Progression and Sequence Questions in Hindi

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ है।
प्रथम $r$ विषम संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.
$t_r = 4 \sum_{k=1}^r k^2 - 4 \sum_{k=1}^r k + \sum_{k=1}^r 1 = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.
$t_r = \frac{2r(r+1)(2r+1)}{3} - 2r(r+1) + r = \frac{r}{3} [2(2r^2 + 3r + 1) - 6(r+1) + 3] = \frac{r}{3} [4r^2 + 6r + 2 - 6r - 6 + 3] = \frac{r(4r^2 - 1)}{3} = \frac{4r^3 - r}{3}$.
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.
$S_n = \frac{4}{3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{3} - \frac{n(n+1)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$.

(A) हम $n$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
संख्याओं के समूह ${a_1, a_2, ..., a_{n-1}, 2a_n}$ के लिए,$AM \geq GM$ असमिका इस प्रकार है:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{n-1} \cdot 2a_n)^{1/n}$
चूंकि गुणनफल $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n = c$ है,इसलिए हम इस मान को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^{1/n}$
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2c)^{1/n}$
दोनों पक्षों को $n$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n \geq n(2c)^{1/n}$
अतः,न्यूनतम मान $n(2c)^{1/n}$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ होगा।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$.
मान रखने पर,$-b/a = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
अतः,$-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \Rightarrow -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$. दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $2a/b = b/c + c/a$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $c/a, a/b, b/c$ समांतर श्रेणी में हैं। इसलिए,उनके व्युत्क्रम $a/c, b/a, c/b$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) $S_1$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d_1 = 6 - 1 = 5$ है।
सामान्य पद $T_n = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$ है।
$S_2$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 3$ और सार्व अंतर $d_2 = 7 - 3 = 4$ है।
सामान्य पद $T_m = 3 + (m - 1)4 = 4m - 1$ है।
उभयनिष्ठ पदों को खोजने के लिए,$5n - 4 = 4m - 1$ रखें,जिसका अर्थ है $5n = 4m + 3$।
पहला उभयनिष्ठ पद $11$ है (जब $n=3, m=3$)।
उभयनिष्ठ पदों द्वारा बनी नई $A.P.$ का सार्व अंतर $LCM(5, 4) = 20$ है।
$k$ वाँ उभयनिष्ठ पद $T_k = 11 + (k - 1)20$ द्वारा दिया जाता है।
$25$ वें उभयनिष्ठ पद $(k = 25)$ के लिए:
$T_{25} = 11 + (25 - 1)20 = 11 + 24 \times 20 = 11 + 480 = 491$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin x$ है।
योग के अस्तित्व के लिए,$|\sin x| < 1$ होना चाहिए।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$.
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} \times \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$1 - \sin x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अंतराल $(0, \pi)$ में,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2\pi}{3}$ पर होता है।
चूंकि दिए गए विकल्पों $A, B, C$ में से कोई भी सही नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,उसका हरात्मक माध्य $H$ ज्ञात करने का सूत्र $H = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ है।
दिए गए समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ में गुणांक $a = 5 + \sqrt{2}$,$b = -(4 + \sqrt{5})$,और $c = 8 + 2\sqrt{5}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ और मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ होता है।
अब $H$ के सूत्र में मान रखने पर:
$H = \frac{2(\frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}})}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}} = \frac{2(8 + 2\sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}}$.
अंश से $2$ कॉमन लेने पर: $H = \frac{2 \cdot 2(4 + \sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}} = 4$.

(C) माना दी गई श्रेणी $S = 3 + \frac{3+d}{4} + \frac{3+2d}{4^2} + \dots \infty$ है --- $(1)$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{4}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3+d}{4^2} + \frac{3+2d}{4^3} + \dots \infty$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$S - \frac{S}{4} = 3 + \left( \frac{3+d}{4} - \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{3+2d}{4^2} - \frac{3+d}{4^2} \right) + \dots \infty$
$\frac{3S}{4} = 3 + \frac{d}{4} + \frac{d}{4^2} + \frac{d}{4^3} + \dots \infty$
यहाँ $3 + \frac{d}{4} + \frac{d}{4^2} + \dots$ एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका योग $\frac{a}{1-r} = \frac{d/4}{1 - 1/4} = \frac{d}{3}$ होता है।
अतः,$\frac{3S}{4} = 3 + \frac{d}{3}$.
दिया गया है कि $S = 8$,इसलिए:
$\frac{3(8)}{4} = 3 + \frac{d}{3}$
$6 = 3 + \frac{d}{3}$
$3 = \frac{d}{3}$
$d = 9$.

(D) माना $n = 100$. व्यंजक $\sqrt{\sum_{k=0}^{2n-1} 10^k - 2 \sum_{k=0}^{n-1} 10^k}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^{m-1} 10^k = \frac{10^m - 1}{9}$।
अतः,व्यंजक $\sqrt{\frac{10^{2n}-1}{9} - 2 \left( \frac{10^n-1}{9} \right)}$ हो जाता है।
$= \sqrt{\frac{10^{2n} - 1 - 2 \cdot 10^n + 2}{9}} = \sqrt{\frac{10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1}{9}}$।
$= \sqrt{\left( \frac{10^n - 1}{3} \right)^2} = \frac{10^n - 1}{3}$।
चूंकि $\frac{10^n - 1}{9} = \underbrace{11...1}_{n \text{ अंक}}$,इसलिए $\frac{10^n - 1}{3} = 3 \times \underbrace{11...1}_{n \text{ अंक}} = \underbrace{33...3}_{n \text{ अंक}}$।
$n=100$ के लिए,उत्तर $\underbrace{33...3}_{100 \text{ अंक}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(\theta) = 2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$.
चूँकि $\sin^2 \theta$ का मान $(0, 1]$ अंतराल में होता है,इसलिए माना $x = \sin^2 \theta$,जहाँ $x \in (0, 1]$.
तब व्यंजक $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ बन जाता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x \in (0, 1]$ के लिए फलन $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ का विश्लेषण करते हैं।
इसका अवकलज $f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 2$ या $x = -2\text{।}$ इनमें से कोई भी मान $(0, 1]$ अंतराल में नहीं है।
चूँकि सभी $x \in (0, 1]$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ पर निरंतर ह्रासमान है।
अतः,न्यूनतम मान $x$ के सबसे बड़े मान अर्थात $x = 1$ पर प्राप्त होगा।
$x = 1$ रखने पर: $f(1) = 2(1) + \frac{8}{1} = 2 + 8 = 10$.
अतः,न्यूनतम मान $10$ है।

(C) वर्गों का योग दिया गया है: $\sum_{n=1}^{2009} n^2 = (2009)(335)(4019)$ .....$(1)$
हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2009} n(2010 - n)$ का मूल्यांकन करना है।
योग का विस्तार करने पर: $S = 2010 \sum_{n=1}^{2009} n - \sum_{n=1}^{2009} n^2$.
प्रथम $N$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$,जहाँ $N = 2009$ है:
$S = 2010 \cdot \frac{2009 \cdot 2010}{2} - (2009)(335)(4019)$.
$S = 1005 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.
चूंकि $1005 = 3 \cdot 335$,इसलिए $S = 3 \cdot 335 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.
$(2009)(335)$ को कॉमन लेने पर: $S = (2009)(335) [3 \cdot 2010 - 4019]$.
$S = (2009)(335) [6030 - 4019] = (2009)(335)(2011)$.
दिए गए व्यंजक $(2009)(335)(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2011$ प्राप्त होता है।

(D) समांतर श्रेणी का योग अधिकतम होने के लिए, हमें सभी धनात्मक पदों को जोड़ना चाहिए। ऋणात्मक पदों को जोड़ने पर योग घटने लगता है।
$n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ है।
यहाँ $a = 50$ और $d = -2$ है।
$T_n = 50 + (n - 1)(-2) = 52 - 2n$।
जब $T_n = 0$ होता है, तब $n = 26$ प्राप्त होता है।
अतः, $n = 26$ पदों का योग अधिकतम होगा।
योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$S_{26} = \frac{26}{2}[2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13[100 - 50] = 13 \times 50 = 650$.

(A) मान लीजिए $n = 100$ है। $n$ संख्याओं में से एक साथ $k$ संख्याएँ लेकर बनाए गए गुणनफलों के योग को $S_k$ द्वारा दर्शाया जाता है।
न्यूटन की असमिका या मैकलॉरिन की असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,प्राथमिक सममित माध्य $E_k = \frac{S_k}{\binom{n}{k}}$,$E_k^2 \ge E_{k-1} E_{k+1}$ का पालन करते हैं।
वैकल्पिक रूप से,$S_k S_{n-k} \ge \binom{n}{k}^2 (a_1 a_2 \dots a_n)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम $n = 100$ और $k = 2$ रखते हैं।
अतः $S_2 S_{100-2} = S_2 S_{98} \ge \binom{100}{2}^2 (a_1 a_2 \dots a_{100})$।
इसकी तुलना $S_{98} S_2 \ge \lambda (a_1 a_2 \dots a_{100})$ से करने पर,हमें $\lambda = \binom{100}{2}^2$ प्राप्त होता है।
मान की गणना करने पर: $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$।
अतः,$\lambda = (4950)^2$।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdots = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \frac{64}{729}$ प्राप्त होता है।
$a$ और $2$ की घातों के रूप में लिखने पर: $a^{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots \right)} \cdot 2^{\left(0 \cdot \frac{1}{a} + 1 \cdot \frac{1}{2a} + 2 \cdot \frac{1}{4a} + 3 \cdot \frac{1}{8a} + \cdots \right)} = \frac{64}{729}$।
$a$ का घातांक $\frac{1}{a} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots) = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{1 - 1/2}\right) = \frac{2}{a}$ है।
$2$ का घातांक $\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots = \frac{1}{a} (\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots)$ है। यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है,जिसका योग $S = 2$ है। अतः घातांक $\frac{2}{a}$ है।
इस प्रकार,$a^{\frac{2}{a}} \cdot 2^{\frac{2}{a}} = (2a)^{\frac{2}{a}} = \frac{64}{729} = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^6$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$\frac{2}{a} = 6$ जिससे $a = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A$,$G$,और $H$ क्रमशः $a$ और $b$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
दिया गया है: $A = G + \frac{3}{2}$ और $G = H + \frac{6}{5}$.
हम जानते हैं कि $G^2 = AH$,इसलिए $H = \frac{G^2}{A}$.
$H$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $G = \frac{G^2}{A} + \frac{6}{5} \implies G - \frac{6}{5} = \frac{G^2}{A}$.
चूंकि $A = G + \frac{3}{2} = \frac{2G + 3}{2}$,इसलिए $G - \frac{6}{5} = \frac{2G^2}{2G + 3}$.
$(5G - 6)(2G + 3) = 10G^2 \implies 10G^2 + 15G - 12G - 18 = 10G^2$.
$3G = 18 \implies G = 6$.
अतः $A = 6 + 1.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ और $H = 6 - 1.2 = 4.8 = \frac{24}{5}$.
चूंकि $A = \frac{a+b}{2} = \frac{15}{2}$,इसलिए $a+b = 15$.
चूंकि $G = \sqrt{ab} = 6$,इसलिए $ab = 36$.
संख्याएँ $a$ और $b$ समीकरण $x^2 - 15x + 36 = 0$ के मूल हैं।
$(x - 12)(x - 3) = 0$,इसलिए ${a, b} = {12, 3}$.
$|a^2 - b^2| = |144 - 9| = 135$.

(D) मान लीजिए कि चतुर्भुज के चार आंतरिक कोण समांतर श्रेणी में $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $2d = 10^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $d = 5^{\circ}$।
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$।
$4a = 360^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ}$।
सबसे छोटा कोण $a - 3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर रहता है।
विशेष रूप से,$a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = a_1 + a_{21} = 2a_{11}$ होता है।
माना $a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = 2a_{11} = k$ है।
दिया गया समीकरण: $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$ है।
पदों को $k$ के रूप में प्रतिस्थापित करने पर: $(a_3 + a_{19}) + (a_5 + a_{17}) + a_{11} = 10$ प्राप्त होता है।
यह $k + k + \frac{k}{2} = 10$ में सरल हो जाता है,जिससे $\frac{5k}{2} = 10$ प्राप्त होता है,अतः $k = 4$ है।
चूंकि $a_1 + a_{21} = 2a_{11} = k = 4$ है,इसलिए $21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2}(a_1 + a_{21})$ होगा।
$S_{21} = \frac{21}{2} \times 4 = 42$।

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $T_9 = 5 \times T_2$.
$a + 8d = 5(a + d) \implies a + 8d = 5a + 5d \implies 4a = 3d \implies d = \frac{4a}{3}$.
दूसरी शर्त के अनुसार: $T_{13} = 2 \times T_6 + 5$.
$a + 12d = 2(a + 5d) + 5 \implies a + 12d = 2a + 10d + 5 \implies 2d - a = 5$.
समीकरण $2d - a = 5$ में $d = \frac{4a}{3}$ रखने पर:
$2(\frac{4a}{3}) - a = 5 \implies \frac{8a}{3} - a = 5 \implies \frac{5a}{3} = 5 \implies a = 3$.

(A) दिए गए समुच्चय में $9$ संख्याएँ हैं: $9, 99, 999, \dots, 999999999$।
समांतर माध्य $N$ ज्ञात करने के लिए,हम इन संख्याओं का योग करके $9$ से विभाजित करते हैं:
$N = \frac{9 + 99 + 999 + \dots + 999999999}{9}$
$N = \frac{9(1 + 11 + 111 + \dots + 111111111)}{9}$
$N = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111$
योग करने पर:
$N = 123456789$
$N$ के अंक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$N$ में $0$ अंक मौजूद नहीं है।

(D) समांतर श्रेणी के योग को अधिकतम करने के लिए, हम उन पदों को जोड़ते हैं जब तक वे गैर-ऋणात्मक (non-negative) रहते हैं।
दी गई श्रेणी: $50, 48, 46, 44, \dots$
यहाँ, प्रथम पद $a = 50$ और सार्व अंतर $d = 48 - 50 = -2$ है।
$n$-वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम $T_n > 0$ रखते हैं:
$50 + (n - 1)(-2) > 0$
$50 - 2n + 2 > 0$
$52 > 2n \Rightarrow n < 26$।
अतः, $25$ धनात्मक पद हैं। $26$-वाँ पद $50 + (26 - 1)(-2) = 50 - 50 = 0$ है।
$0$ जोड़ने से योग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए प्रथम $25$ पदों का योग प्रथम $26$ पदों के योग के बराबर है।
योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$S_{26} = \frac{26}{2}[2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13[100 - 50] = 13 \times 50 = 650$।

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{2r+1}{1^2 + 2^2 + \dots + r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^r k^2 = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_r = \frac{2r+1}{\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}} = \frac{6(2r+1)}{r(r+1)(2r+1)} = \frac{6}{r(r+1)}$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर,$T_r = 6 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 6 \sum_{r=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right] = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$.
$n = 50$ के लिए,$S_{50} = \frac{6 \times 50}{50+1} = \frac{300}{51} = \frac{100}{17}$.

(C) हम जानते हैं कि $n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
दिया गया है $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$।
$t_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} - \frac{(n - 1)n(n + 1)}{6}$।
$\frac{n(n + 1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [n + 2 - (n - 1)]$।
$t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [3] = \frac{n(n + 1)}{2}$।
अब,हमें $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{2}{n(n + 1)}$ ज्ञात करना है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2}{n(n + 1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots \right]$।
योग $2(1) = 2$ के बराबर है।

(C) माना प्रथम पद $b$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ का योग परिमित होने के लिए,शर्त $|r| < 1$ का पालन होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-1 < r < 1$.
अनंत $G.P.$ के योग का सूत्र $S = \frac{b}{1 - r}$ है।
दिया गया है $S = 5$,इसलिए $\frac{b}{1 - r} = 5$.
$r$ के लिए हल करने पर,$1 - r = \frac{b}{5}$,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{b}{5}$.
शर्त $-1 < r < 1$ में मान रखने पर:
$-1 < 1 - \frac{b}{5} < 1$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $-2 < -\frac{b}{5} < 0$.
$-5$ से गुणा करने पर (और असमिका के चिह्नों को बदलने पर): $0 < b < 10$.
अतः,$b$ अंतराल $(0, 10)$ में स्थित है।

(A) माना $d_1$ समांतर श्रेणी $x_1, x_2, \dots, x_n$ का सार्व अंतर है।
दिया है $x_3 = 8$ और $x_8 = 20$।
$x_8 - x_3 = (8-3)d_1 = 5d_1 = 20 - 8 = 12 \Rightarrow d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$।
अतः $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 8 + 4.8 = 12.8$।
माना $d_2$ समांतर श्रेणी $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ का सार्व अंतर है।
दिया है $\frac{1}{h_2} = \frac{1}{8}$ और $\frac{1}{h_7} = \frac{1}{20}$।
$\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = (7-2)d_2 = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = \frac{2-5}{40} = -\frac{3}{40} \Rightarrow d_2 = -\frac{3}{200}$।
अब,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} + 3\left(-\frac{3}{200}\right) = \frac{10-9}{200} = \frac{1}{200} \Rightarrow h_{10} = 200$।
अतः,$x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$।

(B) $A_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जिसका प्रथम पद $a = \frac{3}{4}$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{3}{4}$ है।
योग के सूत्र $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$A_n = \frac{\frac{3}{4} \left( 1 - (-\frac{3}{4})^n \right)}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{3}{7} \left[ 1 - (-\frac{3}{4})^n \right] \quad (1)$
चूंकि $B_n = 1 - A_n$,इसलिए $B_n > A_n$ की शर्त के अनुसार:
$1 - A_n > A_n \implies 1 > 2A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$
समीकरण $(1)$ को असमिका में रखने पर:
$\frac{3}{7} \left[ 1 - (-\frac{3}{4})^n \right] < \frac{1}{2} \implies 1 - (-\frac{3}{4})^n < \frac{7}{6}$
$-(-\frac{3}{4})^n < \frac{1}{6} \implies (-\frac{3}{4})^n > -\frac{1}{6}$
यदि $n$ विषम है,तो $(-\frac{3}{4})^n = -(\frac{3}{4})^n$ होगा। अतः:
$-(\frac{3}{4})^n > -\frac{1}{6} \implies (\frac{3}{4})^n < \frac{1}{6}$
लघुगणक (logarithm) लेने पर: $n \log(\frac{3}{4}) < \log(\frac{1}{6})$
$n (0.4771 - 0.6020) < -0.7781 \implies n > 6.228$
अतः,$n$ का न्यूनतम विषम प्राकृतिक मान $7$ है।

(D) चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a+c = 2b$ होगा।
दिया गया है कि $a+b+c = \frac{3}{4}$,$a+c = 2b$ रखने पर $3b = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $b = \frac{1}{4}$।
पुनः,$a^2, b^2, c^2$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2c^2$ होगा,जिसका अर्थ है $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$।
चूंकि $a < b < c$,इसलिए $ac < b^2$ होना चाहिए,अतः $ac = -\frac{1}{16}$।
इस प्रकार,$a+c = 2b = \frac{1}{2}$ और $ac = -\frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
ये मान द्विघात समीकरण $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ के मूल हैं,अर्थात $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$।
$16$ से गुणा करने पर,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(16)(-1)}}{32} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
चूंकि $a < b$,इसलिए हम छोटा मूल चुनेंगे: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

(C) दिया गया है कि $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ $A.P.$ में हैं,जहाँ $x_1 = 4$ और $x_{21} = 20$ है।
मान लीजिए इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है।
अतः,$\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{x_1} + (21 - 1)d$.
$\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d \implies 20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = \frac{1-5}{20} = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5}$.
इसलिए,$d = -\frac{1}{100}$.
$A.P.$ का $n$-वाँ पद $\frac{1}{x_n} = \frac{1}{x_1} + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{25 - n + 1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ है।
इस प्रकार,$x_n = \frac{100}{26 - n}$.
हमें दिया गया है कि $x_n > 50$,इसलिए $\frac{100}{26 - n} > 50$.
चूँकि $x_n > 0$,इसलिए $26 - n$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $n < 26$.
$50$ से भाग देने पर,$\frac{2}{26 - n} > 1 \implies 2 > 26 - n \implies n > 24$.
$n > 24$ को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n = 25$ है।
अब,योग $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ की गणना करते हैं,जहाँ $a = \frac{1}{4}$ और $d = -\frac{1}{100}$ है।
$S_{25} = \frac{25}{2} [2(\frac{1}{4}) + (25-1)(-\frac{1}{100})] = \frac{25}{2} [\frac{1}{2} - \frac{24}{100}] = \frac{25}{2} [\frac{50 - 24}{100}] = \frac{25}{2} [\frac{26}{100}] = \frac{25}{2} \times \frac{13}{50} = \frac{13}{4}$.

(D) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ है।
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$.
$S_{20} = (2 \times 20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$.
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 20$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$.
अतः,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ का समांतर माध्य $(AM)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(GM)$ का पाँच गुना है:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
माना $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. तब $\frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} + \frac{b}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = x + \frac{1}{x} = 10$.
$x^2 - 10x + 1 = 0$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = 5 \pm \sqrt{24} = 5 \pm 2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a > b$,इसलिए $x > 1$,अतः $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
हमें $\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $x = 5 + 2\sqrt{6}$,तो $x^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 24 + 20\sqrt{6} = 49 + 20\sqrt{6}$.
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{25 + 10\sqrt{6}}{24 + 10\sqrt{6}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(25 + 10\sqrt{6})(24 - 10\sqrt{6})}{(24)^2 - (10\sqrt{6})^2} = \frac{600 - 250\sqrt{6} + 240\sqrt{6} - 600}{576 - 600} = \frac{-10\sqrt{6}}{-24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$.

(B) दी गई श्रेणी $\sqrt{3} + \sqrt{75} + \sqrt{243} + \sqrt{507} + \dots$ है।
इसे $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sqrt{3}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sqrt{3}(1 + 5 + 9 + 13 + \dots + T_n) = 435\sqrt{3}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें एक समांतर श्रेणी का योग प्राप्त होता है: $1 + 5 + 9 + 13 + \dots + T_n = 435$
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)4] = 435$
$\frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = 435$
$\frac{n}{2}[4n - 2] = 435$
$n(2n - 1) = 435$
$2n^2 - n - 435 = 0$
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-435)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3480}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3481}}{4} = \frac{1 \pm 59}{4}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{1 + 59}{4} = \frac{60}{4} = 15$।

(A) चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,हम $a = b - d$ और $c = b + d$ लिख सकते हैं,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है $abc = 8$,मान प्रतिस्थापित करने पर: $(b - d)(b)(b + d) = 8$।
यह $b(b^2 - d^2) = 8$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $b^2 - d^2 = 8/b$।
चूँकि $d^2 \ge 0$,इसलिए $b^2 - 8/b = d^2 \ge 0$ होगा।
इससे $b^2 \ge 8/b$,या $b^3 \ge 8$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$b \ge 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b$ का न्यूनतम संभव मान $2$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद ${T_n} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग और प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
${T_n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,${T_n} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.
अब,${S_n} = \sum_{k=1}^n {T_k} = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: ${S_n} = 2\left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right) = 2\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$.
दिया गया है कि $100 S_n = n$,इसलिए $100 \left(\frac{2n}{n+1}\right) = n$.
चूंकि $n \neq 0$,हम $n$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{200}{n+1} = 1$.
अतः,$n+1 = 200$,जिसका अर्थ है $n = 199$.

(B) दिया गया है कि $x + y + z = 12$ और $x^3y^4z^5 = (0.1)(600)^3$ है।
भारित समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{3(\frac{x}{3}) + 4(\frac{y}{4}) + 5(\frac{z}{5})}{3+4+5} \ge \sqrt[12]{(\frac{x}{3})^3 (\frac{y}{4})^4 (\frac{z}{5})^5}$
$\frac{x+y+z}{12} \ge \sqrt[12]{\frac{x^3y^4z^5}{3^3 4^4 5^5}}$
चूंकि $x+y+z = 12$,हमारे पास $1 \ge \sqrt[12]{\frac{x^3y^4z^5}{3^3 4^4 5^5}}$ है,जिसका अर्थ है $x^3y^4z^5 \le 3^3 4^4 5^5$।
$3^3 4^4 5^5 = 27 \times 256 \times 3125 = 21600000$ की गणना करने पर।
दिया गया है कि $x^3y^4z^5 = 0.1 \times (600)^3 = 21600000$ है।
चूंकि समानता बनी रहती है,इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$ होना चाहिए।
अतः $x=3k, y=4k, z=5k$। $x+y+z=12$ में मान रखने पर $3k+4k+5k=12$,यानी $12k=12$,जिससे $k=1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x=3, y=4, z=5$ है।
अंत में,$x^3 + y^3 + z^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$।

(A) $A.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है। विशेष रूप से,$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
दिया गया समीकरण: $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$.
हम देखते हैं कि पदों के सूचकांकों का योग $3+15 = 18$ और $7+11 = 18$ है।
गुणधर्म $a_m + a_n = a_p + a_q$ यदि $m+n = p+q$ हो,का उपयोग करते हुए:
$(a_3 + a_{15}) = (a_1 + a_{17})$ और $(a_7 + a_{11}) = (a_1 + a_{17})$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a_1 + a_{17}) + (a_1 + a_{17}) = 72$
$2(a_1 + a_{17}) = 72$
$a_1 + a_{17} = 36$.
$A.P.$ के प्रथम $17$ पदों का योग $S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$ द्वारा दिया जाता है।
$a_1 + a_{17} = 36$ का मान रखने पर:
$S_{17} = \frac{17}{2} \times 36 = 17 \times 18 = 306$.

(D) हमें योग $S = \sum_{r=16}^{30} (r^2 - r - 6)$ का मान ज्ञात करना है।
इसे तीन अलग-अलग योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S = \sum_{r=16}^{30} r^2 - \sum_{r=16}^{30} r - \sum_{r=16}^{30} 6$.
प्रथम $n$ पूर्णांकों और उनके वर्गों के योग के सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
पहला,$\sum_{r=16}^{30} r^2 = \sum_{r=1}^{30} r^2 - \sum_{r=1}^{15} r^2 = \frac{30(31)(61)}{6} - \frac{15(16)(31)}{6} = 9455 - 1240 = 8215$.
दूसरा,$\sum_{r=16}^{30} r = \sum_{r=1}^{30} r - \sum_{r=1}^{15} r = \frac{30(31)}{2} - \frac{15(16)}{2} = 465 - 120 = 345$.
तीसरा,$\sum_{r=16}^{30} 6 = 6 \times (30 - 16 + 1) = 6 \times 15 = 90$.
अतः,$S = 8215 - 345 - 90 = 7780$.

(C) दिया गया है कि पहला पद $a_1 = 10$ है और पहले तीन पदों का योग $39$ है।
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39 \Rightarrow 30 + 3d = 39 \Rightarrow 3d = 9 \Rightarrow d = 3.$
मान लीजिए कि कुल पदों की संख्या $n$ है। अंतिम चार पद $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ हैं।
उनका योग $(a_n - 3d) + (a_n - 2d) + (a_n - d) + a_n = 178$ है।
$4a_n - 6d = 178.$
$d = 3$ रखने पर: $4a_n - 6(3) = 178 \Rightarrow 4a_n - 18 = 178 \Rightarrow 4a_n = 196 \Rightarrow a_n = 49.$
चूंकि $a_n = a_1 + (n-1)d$,इसलिए $49 = 10 + (n-1)3 \Rightarrow 39 = (n-1)3 \Rightarrow n-1 = 13 \Rightarrow n = 14.$
$n = 14$ पदों वाली $A.P.$ के लिए,माध्यिका $\frac{n}{2}$-वें और $(\frac{n}{2} + 1)$-वें पद का औसत है,अर्थात $7$-वें और $8$-वें पद का औसत।
माध्यिका $= \frac{a_7 + a_8}{2} = \frac{(a_1 + 6d) + (a_1 + 7d)}{2} = \frac{2a_1 + 13d}{2} = \frac{2(10) + 13(3)}{2} = \frac{20 + 39}{2} = \frac{59}{2} = 29.5$.

(D) माना $G.P.$ के पहले तीन पद $a, ar, ar^2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहले तीन पदों का गुणनफल $1000$ है:
$a(ar)(ar^2) = 1000 \Rightarrow (ar)^3 = 1000 \Rightarrow ar = 10$.
अतः,$a = \frac{10}{r}$.
$3^{rd}$ पद $(ar^2)$ और $4^{th}$ पद $(ar^3)$ का योग $60$ है:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar^2(1 + r) = 60$.
$ar = 10$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10r(1 + r) = 60 \Rightarrow r(1 + r) = 6 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(r + 3)(r - 2) = 0$,इसलिए $r = 2$ या $r = -3$.
यदि $r = 2$ है,तो $a = \frac{10}{2} = 5$ (धनात्मक)।
यदि $r = -3$ है,तो $a = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$ (ऋणात्मक,अस्वीकार्य)।
$a = 5$ और $r = 2$ का उपयोग करने पर,$7^{th}$ पद $T_7 = ar^6 = 5(2^6) = 5 \times 64 = 320$ होगा।

(C) दिए गए व्यंजक के सामान्य पद को अंतर विधि का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} - \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right]$
दोनों पक्षों में $n = 1$ से $5$ तक का योग लेने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\sum_{n = 1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right) \right]$
इसे सरल करने पर:
$\sum_{n = 1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right] = \frac{k}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{336} \right] = \frac{k}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{6} - \frac{1}{336} = k$
$\Rightarrow k = \frac{56 - 1}{336} = \frac{55}{336}$

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ दी गई $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दूसरा पद,$a + d = 12$ .....$(1)$
प्रथम नौ पदों का योग,$S_9 = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$.
दिया गया है कि $S_9$,$200$ से अधिक और $220$ से कम है:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
$200 < 9(a + d + 3d) < 220$
समीकरण $(1)$ से $(a + d)$ का मान रखने पर:
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
सभी पक्षों से $108$ घटाने पर:
$92 < 27d < 112$
चूंकि सभी पद धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए। $92 < 27d < 112$ को संतुष्ट करने वाला एकमात्र पूर्णांक $d = 4$ है (क्योंकि $27 \times 3 = 81$,$27 \times 4 = 108$ और $27 \times 5 = 135$)।
$d = 4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 4 = 12 \Rightarrow a = 8$.
$4^{th}$ पद $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ है।

(A) दी गई श्रेणी का $n$-वां पद इस प्रकार है:
$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करके $a_n$ को सरल बनाने पर:
$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
अब,$20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$
$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$
यह दिया गया है कि $S_{20} = \frac{k}{21}$,तुलना करने पर,हमें $k = 120$ प्राप्त होता है।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ है।
प्रथम $5$ पदों का योग $S_5 = a(1+r+r^2+r^3+r^4) = a\frac{r^5-1}{r-1}$ है।
उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{ar}, \frac{1}{ar^2}, \frac{1}{ar^3}, \frac{1}{ar^4}$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $S'_5 = \frac{1}{a}(1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{r^3} + \frac{1}{r^4}) = \frac{1}{a} \frac{\frac{1}{r^5}-1}{\frac{1}{r}-1} = \frac{r^5-1}{ar^4(r-1)}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ है:
$\frac{a(r^5-1)/(r-1)}{(r^5-1)/(ar^4(r-1))} = 49$
$a^2 r^4 = 49$
$(ar^2)^2 = 7^2 \Rightarrow ar^2 = 7$.
प्रथम और तीसरे पद का योग $35$ दिया गया है:
$a + ar^2 = 35$.
$ar^2 = 7$ का मान रखने पर:
$a + 7 = 35$
$a = 28$.

(B) पहली श्रेणी $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
दूसरी श्रेणी $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_2 = 5$ है।
पहला सामान्य पद $11$ है। अगला सामान्य पद $11 + \text{lcm}(4, 5) = 11 + 20 = 31$ होगा।
इस प्रकार,सामान्य पद एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाते हैं,जिसका प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d = 20$ है।
हमें इस समांतर श्रेणी के पहले $n = 20$ पदों का योग ज्ञात करना है।
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(11) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10 [22 + 19 \times 20] = 10 [22 + 380] = 10 [402] = 4020$.
अतः,योग $4020$ है।

(A) दिया गया है कि $G$ $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{ab}.$
$M$ $\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ का समांतर माध्य है,इसलिए $M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a+b}{2ab}.$
अतः,$\frac{1}{M} = \frac{2ab}{a+b}.$
अनुपात $\frac{1}{M}:G = 4:5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}.$
व्यंजक को सरल करने पर,$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{4}{5},$ जिसका अर्थ है कि $\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}.$
योगान्तर अनुपात नियम (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{5+4}{5-4}.$
इसे सरल करने पर $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 9$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ या $-3$ प्राप्त होता है।
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ को हल करने पर $\sqrt{a}+\sqrt{b} = 3\sqrt{a}-3\sqrt{b}$ मिलता है,इसलिए $4\sqrt{b} = 2\sqrt{a},$ जिसका अर्थ है कि $2\sqrt{b} = \sqrt{a}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4b = a,$ इसलिए $\frac{a}{b} = 4,$ जो $a:b = 4:1$ देता है।
यदि हम अनुपात $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = -3$ लेते हैं,तो $\sqrt{a}+\sqrt{b} = -3\sqrt{a}+3\sqrt{b}$ मिलता है,इसलिए $4\sqrt{a} = 2\sqrt{b},$ जिसका अर्थ है कि $2\sqrt{a} = \sqrt{b}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4a = b,$ इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{1}{4},$ जो $a:b = 1:4$ देता है।
अतः,$a:b$ का मान $1:4$ हो सकता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $1 - \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ है।
कोष्ठक के अंदर का पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है,जिसमें कुल $(n-1)$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{n-1} = a \frac{1 - r^{n-1}}{1 - r} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{1 - 1/3} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{2/3} = 1 - \frac{1}{3^{n-1}}$ होता है।
इस मान को असमिका में रखने पर: $1 - (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) < \frac{1}{100}$.
$\Rightarrow \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
हम जानते हैं कि $3^4 = 81$ और $3^5 = 243$ होता है।
अतः,$n-1$ का मान कम से कम $5$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n-1 \ge 5$,यानी $n \ge 6$.
इस प्रकार,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ का मान $6$ है।

(B) माना कि प्रथम पद $a$,सार्व अंतर $d$ और पदों की कुल संख्या $2n$ है। श्रेणी के पद $a, a+d, a+2d, ..., a+(2n-1)d$ हैं।
विषम स्थानों पर स्थित पदों की संख्या $= n$,और सम स्थानों पर स्थित पदों की संख्या $= n$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $(S_o)$:
$S_o = a + (a+2d) + ... + (a+(2n-2)d) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)(2d)] = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
सम स्थानों पर स्थित पदों का योग $(S_e)$:
$S_e = (a+d) + (a+3d) + ... + (a+(2n-1)d) = \frac{n}{2}[2(a+d) + (n-1)(2d)] = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$n[a + d + (n-1)d - (a + (n-1)d)] = 30 - 24$
$nd = 6$ --- $(iii)$
दिया गया है कि अंतिम पद पहले पद से $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$ अधिक है:
$(a + (2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2}$
$2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ का मान रखने पर:
$2(6) - d = \frac{21}{2}$
$12 - d = 10.5$
$d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$nd = 6$ का उपयोग करने पर:
$n(1.5) = 6 \Rightarrow n = 4$
पदों की कुल संख्या $= 2n = 2(4) = 8$.

(D) दिया गया है $f(n) = [\frac{1}{3} + \frac{3n}{100}]n$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।
जब $1 \le n \le 22$ हो,तो $\frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{66}{100} = \frac{1}{3} + 0.66 < 1$,इसलिए $f(n) = 0 \cdot n = 0$ होगा।
जब $23 \le n \le 55$ हो,तो $1 \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{165}{100} = 0.33 + 1.65 = 1.98 < 2$,इसलिए $f(n) = 1 \cdot n = n$ होगा।
जब $n = 56$ हो,तो $\frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} = 0.333 + 1.68 = 2.013$,इसलिए $f(56) = 2 \cdot 56 = 112$ होगा।
अतः,$\sum_{n=1}^{56} f(n) = \sum_{n=1}^{22} 0 + \sum_{n=23}^{55} n + 112$ होगा।
योग $\sum_{n=23}^{55} n$ एक समांतर श्रेणी है जिसमें $33$ पद हैं: $\frac{33}{2}(23 + 55) = \frac{33}{2}(78) = 33 \cdot 39 = 1287$।
इस प्रकार,कुल योग $1287 + 112 = 1399$ है।

(B) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,इसलिए $\frac{\frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2}[2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^3}{q^3}$।
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$।
पदों का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि यदि योग का अनुपात $\frac{n^3}{m^3}$ है,तो पदों का अनुपात $\frac{a_n}{a_m} = \frac{3n^2 - 3n + 1}{3m^2 - 3m + 1}$ होता है।
$n=6$ और $m=21$ के लिए:
$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{3(6)^2 - 3(6) + 1}{3(21)^2 - 3(21) + 1} = \frac{108 - 18 + 1}{1323 - 63 + 1} = \frac{91}{1261} = \frac{31}{121}$।

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1 + 2 + 3 + \dots + r = \frac{r(r + 1)}{2}$।
अतः,$T_r = \frac{2}{r(r + 1)} = 2 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$।
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$ है।
योग का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right)$ बचता है।
$S_{10} = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$।

(B) दिया गया है कि प्रथम $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 2n$ है।
प्रथम पद $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
प्रथम दो पदों का योग $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
नए $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a' = a = 5$ और सार्व अंतर $d' = 2d = 2(6) = 12$ है।
नए $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S'_n = \frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $S'_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2}[10 + 12n - 12] = \frac{n}{2}[12n - 2] = n(6n - 1) = 6n^2 - n$.

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{11} T_n$ है,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:
$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
अब,$n$ पदों का योगफल $S_n$ है:
$S_n = \sum_{k=1}^n 6 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$
$n=11$ पदों के लिए:
$S_{11} = \frac{6 \times 11}{11+1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

(C) दी गई श्रेणी $S = 1(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + ...$ $10$ पदों तक है।
श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(2n)^2 = n(4n^2) = 4n^3$ है।
$10$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $\sum_{n=1}^{10} 4n^3$ की गणना करेंगे।
$S = 4 \sum_{n=1}^{10} n^3$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र $\sum_{n=1}^{n} n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ है।
$n = 10$ के लिए,$\sum_{n=1}^{10} n^3 = [\frac{10 \times 11}{2}]^2 = (55)^2 = 3025$।
अतः,$S = 4 \times 3025 = 12100$।