Progression and Sequence Questions in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ है।
आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हुए,$n$-वां पद $T_n$ इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T_n = \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)} = \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.
अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ लिखते हैं:
$S_n = T_1 + T_2 + T_3 + \dots + T_n$
$S_n = \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{2 + a} \right) + \left( \frac{1}{2 + a} - \frac{1}{3 + a} \right) + \left( \frac{1}{3 + a} - \frac{1}{4 + a} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.
अनंत तक योग ज्ञात करने के लिए,हम $n \to \infty$ की सीमा लेते हैं:
$S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a} \right) = \frac{1}{1 + a} - 0 = \frac{1}{1 + a}$.

(B) माना कि चतुर्भुज के चार कोण $A.P.$ में $x, x+10^o, x+20^o$ और $x+30^o$ हैं।
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^o$ होता है।
इसलिए,$x + (x+10^o) + (x+20^o) + (x+30^o) = 360^o$.
$4x + 60^o = 360^o$.
$4x = 300^o$.
$x = 75^o$.
अतः,कोण $75^o, 75^o+10^o=85^o, 75^o+20^o=95^o$ और $75^o+30^o=105^o$ हैं।
इस प्रकार,चतुर्भुज के कोण $75^o, 85^o, 95^o$ और $105^o$ हैं।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ है।
प्रथम $m$ पदों का योग $S_m = \frac{m}{2} \{2a + (m - 1)d\}$ है।
दिया गया है कि $S_n = S_m$,इसलिए:
$\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\} = \frac{m}{2} \{2a + (m - 1)d\}$
$n \{2a + (n - 1)d\} = m \{2a + (m - 1)d\}$
$2an + n(n - 1)d = 2am + m(m - 1)d$
$2a(n - m) + d(n^2 - n - m^2 + m) = 0$
$2a(n - m) + d((n^2 - m^2) - (n - m)) = 0$
$2a(n - m) + d((n - m)(n + m) - (n - m)) = 0$
चूंकि $m \ne n$,हम $(n - m)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2a + d(n + m - 1) = 0$
अब,प्रथम $(m + n)$ पदों का योग:
$S_{m+n} = \frac{m+n}{2} \{2a + (m + n - 1)d\}$
$2a + (m + n - 1)d = 0$ का मान रखने पर:
$S_{m+n} = \frac{m+n}{2} \times 0 = 0$.

(A) दिया गया है कि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और धनात्मक हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $q = \frac{p + r}{2}$ होगा ......$(i)$
द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$q = \frac{p + r}{2}$ को असमिका में रखने पर:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$\frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} - 4pr \ge 0$
$p^2 + 2pr + r^2 - 16pr \ge 0$
$p^2 - 14pr + r^2 \ge 0$
$p^2$ से भाग देने पर ($p > 0$ है):
$1 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + \left( \frac{r}{p} \right)^2 \ge 0$
मान लीजिए $x = \frac{r}{p}$. तो $x^2 - 14x + 1 \ge 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - 7)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$(x - 7)^2 \ge 48$
$|x - 7| \ge \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
अतः,$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(B) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ तीनों $A.P.$ के लिए $a = 1$ और सार्व अंतर $d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3$ दिए गए हैं।
$S_1$ के लिए: $S_1 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)1] = \frac{n}{2}[n + 1]$.
$S_2$ के लिए: $S_2 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2$.
$S_3$ के लिए: $S_3 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[3n - 1]$.
अब,$S_1 + S_3$ की गणना करने पर:
$S_1 + S_3 = \frac{n}{2}[n + 1 + 3n - 1] = \frac{n}{2}[4n] = 2n^2$.
चूँकि $S_2 = n^2$,इसलिए $2S_2 = 2n^2$.
अतः,सही संबंध $S_1 + S_3 = 2S_2$ है।

(A) दिया गया समीकरण है: $\log_a x + \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \dots + \log_{a^{1/a}} x = \frac{a(a+1)}{2}$.
गुणधर्म $\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + a \log_a x = \frac{a(a+1)}{2}$.
$\log_a x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + a) = \frac{a(a+1)}{2}$.
प्रथम $a$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{a(a+1)}{2}$ होता है।
अतः,$\log_a x \cdot \frac{a(a+1)}{2} = \frac{a(a+1)}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{a(a+1)}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\log_a x = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = a^1 = a$.

(C) घर की कुल कीमत $15000$ रुपये है। जयराम ने शुरुआत में $5000$ रुपये का भुगतान किया,इसलिए शेष राशि $15000 - 5000 = 10000$ रुपये है।
वह शेष $10000$ रुपये की राशि को $1000$ रुपये की $10$ वार्षिक किस्तों में और बकाया राशि पर $10\%$ ब्याज के साथ चुकाता है।
पहले वर्ष में,वह भुगतान करता है: $1000 + (10000 \text{ का } 10\%) = 1000 + 1000 = 2000$ रुपये।
दूसरे वर्ष में,बकाया राशि $9000$ है,इसलिए वह भुगतान करता है: $1000 + (9000 \text{ का } 10\%) = 1000 + 900 = 1900$ रुपये।
तीसरे वर्ष में,बकाया राशि $8000$ है,इसलिए वह भुगतान करता है: $1000 + (8000 \text{ का } 10\%) = 1000 + 800 = 1800$ रुपये।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है जहाँ प्रथम पद $a = 2000$,सार्व अंतर $d = -100$,और पदों की संख्या $n = 10$ है।
इन $10$ किस्तों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(2000) + (10-1)(-100)] = 5[4000 - 900] = 5[3100] = 15500$ रुपये।
जयराम द्वारा भुगतान की गई कुल राशि प्रारंभिक भुगतान और किस्तों के योग के बराबर है: $5000 + 15500 = 20500$ रुपये।

(D) मान लीजिए $x_n$ वर्ग $S_n$ की भुजा की लंबाई है। $S_{n+1}$ का विकर्ण $x_{n+1}\sqrt{2}$ है।
दिया गया है $x_n = x_{n+1}\sqrt{2}$,इसलिए $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$।
यह भुजा की लंबाई के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है: $x_n = x_1 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1}$।
$S_n$ का क्षेत्रफल $A_n = x_n^2 = x_1^2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ है।
हमें $A_n < 1$ चाहिए,इसलिए $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,जिसका अर्थ है $2^{n-1} > 100$।
$n=8$ के लिए,$2^{8-1} = 2^7 = 128 > 100$।
$n=9$ के लिए,$2^{9-1} = 2^8 = 256 > 100$।
$n=10$ के लिए,$2^{10-1} = 2^9 = 512 > 100$।
चूंकि $n=8, 9, 10$ सभी मान शर्त को पूरा करते हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$k$-वीं समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।
अतः,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2k + 2kn - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$।
अब,हमें योग $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$ ज्ञात करना है।
$= \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} (1 - n)]$।
$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} + m(1 - n)]$।
$= \frac{n}{2} [nm(m+1) + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + nm + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + m] = \frac{mn(mn + 1)}{2}$।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है और यह प्रथम और अंतिम पद के योग के बराबर होता है।
दिया गया है: ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$.
हम जानते हैं कि $A.P.$ में,${a_1} + {a_{24}} = {a_5} + {a_{20}} = {a_{10}} + {a_{15}}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3({a_1} + {a_{24}}) = 225$
${a_1} + {a_{24}} = 75$.
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 24$ के लिए:
$S_{24} = \frac{24}{2}({a_1} + {a_{24}}) = 12 \times 75 = 900$.

(C) माना कि त्रिघात समीकरण ${x^3} - 12{x^2} + 39x - 28 = 0$ के मूल $a - d, a, a + d$ हैं,जो $A.P.$ में हैं।
त्रिघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग = $(a - d) + a + (a + d) = -(-12)/1 = 12$
$3a = 12 \implies a = 4$
मूलों का गुणनफल = $(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = -(-28)/1 = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$
गुणनफल समीकरण में $a = 4$ का मान रखने पर:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$
अतः,सार्व अंतर $\pm 3$ है।

(A) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a_1 = 1$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
अतः पद $a_1 = 1$, $a_2 = r$, और $a_3 = r^2$ होंगे।
हमें व्यंजक $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ दिया गया है।
$f(r)$ के न्यूनतम मान के लिए $r$ का मान ज्ञात करने हेतु, हम $f(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ रखने पर, हमें $4 + 10r = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $10r = -4$, इसलिए $r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $f''(r) = 10 > 0$ है, इसलिए फलन का मान $r = -\frac{2}{5}$ पर न्यूनतम है।

(D) मान लीजिए $G.P.$ के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
योग $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है ......$(i)$
गुणनफल $P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \dots (ar^{n-1}) = a^n r^{0+1+2+\dots+(n-1)} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ प्राप्त होता है ......(ii)
व्युत्क्रमों का योग $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}$ है।
यह एक $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $\frac{1}{a}$ और सार्व अनुपात $\frac{1}{r}$ है।
$R = \frac{\frac{1}{a}(1 - (\frac{1}{r})^n)}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{\frac{1}{a}(\frac{r^n - 1}{r^n})}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1}(r - 1)} = \frac{1 - r^n}{a r^{n-1}(1 - r)}$ ......(iii)
अब,$\frac{S}{R} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \cdot \frac{a r^{n-1}(1 - r)}{1 - r^n} = a^2 r^{n-1}$ होता है।
अतः,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$ होता है।
समीकरण (ii) से तुलना करने पर,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$.
हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभाजित करता है।
अतः,$\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$.
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ प्राप्त होता है।
किसी भी $n > 1$ के लिए इसे पूर्णांक बनाने हेतु,हम $n^m + 1 = n^{64} + 1$ ले सकते हैं,जिसका अर्थ है $m = 64$।
यदि $m = 64$ है,तो अभिव्यक्ति $\frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ हो जाती है,जो स्पष्ट रूप से एक पूर्णांक है।
अतः,सबसे बड़ा पूर्णांक $m = 64$ है।

(C) मान लीजिए कि $G.P.$ में $2n$ पद हैं,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
सभी $2n$ पदों का योग $S_{2n} = a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)}$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पद $a, ar^2, ar^4, \dots, ar^{2n-2}$ हैं। यह एक $G.P.$ है जिसमें $n$ पद हैं,प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r^2$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_{odd} = a\frac{((r^2)^n - 1)}{(r^2 - 1)} = a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r^2 - 1)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_{2n} = 5 \times S_{odd}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)} = 5 \times a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r^2 - 1)}$.
चूंकि $r \neq 1$ और $r^{2n} - 1 \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 = \frac{5}{r + 1}$.
$r + 1 = 5$.
$r = 4$.

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x)f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए।
$x = 1$ के लिए,$f(2) = f(1 + 1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.
$x = 2$ के लिए,$f(3) = f(2 + 1) = f(2)f(1) = 3^2 \cdot 3 = 3^3 = 27$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$f(x) = 3^x$.
अब,हमें दिया गया है कि $\sum_{x = 1}^n f(x) = 120$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n = 120$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है,जहाँ $a = 3$ और $r = 3$.
अतः,$\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
$3^n = 3^4$.
इसलिए,$n = 4$.

(C) दिया गया है कि $G$,$a$ और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = (ab)^{1/2}$।
यदि $G_1, G_2, ..., G_n$,$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य हैं,तो $a, G_1, G_2, ..., G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं जिसमें $n+2$ पद हैं।
माना कि सार्व अनुपात $r$ है। तब $b = a r^{n+1}$,जिसका अर्थ है $r = (b/a)^{1/(n+1)}$।
$n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $P = G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = (ar) \cdot (ar^2) \cdot ... \cdot (ar^n) = a^n r^{1+2+...+n} = a^n r^{n(n+1)/2}$ होता है।
$r = (b/a)^{1/(n+1)}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{n/2} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} b^{n/2} = (ab)^{n/2}$।
चूंकि $G = (ab)^{1/2}$,इसलिए $G^n = ((ab)^{1/2})^n = (ab)^{n/2}$।
अतः,$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$।

(C) माना कि वर्धमान $G.P.$ $k, kr, kr^2, kr^3$ है जहाँ $k > 0$ और $r > 1$ है।
अतः,$\alpha = k, \beta = kr, \gamma = kr^2, \delta = kr^3$.
प्रथम समीकरण $x^2 - 3x + a = 0$ से,मूलों का योग $\alpha + \beta = k(1 + r) = 3$ और गुणनफल $\alpha \beta = k^2r = a$ है।
द्वितीय समीकरण $x^2 - 12x + b = 0$ से,मूलों का योग $\gamma + \delta = kr^2(1 + r) = 12$ और गुणनफल $\gamma \delta = k^2r^5 = b$ है।
योग वाले समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{kr^2(1 + r)}{k(1 + r)} = \frac{12}{3} \implies r^2 = 4$. चूँकि श्रेणी वर्धमान है,इसलिए $r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ को $k(1 + r) = 3$ में रखने पर,$k(3) = 3 \implies k = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$a = k^2r = (1)^2(2) = 2$.
और $b = k^2r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
अतः,$(a, b) = (2, 32)$.

(C) दिया गया है कि $2.\overline{357} = 2.357357357...$
इसे $2 + 0.357357357...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$= 2 + \frac{357}{10^3} + \frac{357}{10^6} + \frac{357}{10^9} + ...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{357}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{1000}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$.
अतः,$2.\overline{357} = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$.

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos \alpha$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
यहाँ $S = 2 - \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1 - \cos \alpha} = 2 - \sqrt{2}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$1 - \cos \alpha = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$1 - \cos \alpha = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $-\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,या $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $0 < \alpha < \pi$ है और $\cos \alpha$ ऋणात्मक है,इसलिए $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में होगा।
$\cos \alpha = -\cos(\pi/4) = \cos(\pi - \pi/4) = \cos(3\pi/4)$।
अतः,$\alpha = 3\pi/4$।

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S$,प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ के लिए $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ होता है।
यहाँ $a = x$ और $S = 5$ दिया गया है,इसलिए $5 = \frac{x}{1 - r}$।
$r$ के लिए हल करने पर,$1 - r = \frac{x}{5}$,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{x}{5}$।
चूंकि अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के अस्तित्व के लिए शर्त $|r| < 1$ है,इसलिए $|1 - \frac{x}{5}| < 1$ होगा।
इस असमिका को $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर,$-2 < -\frac{x}{5} < 0$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर (और असमिका के चिह्नों को पलटने पर),$10 > x > 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $0 < x < 10$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$,जिसे सरल करने पर $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है।
माना व्यंजक $E = \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ है।
संबंध $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ का उपयोग करते हुए,पहला कोष्ठक $\left( \frac{1}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) - \frac{1}{a} \right) = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right)$ बन जाता है।
संबंध $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ का उपयोग करते हुए,दूसरा कोष्ठक $\left( \frac{2}{b} - \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{b}$ बन जाता है।
अतः,$E = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right) \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$.

(B) दिया गया समीकरण $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$.
माना $H_1, H_2, \dots, H_m$ $a$ और $b$ के बीच $m$ हरात्मक माध्य हैं। अनुक्रम $a, H_1, H_2, \dots, H_m, b$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में है।
अतः,$\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \dots, \frac{1}{H_m}, \frac{1}{b}$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है।
माना इस समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ है। तब $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + (m + 1)d$,जिससे $d = \frac{a - b}{ab(m + 1)}$ प्राप्त होता है।
$H_1 = \frac{1}{\frac{1}{a} + d} = \frac{ab(m + 1)}{mb + a}$ और $H_m = \frac{1}{\frac{1}{b} - d} = \frac{ab(m + 1)}{ma + b}$।
अंतर $H_m - H_1 = ab(m + 1) \left[ \frac{1}{ma + b} - \frac{1}{mb + a} \right] = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m(a^2 + b^2) + ab(m^2 + 1)}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हर (denominator) $m^2 - 1$ हो जाता है।
अतः,$H_m - H_1 = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$।

(C) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $d$ किमी है।
स्कूल जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{x}$ घंटे है।
घर वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{y}$ घंटे है।
औसत गति को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d + d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{x} + \frac{d}{y}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{2d}{d(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} = \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}$.
यह व्यंजक $\frac{2xy}{x+y}$,$x$ और $y$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ है।

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
$H.P.$ में किन्हीं तीन क्रमागत पदों के लिए,मध्य पद अन्य दो पदों का हरात्मक माध्य होता है। अतः,$b = \frac{2ac}{a+c}$ और $c = \frac{2bd}{b+d}$ है।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ हरात्मक माध्य $(H.M.)$ से बड़ा होता है।
$a$ और $c$ के लिए,$G.M. = \sqrt{ac}$ और $H.M. = b$ है। इसलिए,$\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$।
इसी प्रकार,$b$ और $d$ के लिए,$G.M. = \sqrt{bd}$ और $H.M. = c$ है। इसलिए,$\sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$।
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $ac + bd > b^2 + c^2$ प्राप्त होता है।

(B) धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए समांतर माध्य $(AM)$,गुणोत्तर माध्य $(GM)$ से बड़ा होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$
$\frac{b + c}{2} > \sqrt{bc}$
$\frac{c + a}{2} > \sqrt{ca}$
इन तीनों असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{a + b}{2}\right) \left(\frac{b + c}{2}\right) \left(\frac{c + a}{2}\right) > \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{a^2 b^2 c^2}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > abc$
अतः,$(a + b)(b + c)(c + a) > 8abc$.

(A) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
शर्त $I$: $\frac{a}{r} + a + ar = 14$
$\Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
शर्त $II$: $\frac{a}{r} + 1, a + 1, ar - 1$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$ ... (ii)
$(i)$ से,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$। इस मान को (ii) में रखने पर:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
$a = 4$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + r = \frac{14}{4} - 1 = 3.5 - 1 = 2.5 = \frac{5}{2}$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ या $r = 0.5$.
यदि $r = 2$ है,तो संख्याएँ $\frac{4}{2}, 4, 4(2) \Rightarrow 2, 4, 8$ हैं।
यदि $r = 0.5$ है,तो संख्याएँ $\frac{4}{0.5}, 4, 4(0.5) \Rightarrow 8, 4, 2$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,संख्याओं का समूह ${2, 4, 8}$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $8$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
चूंकि $\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए पहले और तीसरे पद का योग मध्य पद के दोगुने के बराबर होगा:
$(\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a) = 2(\log 2b - \log 3c)$
$\log 3c - \log 2b = 2\log 2b - 2\log 3c$
$3\log 3c = 3\log 2b \Rightarrow 3c = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}c$।
$b = \frac{3}{2}c$ को $b^2 = ac$ में रखने पर,हमें मिलता है $(\frac{3}{2}c)^2 = ac \Rightarrow \frac{9}{4}c^2 = ac \Rightarrow a = \frac{9}{4}c$।
अतः,भुजाएँ $a = \frac{9}{4}c, b = \frac{3}{2}c, c = c$ हैं।
$\frac{4}{c}$ से गुणा करने पर,भुजाएँ $9, 6, 4$ के अनुपात में हैं।
चूंकि $9^2 > 6^2 + 4^2$ $(81 > 36 + 16 = 52)$,इसलिए यह त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
चूंकि ${A_1}, {A_2}$ $a$ और $b$ के बीच $AMs$ हैं,इसलिए $a, {A_1}, {A_2}, b$ $A.P.$ में हैं।
अतः,${A_1} - a = b - {A_2} \Rightarrow {A_1} + {A_2} = a + b$ ......$(i)$
चूंकि ${G_1}, {G_2}$ $a$ और $b$ के बीच $GMs$ हैं,इसलिए $a, {G_1}, {G_2}, b$ $G.P.$ में हैं।
अतः,$\frac{{G_1}}{a} = \frac{b}{{G_2}} \Rightarrow {G_1}{G_2} = ab$ ......$(ii)$
चूंकि ${H_1}, {H_2}$ $a$ और $b$ के बीच $HMs$ हैं,इसलिए $a, {H_1}, {H_2}, b$ $H.P.$ में हैं।
अतः,$\frac{1}{{H_1}} - \frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{{H_2}} \Rightarrow \frac{1}{{H_1}} + \frac{1}{{H_2}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$\Rightarrow \frac{{H_1 + H_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{a + b}}{{ab}}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{{H_1 + H_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{A_1 + A_2}}{{G_1 G_2}}$
इसलिए,$\frac{{G_1 G_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{A_1 + A_2}}{{H_1 + H_2}}$।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
समांतर माध्य $A = \frac{x + y}{2}$ है और गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{xy}$ है।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2xy}{x + y} = 4$ दिया गया है।
$H = 4$ से,$\frac{2xy}{x + y} = 4$,जिसका अर्थ है $xy = 2(x + y)$।
चूंकि $A = \frac{x + y}{2}$,इसलिए $x + y = 2A$,अतः $xy = 2(2A) = 4A$।
चूंकि $G^2 = xy$,इसलिए $G^2 = 4A$ प्राप्त होता है।
दिए गए संबंध $2A + G^2 = 27$ में $G^2 = 4A$ रखने पर:
$2A + 4A = 27 \Rightarrow 6A = 27 \Rightarrow A = \frac{27}{6} = 4.5$।
अब,$x + y = 2A = 2(4.5) = 9$ और $xy = 4A = 4(4.5) = 18$।
$x$ और $y$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ है,जो $t^2 - 9t + 18 = 0$ होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 6)(t - 3) = 0$।
अतः,वे संख्याएँ $6$ और $3$ हैं।

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
समांतर माध्य $(A.M.)$ $\frac{a + b}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $\sqrt{ab}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$A.M. = G.M. + 2$,इसलिए $\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} + 2$ ......$(i)$.
संख्याओं का अनुपात $4:1$ है,इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{4}{1}$,जिसका अर्थ है कि $a = 4b$ ......$(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4b + b}{2} = \sqrt{4b \cdot b} + 2$
$\frac{5b}{2} = \sqrt{4b^2} + 2$
$\frac{5b}{2} = 2b + 2$
$2$ से गुणा करने पर: $5b = 4b + 4$,जिससे $b = 4$ प्राप्त होता है।
अब,$b = 4$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$a = 4(4) = 16$.
अतः,वे संख्याएँ $16$ और $4$ हैं।

(C) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
दिया गया है कि मूलों का समांतर माध्य $(A.M.)$ $8$ है:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 8 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$.
दिया गया है कि मूलों का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $5$ है:
$\sqrt{\alpha \beta} = 5 \Rightarrow \alpha \beta = 25$.
मूलों के योग और गुणनफल को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - (16)x + (25) = 0$.
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - 16x + 25 = 0$ है।

(B) किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य $(A.M.)$,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ और हरात्मक माध्य $(H.M.)$ के बीच का संबंध $A.M. \ge G.M. \ge H.M.$ असमिका द्वारा दिया जाता है।
दी गई मान $\frac{144}{15} = 9.6$,$15$ और $12$ हैं।
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $15 > 12 > 9.6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A.M. = 15$,$G.M. = 12$ और $H.M. = \frac{144}{15}$ है।
हमें $H.M., G.M., A.M.$ के क्रम में मान ज्ञात करने के लिए कहा गया है।
पहचाने गए मानों को रखने पर,हमें $\frac{144}{15}, 12, 15$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ का समांतर माध्य है,इसलिए $a = \frac{b+c}{2}$,अर्थात $b+c = 2a$.
चूंकि $G_1, G_2$ $b$ और $c$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए अनुक्रम $b, G_1, G_2, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में है।
मान लीजिए कि सार्व अनुपात $r$ है। तब $G_1 = br$,$G_2 = br^2$,और $c = br^3$.
अतः,$r = (c/b)^{1/3}$.
$G_1 = b(c/b)^{1/3} = b^{2/3} c^{1/3}$ और $G_2 = b(c/b)^{2/3} = b^{1/3} c^{2/3}$.
अब,$G_1^3 + G_2^3 = (b^{2/3} c^{1/3})^3 + (b^{1/3} c^{2/3})^3 = b^2 c + b c^2 = bc(b+c)$.
$b+c = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $G_1^3 + G_2^3 = bc(2a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G_1 G_2 = (b^{2/3} c^{1/3})(b^{1/3} c^{2/3}) = bc$,इसलिए $G_1^3 + G_2^3 = 2 a G_1 G_2$.

(C) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,$a, ar, ar^2 - 64$ एक $A.P.$ में हैं।
इसलिए,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \implies a(r^2 - 2r + 1) = 64 \implies a(r - 1)^2 = 64$ .....$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$A.P.$ के दूसरे पद में $8$ घटाने पर,$a, ar - 8, ar^2 - 64$ एक $G.P.$ में हैं।
इसलिए,$(ar - 8)^2 = a(ar^2 - 64) \implies a^2r^2 - 16ar + 64 = a^2r^2 - 64a \implies 16ar - 64a = 64 \implies ar - 4a = 4 \implies a(r - 4) = 4$ .....(ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{a(r - 1)^2}{a(r - 4)} = \frac{64}{4} \implies \frac{(r - 1)^2}{r - 4} = 16 \implies r^2 - 2r + 1 = 16r - 64 \implies r^2 - 18r + 65 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(r - 5)(r - 13) = 0$,अतः $r = 5$ या $r = 13$ है।
यदि $r = 5$ है,तो $a(5 - 4) = 4 \implies a = 4$ है। संख्याएँ $4, 4(5), 4(5^2) = 4, 20, 100$ हैं।
यदि $r = 13$ है,तो $a(13 - 4) = 4 \implies 9a = 4 \implies a = 4/9$ है। संख्याएँ $4/9, 52/9, 676/9$ हैं।
विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: $4, 20, 100$। $3^{rd}$ पद में $64$ घटाने पर $4, 20, 36$ प्राप्त होता है,जो एक $A.P.$ है $(d=16)$। $2^{nd}$ पद में $8$ घटाने पर $4, 12, 36$ प्राप्त होता है,जो एक $G.P.$ है $(r=3)$। अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ होगा।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $2 \ln y = \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है,जिसे $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दर्शाता है कि $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
चूंकि समांतर श्रेणी के पदों के व्युत्क्रम हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ बनाते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, g, h$ दो धनात्मक संख्याओं $x$ और $y$ के क्रमशः समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हमारे पास $a = \frac{x + y}{2}$,$g = \sqrt{xy}$,और $h = \frac{2xy}{x + y}$ है।
अब,$g^2$ की गणना करें:
$g^2 = (\sqrt{xy})^2 = xy$ ...$(i)$
इसके बाद,गुणनफल $ah$ की गणना करें:
$ah = \left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \left(\frac{2xy}{x + y}\right) = xy$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,हमें $g^2 = ah$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $g = \sqrt{ah}$।
यह पुष्टि करता है कि $g$,$a$ और $h$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है।

(D) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin \theta} \cdot 2^{\cos \theta}}$
$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{\frac{\sin \theta + \cos \theta}{2}}$
हम जानते हैं कि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ का न्यूनतम मान $-1$ है,इसलिए $\sin \theta + \cos \theta$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
अतः,$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^1 \cdot 2^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2^{(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d > 0$ और $a + b + c + d = 2$ है।
मान लीजिए $x = a + b$ और $y = c + d$ है। तब $x + y = 2$ होगा।
हमें $M = xy$ का परिसर ज्ञात करना है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 \ge \sqrt{M}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $M \le 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c, d$ धनात्मक हैं,इसलिए $x = a + b > 0$ और $y = c + d > 0$,अतः $M = xy > 0$ होगा।
इसलिए,संतुष्ट होने वाला संबंध $0 < M \le 1$ है।

(D) मान लीजिए कि $A.P.$ के पद $a = b - d$ और $c = b + d$ हैं,जहाँ $d > 0$ क्योंकि $a < b < c$ है।
दिया गया है कि $a + b + c = \frac{3}{2}$,इसलिए $(b - d) + b + (b + d) = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है कि $3b = \frac{3}{2}$,अतः $b = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,$a = \frac{1}{2} - d$ और $c = \frac{1}{2} + d$ है।
चूँकि $a^2, b^2, c^2$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2 c^2$,जिसका अर्थ है कि $b^4 = (ac)^2$ है।
वर्गमूल लेने पर,$b^2 = \pm ac$ प्राप्त होता है।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $b^2 = (b - d)(b + d) = b^2 - d^2$,इसलिए $d^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $d = 0$ है। यह $a < b < c$ के विपरीत है।
इसलिए,$b^2 = -ac$ होगा।
$b = \frac{1}{2}$,$a = \frac{1}{2} - d$,और $c = \frac{1}{2} + d$ रखने पर:
$(\frac{1}{2})^2 = -(\frac{1}{2} - d)(\frac{1}{2} + d)$
$\frac{1}{4} = -(\frac{1}{4} - d^2)$
$\frac{1}{4} = -\frac{1}{4} + d^2$
$d^2 = \frac{1}{2}$,इसलिए $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (क्योंकि $d > 0$ है)।
अंत में,$a = \frac{1}{2} - d = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(C) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(A.G.P.)$ है।
अंश के पद $1, 4, 7, 10, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
इस $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2$ है।
हर के पद $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$ हैं,जो एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 5$ है।
इस $G.P.$ का $n^{th}$ पद $G_n = ar^{n - 1} = 1 \cdot 5^{n - 1} = 5^{n - 1}$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का $n^{th}$ पद $A.P.$ के $n^{th}$ पद और $G.P.$ के $n^{th}$ पद का अनुपात है,जो $\frac{3n - 2}{5^{n - 1}}$ है।

(B) माना $T_n$ श्रेणी का $n$-वां पद है।
$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{n}{{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)}}$
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{n^2 - n + 1}} - \frac{1}{{n^2 + n + 1}} \right]$
यहाँ $n^2 - n + 1 = 1 + n(n - 1)$ और $n^2 + n + 1 = 1 + n(n + 1)$ है।
अतः,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{1 + (n - 1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right]$।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{1 + (n-1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n+1)}} \right) \right]$
यह एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1 + n^2 + n - 1}{{n^2 + n + 1}} \right] = \frac{n(n + 1)}{{2(n^2 + n + 1)}}$।

(D) दी गई श्रेणी $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$ है।
चूंकि $n$ एक विषम संख्या है,सम अनुक्रमणिका वाले पद घटाए जाते हैं और विषम अनुक्रमणिका वाले पद जोड़े जाते हैं।
हम इस योग को $1^3$ से $n^3$ तक के सभी घनों के योग में से सम पदों के घनों के योग का दोगुना घटाकर लिख सकते हैं:
$S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{j=1}^{(n-1)/2} (2j)^3$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ का उपयोग करने पर:
$S = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 - 2 \cdot 8 \sum_{j=1}^{(n-1)/2} j^3$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(\frac{n-1}{2})(\frac{n-1}{2} + 1)}{2}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(\frac{n-1}{2})(\frac{n+1}{2})}{2}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(n-1)(n+1)}{8}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 \cdot \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{64}$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n^2 - 2n + 1)]$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $a_k = \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है $a_k = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{(2k+1) - (2k-1)} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}$।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})$ है।
योग का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$ प्राप्त होता है।

(C) $n^{th}$ पद $T_n$ अंश में प्रथम $n$ घनों का योग और हर में प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है।
अंश: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
हर: प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$ है। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=2$ और $n$ पद हैं। योग $\frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2] = n^2$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{n^2-1} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ है।
इसे हल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं,इसके लिए अंश और हर को $(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \times \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.
श्रेणी में इसे लागू करने पर:
$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n^2} - \sqrt{n^2 - 1})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S = -\sqrt{1} + \sqrt{n^2} = -1 + n = n - 1$.

(D) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,इसलिए $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$।
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{a_1 + (\frac{p-1}{2})d}{a_1 + (\frac{q-1}{2})d} = \frac{p}{q}$ प्राप्त होता है।
$\frac{a_6}{a_{21}}$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $n$ चाहिए जिसके लिए $\frac{n-1}{2} = 5$ ($a_6$ के लिए) और $\frac{n-1}{2} = 20$ ($a_{21}$ के लिए) हो।
$a_6$ के लिए,$p-1 = 10 \Rightarrow p = 11$।
$a_{21}$ के लिए,$q-1 = 40 \Rightarrow q = 41$।
इन मानों को रखने पर,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{p}{q} = \frac{11}{41}$ प्राप्त होता है।

(C) यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं, तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
माना सार्व अंतर $d = \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k}$ है।
अतः, $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_k - a_{k+1})$।
दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k - a_{k+1}}{d} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$ है।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार, $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$, जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_1} = (n-1)d$।
अतः, $\frac{a_1 - a_n}{a_1 a_n} = (n-1)d$, इसलिए $\frac{a_1 - a_n}{d} = (n-1) a_1 a_n$।
अतः, योग $(n-1) a_1 a_n$ है।

(D) हम जानते हैं कि $e^x$ का टेलर श्रेणी विस्तार इस प्रकार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
इस विस्तार में $x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
पदों को सरल करने पर:
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
चूंकि $1 - 1 = 0$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,श्रेणी का योग $e^{-1}$ है।

(A) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a = ar + ar^2$
चूंकि $a > 0$ है,हम दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 = r + r^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,हम धनात्मक मूल (root) लेते हैं:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$