+1)^2}{4} + \frac{7n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$।
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n(n+1) + 7(2n+1) + 6]$।
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n^2 + 9n + 14n + 7 + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{3^n - 1}{3^n} = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^k\right)$ है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k$.
$S_n = n - \left[ \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} \right]$.
$S_n = n - \left[ \frac{\frac{1}{3}(1 - 3^{-n})}{\frac{2}{3}} \right]$.
$S_n = n - \frac{1}{2}(1 - 3^{-n}) = n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^{-n} = n + \frac{1}{2}(3^{-n} - 1)$.

(C) व्यंजक $\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}}$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग दर्शाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के मानक सूत्र के अनुसार:
$\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$।

(B) दी गई श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ की गणना करते हैं।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{n(n + 1)}{6}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{6} [(2n + 1) + 3] = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$।
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$।

(B) योग $\sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ द्वारा दिया गया है।
सूत्र $\sum_{n=1}^{k} n^3 = [\frac{k(k+1)}{2}]^2$ का उपयोग करते हुए:
$k=20$ के लिए,$\sum_{n=1}^{20} n^3 = [\frac{20(21)}{2}]^2 = (210)^2 = 44100$।
$k=10$ के लिए,$\sum_{n=1}^{10} n^3 = [\frac{10(11)}{2}]^2 = (55)^2 = 3025$।
अतः,योग $44100 - 3025 = 41075$ है।
चूंकि $41075$ एक विषम पूर्णांक है और यह $5$ से विभाज्य है।

(A) इस श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^3 + 4k^2 + k)$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 4 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] + 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = n^2(n+1)^2 + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n(n+1) + 4(2n+1) + 3]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n^2 + 6n + 8n + 4 + 3] = \frac{n(n+1)}{6} (6n^2 + 14n + 7)$.

(B) दिया गया $n$ वाँ पद $T_n = 3 + n(n - 1) = n^2 - n + 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 3)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$।
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 3n$।
$\frac{n}{6}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$S_n = \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 18]$।
$S_n = \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 18] = \frac{n}{6} [2n^2 + 16]$।
$S_n = \frac{2n(n^2 + 8)}{6} = \frac{n(n^2 + 8)}{3} = \frac{n^3 + 8n}{3}$।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{n} k(2n - (2k - 1))$ है।
सामान्य पद $T_k = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ का विस्तार करने पर।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{n} (2nk - 2k^2 + k) = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S = 2n \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - 2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$।
$S = n^2(n + 1) - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + \frac{n(n + 1)}{2}$।
$\frac{n(n + 1)}{6}$ को कॉमन लेने पर:
$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 2(2n + 1) + 3]$।
$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 4n - 2 + 3] = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।

(C) प्रत्येक समूह के प्रथम पद का अवलोकन करें:
समूह $1$: $1$
समूह $2$: $2$
समूह $3$: $5$
समूह $4$: $10$
समूह $5$: $17$
मान लीजिए कि $a_n$, $n^{th}$ समूह का प्रथम पद है।
प्रथम पदों की श्रृंखला $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$2 - 1 = 1$
$5 - 2 = 3$
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
अंतर $1, 3, 5, 7, \dots$ हैं, जो $2$ के सार्व अंतर वाली एक समांतर श्रेणी है।
इस श्रृंखला का $n^{th}$ पद $a_n = 1 + (n-1)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$11^{th}$ समूह के लिए, $n = 11$ लेने पर:
$a_{11} = (11 - 1)^2 + 1 = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करने का सूत्र: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$11^2 + 12^2 + \dots + 20^2$ का योग ज्ञात करने के लिए, हम प्रथम $20$ संख्याओं के वर्गों के योग में से प्रथम $10$ संख्याओं के वर्गों का योग घटाएंगे।
प्रथम $20$ संख्याओं के वर्गों का योग: $\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$।
प्रथम $10$ संख्याओं के वर्गों का योग: $\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$।
अतः, अभीष्ट योग $= 2870 - 385 = 2485$ है।

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम सामान्य पद को $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,प्रथम $N$ पदों का योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $S_N = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})$ प्राप्त होता है।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ बचता है।
जब हम $N \to \infty$ की सीमा लेते हैं,तो हमें $S = \lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{2 \cdot 2}}}{{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}}$ द्वारा दिया गया है।
घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2}} = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\frac{n^2(n + 1)^2}{4}}} = \frac{1}{n(n + 1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$.
योग का विस्तार करने पर: $S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum n = \frac{n(n + 1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$.
अब,$n$ पदों का योग $S = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k + 1}{2}$ है।
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)}{2} + n \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2 + n + 2n}{2} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4} = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(B) दी गई श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ है।
अंशों का अवलोकन करें: $2, 7, 15, 26, \dots$
मान लीजिए $a_n$ $n$ वें पद का अंश है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 8, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
अंश अनुक्रम के $n$ वें पद को इस $AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-1} (5 + 3k) = 2 + \frac{n}{2} [2(5) + (n-1)3] = 2 + \frac{n}{2} [10 + 3n - 3] = 2 + \frac{n(3n + 7)}{2} = \frac{4 + 3n^2 + 7n}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,विकल्पों में दिए गए पैटर्न को देखते हुए:
$T_n = \frac{2 + 5 + 8 + \dots + (3n - 1)}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[2(2) + (n-1)3]}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[4 + 3n - 3]}{n!} = \frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$.

(D) दिया गया है $t_n = \frac{1}{4}(n + 2)(n + 3)$.
हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n}$ ज्ञात करना है।
$t_n$ का मान रखने पर,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$.
अतः,$S = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
यह एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी है: $S = 4 \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2005} - \frac{1}{2006}) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे $S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$ बचेगा।
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \times \frac{2003}{6018} = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.
हम योग को विषम और सम पदों में विभाजित कर सकते हैं: $S = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4} + \sum_{n=2,4,6,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.
माना $S_{odd} = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.
सम पदों को $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^4} = \frac{1}{2^4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{1}{16} S$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$S = S_{odd} + \frac{1}{16} S$.
$S_{odd} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.
$S = \frac{\pi^4}{90}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{odd} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{16 \times 6} = \frac{\pi^4}{96}$.