n के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,3 cdot | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि श्रेणी का $k$-वां पद $T_k$ है,तो $T_k = 3k(k + 1) = 3k^2 + 3k$.यदि $S_n$ प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है,तो $S_n = \sum_{k=1}^n T_k

Vedclass · Accepted Answer

$n(n + 1)(n + 2)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि श्रेणी का $k$-वां पद $T_k$ है,तो $T_k = 3k(k + 1) = 3k^2 + 3k$.यदि $S_n$ प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है,तो $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k)$.मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$S_n = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k = 3 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 3 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + 3 ]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 4 ] = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2(n+2) = n(n+1)(n+2)$.

$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,$3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3 \cdot n \cdot (n + 1)$ का मान क्या है?

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